（考試時(shí)間：120分鐘 滿分：150分）
姓名__________座位號(hào)__________
注意事項(xiàng)：
1.答卷前，務(wù)必將自己的姓名和座位號(hào)填寫在答題卡和試卷上.
2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，務(wù)必擦凈后再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】
由題,利用除法法則整理為的形式,即可得到復(fù)數(shù)的坐標(biāo)形式,進(jìn)而求解即可
【詳解】由題,,所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,
故選:A
【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的坐標(biāo)表示,考查復(fù)數(shù)在復(fù)平面的位置,考查復(fù)數(shù)的除法法則的應(yīng)用
2. 記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（ ）
A. 144B. 120C. 100D. 80
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義及性質(zhì)求得數(shù)列的首項(xiàng)和公差，利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>又，
所以，
則，
所以，
故選：B.
3 已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則等于（ ）
A. 0.14B. 0.62C. 0.72D. 0.86
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可.
【詳解】隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，
且,
所以，
，
所以，
故選:D.
4. 雙曲線的焦距為4，則的漸近線方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)雙曲線方程以及焦距可得，可得漸近線方程.
【詳解】由焦距為4可得，即，
所以，可得，即；
則的漸近線方程為.
故選：B
5. 在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，且，則（ ）
A. 1B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】給兩邊同時(shí)乘以，結(jié)合余弦定理求解即可.
【詳解】因?yàn)?，兩邊同時(shí)乘以得：
，由余弦定理可得，
則，所以有，
又，所以，又因?yàn)椋?br>所以.
故選：A
6. 已知四面體的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若，平面平面，則該球的表面積是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題中條件作出外接球球心，利用勾股定理計(jì)算得到半徑，進(jìn)一步計(jì)算即可.
【詳解】過三角形的中心作平面的垂線，
過三角形的中心作平面的垂線，
兩垂線交于點(diǎn)，連接，
依據(jù)題中條件可知，為四面體的外接球球心，
因?yàn)椋?br>所以,
則,
即外接球半徑為，
則該球的表面積為，
故選：C.
7. 已知直線與交于兩點(diǎn)，設(shè)弦的中點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先求出圓心坐標(biāo)與半徑，再求出直線過定點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)，，，聯(lián)立直線與圓的方程，消元、列出韋達(dá)定理，即可得到，從而求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，再求出圓心到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，從而求出的取值范圍.
【詳解】即，則圓心，半徑，
直線，令，解得，即直線恒過定點(diǎn)，
又，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，
設(shè)，，，由，
消去整理得，顯然，則，
則，
所以，，
則，
則，
又直線的斜率不為，所以不過點(diǎn)，
所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（除點(diǎn)外），
圓圓心為，半徑，
又，所以，
即，即的取值范圍為.
故選：D
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡，再求出圓心到原點(diǎn)的距離，最后根據(jù)圓的幾何性質(zhì)計(jì)算可得.
8. 已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，記，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)滿足的表達(dá)式以及，利用賦值法即可計(jì)算出的大小.
【詳解】由可得，
令，代入可得，即，
令，代入可得，即，
令，代入可得，即；
由可得，
顯然可得.
故選：A
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：研究抽象函數(shù)性質(zhì)時(shí)，可根據(jù)滿足的關(guān)系式利用賦值法合理選取自變量的取值，由函數(shù)值或范圍得出函數(shù)單調(diào)性等性質(zhì)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)問題求解.
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 現(xiàn)有甲?乙兩家檢測(cè)機(jī)構(gòu)對(duì)某品牌的一款智能手機(jī)進(jìn)行拆解測(cè)評(píng)，具體打分如下表（滿分分）.設(shè)事件表示從甲機(jī)構(gòu)測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)中任取個(gè)，至多個(gè)超過平均分”，事件表示“從甲機(jī)構(gòu)測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)中任取個(gè)，恰有個(gè)超過平均分”.下列說法正確的是（ ）
A. 甲機(jī)構(gòu)測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)的平均分小于乙機(jī)構(gòu)測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)的平均分
B. 甲機(jī)構(gòu)測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)的方差大于乙機(jī)構(gòu)測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)的方差
C. 乙機(jī)構(gòu)測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)的第一四分位數(shù)為91.5
D. 事件互為對(duì)立事件
【答案】BD
【解析】
【分析】直接由平均數(shù)、方差、百分位數(shù)及對(duì)立事件的概念，逐一對(duì)各個(gè)選項(xiàng)分析判斷，即可得出結(jié)果.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，甲機(jī)構(gòu)測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)的平均分，
乙機(jī)構(gòu)測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)的平均分，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤，
對(duì)于選項(xiàng)B，甲機(jī)構(gòu)測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)的方差，
，所以選項(xiàng)B正確，
對(duì)于選項(xiàng)C，乙機(jī)構(gòu)測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)從小排到大為：91，92，93，94，95，
又，所以乙機(jī)構(gòu)測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)的第一四分位數(shù)為92，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，
對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)榧讬C(jī)構(gòu)測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)中有且僅有2個(gè)測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)超過平均分，由對(duì)立事件的定義知，事件互為對(duì)立事件，所以選項(xiàng)D正確，
故選：BD.
