一、選擇題
1．已知集合，，則( ).
A.B.C.D.
2．復(fù)數(shù)的虛部為( ).
A.-2B.2C.-1D.1
3．雙曲線的漸近線方程為( ).
A.B.C.D.
4．已知，，則( ).
A.B.C.D.
5．已知點(diǎn)M是邊長(zhǎng)為2的正方形的內(nèi)切圓內(nèi)（含邊界）一動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是( )
A.B.C.D.
6．《張丘建算經(jīng)》是我國(guó)北魏時(shí)期大數(shù)學(xué)家張丘建所著,約成書于公元466-485年間．其中記載著這么一道“女子織布”問題：某女子善于織布,一天比一天織得快,且每日增加的數(shù)量相同．已知第一日織布5尺,30日共織布390尺,則該女子織布每日增加_______尺( )
A.B.C.D.
7．將2名教師,4名學(xué)生分成2個(gè)小組,分別安排到甲、乙兩地參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng),每個(gè)小組由1名教師和2名學(xué)生組成,不同的安排方案共有( )
A.12種B.10種C.9種D.8種
8．已知橢圓的離心率為,直線與圓相切,則實(shí)數(shù)m的值是( )
二、多項(xiàng)選擇題
9．已知函數(shù),則下列結(jié)論正確的是( )
A.的最小正周期為
B.函數(shù)在上單調(diào)遞增
C.將函數(shù)圖像的橫坐標(biāo)縮短為原來的一半,再向左平移個(gè)單位后關(guān)于軸對(duì)稱
D.函數(shù)在上的最小值為
10．已知正方體的棱長(zhǎng)為a,點(diǎn)E,F,G分別棱,,的中點(diǎn),下列結(jié)論正確的是( )
A.平面B.四面體的體積等于
C.與平面所成角的正切值為D.平面
11．已知函數(shù)是R上的奇函數(shù),對(duì)于任意,都有成立,當(dāng)時(shí),則下列結(jié)論中正確的是( )
A.B.函數(shù)在上單調(diào)遞增
C.函數(shù)在上有3個(gè)零點(diǎn)D.點(diǎn)是函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心
三、填空題
12．據(jù)統(tǒng)計(jì),某段時(shí)間內(nèi)由內(nèi)地前往香港的老、中、青年旅客的比例依次為,現(xiàn)使用分層抽樣的方法從這些旅客中隨機(jī)抽取n人,若青年旅客抽到60人,則_______________.
13．已知直三棱柱的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上,若,,,,則球O的表面積為___________.
14．已知函數(shù),若且,則的取值范圍為___________.
四、解答題
15．已知函數(shù),.
（1）當(dāng)時(shí),求曲線在點(diǎn)處的切線的方程
（2）若曲線與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn),求a的取值范圍.
16．某校積極響應(yīng)習(xí)近平總書記關(guān)于共建學(xué)習(xí)型社會(huì)的號(hào)召,開展了“學(xué)黨史,強(qiáng)信仰,跟黨走”的主題學(xué)習(xí)活動(dòng).在一次“黨史”知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)中,給出了A、B、C三道題,答對(duì)A、B、C分別得2分、2分、4分,答錯(cuò)不得分.已知甲同學(xué)答對(duì)問題A、B、C的概率分別為、、,乙同學(xué)答對(duì)問題A、B、C的概率均為,甲、乙兩位同學(xué)都需回答這三道題,且各題回答正確與否相互獨(dú)立.
（1）求甲同學(xué)至少有一道題不能答對(duì)的概率;
（2）請(qǐng)結(jié)合統(tǒng)計(jì)的知識(shí)判斷甲、乙兩人在本次“黨史”知識(shí)競(jìng)賽中,哪位同學(xué)得分高.
17．如圖,在四棱錐中,底面ABCD為矩形,底面ABCD,,點(diǎn)E是棱PB中點(diǎn).
（1）證明:平面平面PBC.
（2）若,求二面角的余弦值.
18．已知拋物線上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為2．
（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)及拋物線C的方程;
（2）若點(diǎn)M、N在拋物線C上,且,求證：直線MN過定點(diǎn)．
19．對(duì)于給定的正整數(shù)m和實(shí)數(shù)α,若數(shù)列滿足如下兩個(gè)性質(zhì)：①;②對(duì),,則稱數(shù)列具有性質(zhì).
（1）若數(shù)列具有性質(zhì),求數(shù)列的前10項(xiàng)和;
（2）對(duì)于給定的正奇數(shù)t,若數(shù)列同時(shí)具有性質(zhì)和,求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
（3）若數(shù)列具有性質(zhì),求證：存在自然數(shù)N,對(duì)任意的正整數(shù)k,不等式均成立.
參考答案
1．答案：C
解析：由題設(shè)，，而，
∴.
故選：C.
2．答案：C
解析：，故虛部為-1.
故選：C
3．答案：A
解析：因?yàn)殡p曲線，所以，，
所以雙曲線的漸近線方程為.
故選：A
4．答案：D
解析：解：由，得，
所以，即，
因?yàn)?，所以?br>所以，
因?yàn)椋?br>所以，所以，
因?yàn)?，所以，所以?br>故選：D
5．答案：C
解析：如圖所示,
由題意可得：點(diǎn)M所在的圓的方程為：
設(shè)點(diǎn),,
由
,
故選：C．
6．答案：B
解析：由題意,可知該女子每日織布數(shù)呈等差數(shù)列,
設(shè)等差數(shù)列為的公差為d,其中首項(xiàng),,
可得,解得.
