時間：90分鐘滿分：120分
本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，共150分.考試時間為120分鐘.
第Ⅰ卷(選擇題，共58分)
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
2．復(fù)數(shù)的虛部為（ ）
A．﹣2B．2C．1D．﹣1
3．雙曲線的漸近線方程為（ ）
A．B．C．D．
4．已知，，則（ ）
A．B．C．D．
5．已知點M是邊長為2的正方形ABCD的內(nèi)切圓內(nèi)(含邊界)一動點，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
6．《張丘建算經(jīng)》是我國北魏時期大數(shù)學(xué)家張丘建所著，約成書于公元466﹣485年間．其中記載著這么一道“女子織布”問題：某女子善于織布，一天比一天織得快，且每日增加的數(shù)量相同。已知第一日織布5尺，30日共織布390尺，則該女子織布每日增加（ ）尺
A．B．C．D．
7．將2名教師，4名學(xué)生分成2個小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動，每個小組由1名教師和2名學(xué)生組成，不同的安排方案共有（ ）
A．12種B．10種C．9種D．8種
8．已知橢圓()的離心率為，直線與圓相切，則實數(shù)m的值是（ ）
A．±1B．±2C．±4D．±8
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得3分，有選錯的得0分。
9．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．的最小正周期為π
B．函數(shù)在上單調(diào)遞增
C．將函數(shù)圖像的橫坐標縮短為原來的一半，再向左平移個單位后關(guān)于y軸對稱
D．函數(shù)在上的最小值為
10．已知正方體的棱長為a，點E，F(xiàn)，G分別棱AB，，的中點，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．平面B．四面體的體積等于
C．FG與平面ABCD所成角的正切值為D．平面EFG
11．已知函數(shù)是R上的奇函數(shù)，對于任意，都有成立，當時，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．B．函數(shù)在上單調(diào)遞增
C．函數(shù)在上有3個零點D．點是函數(shù)的圖象的一個對稱中心
第Ⅱ卷(非選擇題，共92分)
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分。
12．據(jù)統(tǒng)計，某段時間內(nèi)由內(nèi)地前往香港的老、中、青年旅客的比例依次為5：2：3，現(xiàn)使用分層抽樣的方法從這些旅客中隨機抽取n人，若青年旅客抽到60人，則n＝_______；
13．已知直三棱柱的6個頂點都在球O的球面上，若，，，，則球O的表面積為_______；
14．已知函數(shù)．若，且，則的取值范圍是_______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15．(本小題滿分13分)已知函數(shù)，
(1)當時，求曲線在點處的切線的方程
(2)若曲線與x軸有且只有一個交點，求a的取值范圍．
16．(本小題滿分15分)某校積極響應(yīng)習(xí)近平總書記關(guān)于共建學(xué)習(xí)型社會的號召，開展了“學(xué)黨史，強信仰，跟黨走”的主題學(xué)習(xí)活動．在一次“黨史”知識競賽活動中，給出了A、B、C三道題，答對A、B、C分別得2分、2分、4分，答錯不得分．已知甲同學(xué)答對問題A、B、C的概率分別為、、，乙同學(xué)答對問題A、B、C的概率均為，甲、乙兩位同學(xué)都需回答這三道題，且各題回答正確與否相互獨立。
(1)求甲同學(xué)至少有一道題不能答對的概率；
(2)請結(jié)合統(tǒng)計的知識判斷甲、乙兩人在本次“黨史”知識競賽中，哪位同學(xué)得分高．
17．(本小題滿分15分)如圖，在四棱錐P﹣ACBD中，底面ABCD為矩形，底面ABCD，，點E是棱PB的中點．
(1)證明：平面平面PBC．
(2)若BC＝3，求二面角A﹣CE﹣D的余弦值．
18．(本小題滿分17分)已知拋物線C：上的點到其焦點的距離為2．
(1)求點P的坐標及拋物線C的方程；
(2)若點M、N在拋物線C上，且，求證：直線MN過定點．
19．(本小題滿分17分)
對于給定的正整數(shù)m和實數(shù)a，若數(shù)列滿足如下兩個性質(zhì)：
①；②對任意的，，則稱數(shù)列具有性質(zhì)．
(Ⅰ)若數(shù)列具有性質(zhì)，求數(shù)列的前10項和；
(Ⅱ)對于給定的正奇數(shù)t，若數(shù)列同時具有性質(zhì)和，求數(shù)列的通項式；
(Ⅲ)若數(shù)列具有性質(zhì)，求證：存在自然數(shù)N，對任意的正整數(shù)k，不等式均成立．
高三數(shù)學(xué)答案
一．選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
二．選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得3分，有選錯的得0分。
三．填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分。
12． 20013． 14．(3，＋∞)
四．解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15．（本小題滿分13分）
解：（1）當時，，，
∴，
∴曲線y＝f（x）在點(0，f(0))處的切線的方程為．………………4分
（2）由得，，
當時，，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，
此時，
所以當時，曲線y＝f（x）與x軸有且只有一個交點；………………8分
當時，令得，，
∴單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，
∴當時，函數(shù)有極大值，
若曲線y＝f（x）與x軸有且只有一個交點，
則，解得，
綜上所述，當或時，曲線y＝f（x）與x軸有且只有一個交點．………………13分
16．（本小題滿分15分）
解：（1）設(shè)甲同學(xué)三道題都答對的事件為，則，
所以甲同學(xué)至少有一道題不能答對的概率為．………………5分
（2）設(shè)甲同學(xué)本次競賽中得分為，則的可能取值為分，
則，，
，
所以的概率分布列為：
所以（分） ………………9分
設(shè)乙同學(xué)本次競賽中得分為，由的可能取值為分
，，
，
所以的概率分布列為：
所以………………13分
由于，
所以乙同學(xué)的得分高．………………15分
17．（本小題滿分15分）
證明：因為底面，平面，所以．
四邊形為矩形，所以，因為，所以平面．
從而，因為，點是棱的中點﹐所以．
因為，所以平面．
又因為平面，所以平面平面．………………6分
解：以為坐標原點，分別以的方向為軸的正方向建立空間直角坐標系，
如圖所示，依題意可得，
設(shè)平面的法向量為，由，得
不妨令可得．………………9分
設(shè)平面的法向量為，由，得
不妨令，可得．………………12分
易知二面角為銳角，，
所以二面角的余弦值為．………………15分
18．（本小題滿分17分）
解：（1）拋物線的焦點，準線為，
因為點到其焦點的距離為2，所以，解得，………………2分
所以拋物線的方程為，………………4分
因為點在拋物線上，所以，解得，所以，
綜上，P點坐標為，拋物線的方程為．………………8分
（2）證明：設(shè)直線MN的方程為，
，，聯(lián)立，得，
所以，，所以，………………10分
同理可得， ………………12分
因，所以，所以，
所以，即（滿足），
直線MN的方程為，
所以直線MN過定點．………………17分
19．（本小題滿分17分）
解：（Ⅰ）依題意，且，
所以數(shù)列的前10項和為5． ………………5分
（Ⅱ）由于數(shù)列具有性質(zhì)和，其中為大于零的奇數(shù)，
令，，則有，
所以．
綜上為常數(shù)列．
又因為具有性質(zhì)，所以．
所以． ………………10分
（Ⅲ）要證，
只需證，
即只需證，
令數(shù)列，由于數(shù)列具有性質(zhì)，則數(shù)列具有性質(zhì)．
令，
設(shè)的最小值為，
對，令，，，
由于具有性質(zhì)，所以．
所以．
所以成立． ………………17分題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
D
A
D
C
B
A
B
AB
ABC
AD










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