10. 函數(shù)的圖象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用分類討論及函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】由題意可知，函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故B正確；
當(dāng)時(shí)，，，所以在上單調(diào)遞增，故D正確；
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
故A正確；C錯(cuò)誤.
故選：ABD.
11. 已知橢圓的左?右頂點(diǎn)分別為，左焦點(diǎn)為為上異于的一點(diǎn)，過點(diǎn)且垂直于軸的直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為，交軸于點(diǎn)，則（ ）
A. 存在點(diǎn)，使
B.
C. 的最小值為
D. 周長(zhǎng)的最大值為8
【答案】BCD
【解析】
【分析】對(duì)于A，判斷與的大小即即可；對(duì)于B,設(shè)，，，利用坐標(biāo)分別求出等式左右驗(yàn)證即可；對(duì)于C，求出，利用二次函數(shù)求最值即可；對(duì)于D，利用橢圓的定義，轉(zhuǎn)化求的最大值，即可.
【詳解】
對(duì)于A,設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為，則直角三角形中，，則，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，設(shè)，則，，且，即，又,
則，
又，故，則B正確；
對(duì)于C，，，，
則當(dāng)時(shí)，取最小值為，故C正確；
對(duì)于D，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為,
的周長(zhǎng)為：,
當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，故D正確，
故選：BCD.
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知集合，若，則的取值范圍是__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用一元二次不等式的解法及交集的定義即可求解.
【詳解】由，得,解得，
所以.
因?yàn)椋?br>所以或，解得或，
所以的取值范圍是.
故答案為：.
13. 已知函數(shù)的一條對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，的最小值為，則的最大值為__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)條件得到，從而得到，令，再利用的圖象與性質(zhì)，即可求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的一條對(duì)稱軸為，
所以，得到，又，所以，
所以， 又當(dāng)時(shí)，的最小值為，
令，則，
由的圖象與性質(zhì)知，，得到，
故答案為：.
14. 已知點(diǎn)，定義為的“鏡像距離”.若點(diǎn)在曲線上，且的最小值為2，則實(shí)數(shù)的值為__________.
【答案】##
【解析】
【分析】依題意求出的反函數(shù)，將“鏡像距離”轉(zhuǎn)化成一對(duì)反函數(shù)圖象上兩點(diǎn)之間的距離，利用導(dǎo)函數(shù)的幾何意義求出切線方程即可求得結(jié)果.
【詳解】由函數(shù)可得，即；
所以的反函數(shù)為；
由點(diǎn)在曲線上可知點(diǎn)在其反函數(shù)上，
所以相當(dāng)于上的點(diǎn)到曲線上點(diǎn)的距離，
即，
利用反函數(shù)性質(zhì)可得與關(guān)于對(duì)稱，
所以可得當(dāng)與垂直時(shí)，取得最小值為2，
因此兩點(diǎn)到的距離都為1，
過點(diǎn)的切線平行于直線，斜率為1，即，
可得，即；
點(diǎn)到的距離，解得；
當(dāng)時(shí)，與相交，不合題意；
因此.
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于利用反函數(shù)性質(zhì)將“鏡像距離”問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象上兩點(diǎn)距離的最值問題，再由切線方程可解得參數(shù)值.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15. 已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有極大值.
（1）求實(shí)數(shù)的值；
（2）當(dāng)時(shí)，證明：.
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題中條件列出方程組，解出驗(yàn)證即可；
（2）變形不等式，構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)單調(diào)性證明即可.
【小問1詳解】
函數(shù)的定義域?yàn)椋遥?br>因?yàn)闀r(shí)，有極大值，
所以，解得，
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，在時(shí)有極大值，
所以；
【小問2詳解】
由（1）知，，
當(dāng)時(shí)，要證，即證，即證：.
設(shè)，則，
因?yàn)?，所以?br>所以在上單調(diào)遞增，
所以，即，即，
故當(dāng)時(shí)，.
16. 如圖，三棱柱中，四邊形均為正方形，分別是棱的中點(diǎn)，為上一點(diǎn).
（1）證明：平面；
（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）連接,則有平面平面，可得平面；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量進(jìn)行計(jì)算即可.
【小問1詳解】
連接.
因?yàn)椋遥?br>又分別是棱的中點(diǎn)，
所以，且，
所以四邊形為平行四邊形，所以，
又平面平面，
所以平面，
因?yàn)?，且?br>所以四邊形為平行四邊形，所以，
又平面平面，
所以平面，
因?yàn)槠矫妫?br>所以平面平面，
因?yàn)槠矫?，所以平?
