(1)求的長和關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式．
(2)當(dāng)，且長度分別等于，，的三條線段組成的三角形與相似時，求的值．
(3)延長交半圓于點(diǎn)，當(dāng)時，求的長．
2．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．拋物線的對稱軸與經(jīng)過點(diǎn)的直線交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

(1)求直線及拋物線的表達(dá)式；
(2)在拋物線上是否存在點(diǎn)，使得是以為直角邊的直角三角形?若存在，求出所有點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
(3)以點(diǎn)為圓心，畫半徑為2的圓，點(diǎn)為上一個動點(diǎn)，請求出的最小值．
3．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖像與軸分別交于點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)的左側(cè)），直線是對稱軸．點(diǎn)在函數(shù)圖像上，其橫坐標(biāo)大于4，連接，過點(diǎn)作，垂足為，以點(diǎn)為圓心，作半徑為的圓，與相切，切點(diǎn)為．

(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)若以的切線長為邊長的正方形的面積與的面積相等，且不經(jīng)過點(diǎn)，求長的取值范圍．
4．（2023·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

(1)求拋物線解析式及，兩點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)坐標(biāo)；
(3)該拋物線對稱軸上是否存在點(diǎn)，使得，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
5．（2023·四川樂山·統(tǒng)考中考真題）已知是拋物（b為常數(shù)）上的兩點(diǎn)，當(dāng)時，總有
(1)求b的值；
(2)將拋物線平移后得到拋物線．
探究下列問題：
①若拋物線與拋物線有一個交點(diǎn)，求m的取值范圍；
②設(shè)拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)E，外接圓的圓心為點(diǎn)F，如果對拋物線上的任意一點(diǎn)P，在拋物線上總存在一點(diǎn)Q，使得點(diǎn)P、Q的縱坐標(biāo)相等．求長的取值范圍．
6．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)、，且經(jīng)過點(diǎn)．

(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)在x軸上方的拋物線上任取一點(diǎn)N，射線、分別與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)P、Q，點(diǎn)Q關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為，求的面積；
(3)點(diǎn)M是y軸上一動點(diǎn)，當(dāng)最大時，求M的坐標(biāo)．
7．（2023·湖北恩施·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知拋物線與軸交于點(diǎn)，拋物線的對稱軸與軸交于點(diǎn)．

(1)如圖，若，拋物線的對稱軸為．求拋物線的解析式，并直接寫出時的取值范圍；
(2)在（1）的條件下，若為軸上的點(diǎn)，為軸上方拋物線上的點(diǎn)，當(dāng)為等邊三角形時，求點(diǎn)，的坐標(biāo)；
(3)若拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，，且，求正整數(shù)m，n的值．
8.如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，下表給出了這條拋物線上部分點(diǎn)的坐標(biāo)值：
（1）求出這條拋物線的解析式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）是拋物線對稱軸上長為1的一條動線段（點(diǎn)P在點(diǎn)Q上方），求的最小值；
（3）如圖2，點(diǎn)D是第四象限內(nèi)拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)D作軸，垂足為F，的外接圓與相交于點(diǎn)E．試問：線段的長是否為定值？如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由．
9.如圖，拋物線（其中）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．
（1）直接寫出的度數(shù)和線段AB的長（用a表示）；
（2）若點(diǎn)D為的外心，且與的周長之比為，求此拋物線的解析式；
（3）在（2）的前提下，試探究拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
10.如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)且與軸交于原點(diǎn)及點(diǎn)．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）求頂點(diǎn)的坐標(biāo)及直線的表達(dá)式；
（3）判斷的形狀，試說明理由；
（4）若點(diǎn)為上的動點(diǎn)，且的半徑為，一動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿線段勻速運(yùn)動到點(diǎn)，再以每秒1個單位長度的速度沿線段勻速運(yùn)動到點(diǎn)后停止運(yùn)動，求點(diǎn)的運(yùn)動時間的最小值．
11.我們把方程（x﹣m）2+（y﹣n）2＝r2稱為圓心為（m，n）、半徑長為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．例如，圓心為（1，﹣2）、半徑長為3的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（x﹣1）2+（y+2）2＝9．在平面直角坐標(biāo)系中，⊙C與軸交于點(diǎn)A，B，且點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，0），與y軸相切于點(diǎn)D（0，4），過點(diǎn)A，B，D的拋物線的頂點(diǎn)為E．
（1）求⊙C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）試判斷直線AE與⊙C的位置關(guān)系，并說明理由．
12.如圖，拋物線y＝ax2+94x+c經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)C（0，3）與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B，點(diǎn)M是直線BC上一動點(diǎn)，過點(diǎn)M作MP∥y軸，交拋物線于點(diǎn)P．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）在拋物線上是否存在一點(diǎn)Q，使得△QCO是等邊三角形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）以M為圓心，MP為半徑作⊙M，當(dāng)⊙M與坐標(biāo)軸相切時，求出⊙M的半徑．
13.在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A(﹣2，0)，B(4，0)兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)P是第四象限內(nèi)拋物線上的一個動點(diǎn)．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）如圖甲，連接AC，PA，PC，若，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖乙，過A，B，P三點(diǎn)作⊙M，過點(diǎn)P作PE⊥x軸，垂足為D，交⊙M于點(diǎn)E．點(diǎn)P在運(yùn)動過程中線段DE的長是否變化，若有變化，求出DE的取值范圍；若不變，求DE的長．
14.如圖，在直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是平行四邊形，經(jīng)過A（﹣2，0），B，C三點(diǎn)的拋物線y＝ax2+bx+（a＜0）與x軸的另一個交點(diǎn)為D，其頂點(diǎn)為M，對稱軸與x軸交于點(diǎn)E．
（1）求這條拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
（2）已知R是拋物線上的點(diǎn)，使得△ADR的面積是平行四邊形OABC的面積的，求點(diǎn)R的坐標(biāo)；
（3）已知P是拋物線對稱軸上的點(diǎn)，滿足在直線MD上存在唯一的點(diǎn)Q，使得∠PQE＝45°，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
15如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，，以O(shè)為圓心，OA的長為半徑的半圓O交AO的延長線于C，連接AB，BC，過O作ED//BC分別交AB和半圓O于E，D，連接OB，CD．
（1）求證：BC是半圓O的切線；
（2）試判斷四邊形OBCD的形狀，并說明理由；
（3）如圖2，若拋物線經(jīng)過點(diǎn)D，且頂點(diǎn)為E，求此拋物線的解析式；點(diǎn)P 是此拋物線對稱軸上的一動點(diǎn)，以E，D，P為頂點(diǎn)的三角形與相似，問拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得，若存在，請直接寫出Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線過點(diǎn)B且與直線相交于另一點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P是拋物線上的一動點(diǎn)，當(dāng)時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)在x軸的正半軸上，點(diǎn)是y軸正半軸上的一動點(diǎn)，且滿足．
①求m與n之間的函數(shù)關(guān)系式；
②當(dāng)m在什么范圍時，符合條件的N點(diǎn)的個數(shù)有2個？
17.將拋物線向下平移6個單位長度得到拋物線，再將拋物線向左平移2個單位長度得到拋物線．