故選：B．
7．答案：A
解析：第一步,為甲地選一名老師,有種選法;
第二步,為甲地選兩個(gè)學(xué)生,有種選法;
第三步,為乙地選1名教師和2名學(xué)生,有1種選法,故不同的安排方案共有種,
故選：A．
8．答案：B
解析：由題意知,,則,直線,即,代入得,,由解得．
故選：B．
9．答案：AB
解析：,故最小正周期為,A正確;
當(dāng)時(shí),,而當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,故B正確;
將函數(shù)圖象的橫坐標(biāo)縮短為原來的一半,得到,再向左平移個(gè)單位,得到,不關(guān)于y軸對(duì)稱,故C錯(cuò)誤;
當(dāng)時(shí),,故,故D錯(cuò)誤.
故選：AB.
10．答案：ABC
解析：對(duì)于A,正方體中,,,又,
平面,平面,,
同理,,又,平面,故A正確;
對(duì)于B,以D為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,
則,,,,
,,,
設(shè)平面的法向量,
則,取,得,1,,
到平面的距離,
四面體的體積：
．故B正確;
對(duì)于C,,,,
平面的法向量,0,,
設(shè)與平面所成角為,
則,
,,
與平面所成角的正切值為,故C正確;
對(duì)于D,,,,,,
設(shè)平面的法向量,
則,取,得,
,與平面不平行,故D錯(cuò)誤．
故選：ABC．
11．答案：AD
解析：由,令,得,
又函數(shù)是R上的奇函數(shù),則,故A正確;
由,得,則周期為,
作出函數(shù)的部分圖象,如圖所示：
由圖象知：函數(shù)在上單調(diào)遞增,又,在2處不連續(xù),
則函數(shù)在上不單調(diào),
由,,,
則函數(shù)在上有7個(gè)零點(diǎn),故BC錯(cuò)誤;
因?yàn)槭呛瘮?shù)的一個(gè)個(gè)對(duì)稱中心,則也是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心,故D正確;
故選：AD.
12．答案：200
解析：青年旅客抽到60人,則老、中年旅客的人數(shù)分別為和,
故.
故答案為：200.
13．答案：
解析：如圖所示：
因?yàn)?,,則,
所以,的中點(diǎn)分,別為,的外接圓的圓心,
所以直三棱柱的外接球的球心是的中點(diǎn),
所以其半徑,
所以球的表面積.
故答案為：.
14．答案：
解析：畫出的圖象如圖：
,且,
且,,
,即, ,,
由圖象得在上為減函數(shù),
,
的取值范圍是.
故答案為：.
15．答案：（1）
（2）或
解析：（1）當(dāng)時(shí),,,
,,
曲線在點(diǎn)處的切線的方程為.
（2）由得,,
當(dāng)時(shí),,函數(shù)在R上單調(diào)遞增,
此時(shí),,
所以當(dāng)時(shí),曲線與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn);
當(dāng)時(shí),令得,,
,,單調(diào)遞增,,,單調(diào)遞減,
當(dāng)時(shí),函數(shù)有極大值,
若曲線與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn),
則,解得,
綜上所述,當(dāng)或時(shí),曲線與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn).
16．答案：（1）;
（2）乙同學(xué)的得分高
解析：（1）設(shè)甲同學(xué)三道題都答對(duì)的事件為A,則,
所以甲同學(xué)至少有一道題不能答對(duì)的概率為.
（2）設(shè)甲同學(xué)本次競(jìng)賽中得分為X,則X的可能取值為0,2,4,6,8分,
則,,
,
所以X的概率分布列為：
所以（分）
設(shè)乙同學(xué)本次競(jìng)賽中得分為Y,由Y的可能取值為0,2,4,6,8分
,,
,
所以Y的概率分布列為：
所以
由于,
所以乙同學(xué)的得分高.
17．答案：（1）證明見解析;
（2）.
解析：（1）證明:因?yàn)榈酌鍭BCD,平面ABCD,所以.
四邊形ABCD為矩形,所以,因?yàn)?所以平面PAB.
從而,因?yàn)?點(diǎn)E是棱PB的中點(diǎn)﹐所以.
因?yàn)?所以平面PBC.
又因?yàn)槠矫鍭CE,所以平面平面PBC.
（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以AB,AD,AP的方向?yàn)閤,y,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,
如圖所示,依題意可得,,,,,,,
設(shè)平面ACE的法向量為,由,得
不妨令可得.
設(shè)平面CED的法向量為,由,得
不妨令,可得.
易知二面角為銳角,,
所以二面角的余弦值為.
18．答案：（1）；
（2）證明見解析
解析：（1）拋物線的焦點(diǎn),準(zhǔn)線為,
因?yàn)辄c(diǎn)到其焦點(diǎn)距離為2,
所以,解得,
所以拋物線的方程為,
因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上,
所以,解得,
所以,
綜上,P點(diǎn)坐標(biāo)為,拋物線的方程為．
（2）證明：設(shè)直線MN的方程為,
,,
聯(lián)立,得,
所以,,
所以,
同理可得,
因,
所以,
所以,
所以,即（滿足）,
直線MN的方程為,
所以直線MN過定點(diǎn)．
19．答案：（1）5
（2）
（3）證明見解析
解析：（1）由題意得：,,則當(dāng)為奇數(shù)時(shí),,當(dāng)為偶數(shù)時(shí),,所以數(shù)列前10項(xiàng)和;
（2）由題意得：,,對(duì)于給定的正奇數(shù)t,,對(duì),,則令,,得：,,綜上：為常數(shù)列,由可得：
（3）要證,只需證,
即證,令數(shù)列,由于具有性質(zhì),
即,對(duì),,則,對(duì),,所以具有性質(zhì),
令,設(shè),,的最小值為,對(duì),
令,p,,,由于具有性質(zhì),則有,
所以,
所以,所以成立.
X
0
2
4
6
8
P
Y
0
2
4
6
8
P

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