【小問2詳解】
四邊形均為正方形，所以.
所以平面.
因?yàn)椋?br>所以平面.
從而.
又，
所以為等邊三角形.
因?yàn)槭抢獾闹悬c(diǎn)，
所以.
即兩兩垂直.
以為原點(diǎn)，所在直線為軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
設(shè)，
則，
所以.
設(shè)為平面的法向量，
則，即，可取.
因?yàn)椋?
設(shè)直線與平面所成角為，
則，
即直線與平面所成角正弦值為.
17. 2023年9月26日，第十四屆中國(guó)（合肥）國(guó)際園林博覽會(huì)在合肥駱崗公園開幕.本屆園博會(huì)以“生態(tài)優(yōu)先，百姓?qǐng)@博”為主題，共設(shè)有5個(gè)省內(nèi)展園?26個(gè)省外展園和7個(gè)國(guó)際展園，開園面積近3.23平方公里.游客可通過乘坐觀光車?騎自行車和步行三種方式游園.
（1）若游客甲計(jì)劃在5個(gè)省內(nèi)展園和7個(gè)國(guó)際展園中隨機(jī)選擇2個(gè)展園游玩，記甲參觀省內(nèi)展園數(shù)量為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；
（2）為更好地服務(wù)游客，主辦方隨機(jī)調(diào)查了500名首次游園且只選擇一種游園方式的游客，其選擇的游園方式和游園結(jié)果的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：
用頻率估計(jì)概率.若游客乙首次游園，選擇上述三種游園方式的一種，求游園結(jié)束時(shí)乙能參觀完所有展園的概率.
【答案】（1）分布列見解析，
（2）0.4
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合超幾何分布求分布列和期望；
（2）根據(jù)題意結(jié)合全概率公式運(yùn)算求解.
【小問1詳解】
由題意知：所有可能取值為，則有：
，，，
可知的分布列為：
所以的數(shù)學(xué)期望為：.
【小問2詳解】
記事件A為“游客乙乘坐觀光車游園”，事件為“游客乙騎自行車游園”，事件為“游客乙步行游園”，事件為“游園結(jié)束時(shí)，乙能參觀完所有展園”，
由題意可知：，，
由全概率公式可得，
所以游園結(jié)束時(shí)，乙能參觀完所有展園的概率為0.4.
18. 已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，過作的切線，交于點(diǎn)，且與軸分別交于點(diǎn).
（1）求證：；
（2）設(shè)點(diǎn)是上異于的一點(diǎn)，到直線的距離分別為，求的最小值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用導(dǎo)函數(shù)的幾何意義求得直線的表達(dá)式，得出三點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)立直線與拋物線方程根據(jù)韋達(dá)定理得出；
（2）利用點(diǎn)到直線距離公式可求得，可求出的最小值.
【小問1詳解】
因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，
所以，即的方程為：，如下圖所示：
設(shè)點(diǎn)，
由題意可知直線的斜率一定存在，設(shè)，
聯(lián)立得，
所以.
由，得，
所以，即.
令，得，即，
同理，且，
所以.
由，得，即.
所以.
故.
【小問2詳解】
設(shè)點(diǎn)，結(jié)合（1）知，即
因?yàn)椋?br>所以.
同理可得，
所以.
又，
所以.
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；
即直線斜率為0時(shí)，取最小值；
19. “數(shù)”在量子代數(shù)研究中發(fā)揮了重要作用.設(shè)是非零實(shí)數(shù)，對(duì)任意，定義“數(shù)”利用“數(shù)”可定義“階乘”和“組合數(shù)”，即對(duì)任意，
（1）計(jì)算：；
（2）證明：對(duì)于任意，
（3）證明：對(duì)于任意，
【答案】（1）155 （2）證明見解析
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題中定義，直接進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）根據(jù)題中定義計(jì)算出等式左右兩邊的值，化簡(jiǎn)后即可證明；
（3）根據(jù)題中的定義化簡(jiǎn)題中的條件，得到，利用此等式，等到個(gè)等式，相加即可.
【小問1詳解】
由定義可知，
.
【小問2詳解】
因?yàn)椋?br>.
又
,
所以
【小問3詳解】
由定義得：
對(duì)任意.
結(jié)合（2）可知
即，
也即.
所以，
，
……
.
上述個(gè)等式兩邊分別相加得：
.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是充分利用題中的定義進(jìn)行運(yùn)算.
機(jī)構(gòu)名稱
甲
乙
分值
90
98
90
92
95
93
95
92
91
94
游園方式
游園結(jié)果
觀光車
自行車
步行
參觀完所有展園
80
80
40
未參觀完所有展園
20
120
160
0
1
2

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