（1）直接寫出拋物線，的解析式；
（2）如圖（1），點(diǎn)在拋物線對稱軸右側(cè)上，點(diǎn)在對稱軸上，是以為斜邊的等腰直角三角形，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）如圖（2），直線（，為常數(shù)）與拋物線交于，兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)；直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)．求證：直線經(jīng)過一個定點(diǎn)．
18.如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是，在x軸上任取一點(diǎn)M．連接AM，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)M為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于G，H兩點(diǎn)，作直線GH，過點(diǎn)M作x軸的垂線l交直線GH于點(diǎn)P．根據(jù)以上操作，完成下列問題．
探究：
（1）線段PA與PM的數(shù)量關(guān)系為________，其理由為：________________．
（2）在x軸上多次改變點(diǎn)M的位置，按上述作圖方法得到相應(yīng)點(diǎn)P的坐標(biāo)，并完成下列表格：
猜想：
（3）請根據(jù)上述表格中P點(diǎn)的坐標(biāo)，把這些點(diǎn)用平滑的曲線在圖2中連接起來；觀察畫出的曲線L，猜想曲線L的形狀是________．
驗(yàn)證：
（4）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是，根據(jù)圖1中線段PA與PM的關(guān)系，求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式．
應(yīng)用：
（5）如圖3，點(diǎn)，，點(diǎn)D為曲線L上任意一點(diǎn)，且，求點(diǎn)D的縱坐標(biāo)的取值范圍．
19.如圖，已知，是的平分線，是射線上一點(diǎn)，．動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度沿水平向左作勻速運(yùn)動，與此同時，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，也以的速度沿豎直向上作勻速運(yùn)動．連接，交于點(diǎn)．經(jīng)過、、三點(diǎn)作圓，交于點(diǎn)，連接、．設(shè)運(yùn)動時間為，其中．
（1）求的值；
（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得線段的長度最大？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．
（3）求四邊形的面積．
20如圖，拋物線y＝ax2+x+c經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)C （0，3）與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B，點(diǎn)M是直線BC上一動點(diǎn)，過點(diǎn)M作MP∥y軸，交拋物線于點(diǎn)P．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）在拋物線上是否存在一點(diǎn)Q，使得△QCO是等邊三角形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）以M為圓心，MP為半徑作⊙M，當(dāng)⊙M與坐標(biāo)軸相切時，求出⊙M的半徑．
21.我們把方程(x- m)2+(y-n)2=r2稱為圓心為(m，n)、半徑長為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．例如，圓心為(1,-2)、半徑長為3的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x- 1)2+(y+2)2=9．在平面直角坐標(biāo)系中,圓C與軸交于點(diǎn)A．B．且點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8．0),與y軸相切于點(diǎn)D(0, 4)，過點(diǎn)A,B,D的拋物線的頂點(diǎn)為E．
(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)試判斷直線AE與圓C的位置關(guān)系，并說明理由．
x
…
0
1
2
3
…
y
…
0
3
4
3
0
…
M的坐標(biāo)
…
…
P的坐標(biāo)
…
…

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