注意事項：
1．答卷前，考生務將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。
3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。
一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1．設集合，，則（ ）
A．B．C．D．
2．已知復數(shù)滿足，則（為虛數(shù)單位）的最大值為（ ）
A．4B．5C．6D．7
3．已知，則（ ）
A．B．C．D．
4．的展開式中的系數(shù)是（ ）
A．8B．C．32D．
5．在平面直角坐標系中，已知圓，若直線上有且只有一個點滿足：過點作圓的兩條切線，切點分別為，且使得四邊形為正方形，則正實數(shù)的值為（ ）
A．1B．C．3D．7
6．已知函數(shù)，若（其中），則的最小值為（ ）
A．4B．2C．D．
7．中國蹴鞠已有兩千三百多年的歷史，于2004年被國際足聯(lián)正式確認為世界足球運動的起源．為弘揚中華傳統(tǒng)文化，某市四所高中各自組建了蹴鞠隊（分別記為“甲隊”“乙隊”“丙隊”“丁隊”）進行單循環(huán)比賽（即每支球隊都要跟其他各支球隊進行一場比賽），最后按各隊的積分排列名次（積分多者名次靠前，積分同者名次并列），積分規(guī)則為每隊勝一場得3分，平場得1分，負一場得0分．若每場比賽中兩隊勝、平、負的概率均為，則在比賽結束時丙隊在輸了第一場且其積分仍超過其余三支球隊的積分的概率為（ ）
A．B．C．D．
8．在邊長為4的正方體中，點是的中點，點是側面內的動點（含四條邊），且，則的軌跡長度為（ ）
A．B．C．D．
二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）
9．設函數(shù)的定義域為，為奇函數(shù)，，，則（ ）
A．B．C．D．
10．古希臘哲學家芝諾提出了如下悖論：一個人以恒定的速度徑直從點走向點，要先走完總路程的三分之一，再走完剩下路程的三分之一，如此下去，會產(chǎn)生無限個“剩下的路程”，因此他有無限個“剩下路程的三分之一”要走，這個人永遠走不到終點，由于古代人們對無限認識的局限性，故芝諾得到了錯誤的結論．設，這個人走的第段距離為，這個人走的前段距離總和為，則（ ）
A．，使得B．，使得
C．，使得D．，使得
11．過拋物線的焦點的直線交拋物線于兩點（點在第一象限），為線段的中點．若，則下列說法正確的是（ ）
A．拋物線的準線方程為
B．過兩點作拋物線的切線，兩切線交于點，則點在以為直徑的圓上
C．若為坐標原點，則
D．若過點且與直線垂直的直線交拋物線于兩點，則
三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）
12．二項式的展開式中所有二項式系數(shù)之和為64，則二項式的展開式中常數(shù)項為______．
13．某校數(shù)學建模興趣小組收集了一組恒溫動物體重（單位：克）與脈搏率（單位：心跳次數(shù)/分鐘）的對應數(shù)據(jù)，根據(jù)生物學常識和散點圖得出與近似滿足（為參數(shù)）．令，，計算得，，．由最小二乘法得經(jīng)驗回歸方程為，則的值為______；為判斷擬合效果，通過經(jīng)驗回歸方程求得預測值，若殘差平方和，則決定系數(shù)______．（參考公式：決定系數(shù)）
14．已知直四棱柱的所有棱長均為4，，以為球心，為半徑的球面與側面的交線長為______．
四、解答題（本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）
15．（13分）
已知函數(shù)．
（1）若曲線在點處的切線與直線平行，求出這條切線的方程；
（2）討論函數(shù)的單調性．
16．（15分）
如圖，已知直三棱柱分別為線段的中點，為線段上的動點，．
（1）若，試證；
（2）在（1）的條件下，當時，試確定動點的位置，使線段與平面所成角的正弦值最大．
17．（15分）
為豐富學生的課外活動，學校羽毛球社團舉行羽毛球團體賽，賽制采取5局3勝制，每局都是單打模式，每隊有5名隊員，比賽中每個隊員至多上場一次且上場順序是隨機的，每局比賽結果互不影響，經(jīng)過小組賽后，最終甲、乙兩隊進入最后的決賽，根據(jù)前期比賽的數(shù)據(jù)統(tǒng)計，甲隊明星隊員對乙隊的每名隊員的勝率均為，甲隊其余4名隊員對乙隊每名隊員的勝率均為（注：比賽結果沒有平局）
（1）求甲隊明星隊員在前四局比賽中不出場的前提下，甲、乙兩隊比賽4局，甲隊最終獲勝的概率；
（2）求甲、乙兩隊比賽3局，甲隊獲得最終勝利的概率；
（3）若已知甲、乙兩隊比賽3局，甲隊獲得最終勝利，求甲隊明星隊員上場的概率．
18．（17分）
如圖所示，在平面直角坐標系中，橢圓的左，右焦點外別為，設是第一象限內上的一點，的延長線分別交于點．
（1）求的周長；
（2）求面積的取值范圍；
（3）設分別為、的內切圓半徑，求的最大值．
19．（17分）
設數(shù)列．如果對小于的每個正整數(shù)都有．則稱是數(shù)列的一個“時刻”．記是數(shù)列的所有“時刻”組成的集合，的元素個數(shù)記為．
（1）對數(shù)列，寫出的所有元素；
（2）數(shù)列滿足，若．求數(shù)列的種數(shù)．
（3）證明：若數(shù)列滿足，則．
長沙市一中2024屆高考適應性演練（二）
數(shù)學參考答案
一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1．D
【解析】因為，所以，
即，
因為，解得，所以，
所以，．
故選：D
2．C
【解析】由可設：，
，
（其中），
當時，即時，
．
故選：C．
3．
【解析】因為，
所以
．
故選：C
4．
【解析】由題意得，
其展開式為，
則對于的展開式為，
，
令，則當時符合題意，
此時系數(shù)為，故C正確．
故選：C．
5．
【解析】由可知圓心，半徑為2，
因為四邊形為正方形，且邊長為圓的半徑2，所以，
所以直線上有且只有一個點，使得，即，
所以圓心到直線的距離為，
所以，解得或（舍）．
故選：C
6．C
【解析】，
由，，
即，，
當且僅當，
即，時等號成立．故選C．
7．D
【解析】三隊中選一隊與丙比賽，丙輸，，例如是丙甲，
若丙與乙、丁的兩場比賽一贏一平，則丙只得4分，
這時，甲乙、甲丁兩場比賽中甲只能輸，否則甲的分數(shù)不小于4分，不合題意，
在甲輸?shù)那闆r下，乙、丁已有3分，
那個它們之間的比賽無論什么情況，乙、丁中有一人得分不小于4分，不合題意．
若丙全贏（概率是）時，丙得6分，其他3人分數(shù)最高為5分，
這時甲乙，甲丁兩場比賽中甲不能贏，否則甲的分數(shù)不小于6分，
（1）若甲乙，甲丁兩場比賽中甲一平一輸，則一平一輸?shù)母怕适牵?br>如平乙，輸丁，則乙丁比賽時，丁不能贏，概率是，
（2）若甲乙，甲丁兩場比賽中甲兩場均平，概率是，
乙丁這場比賽無論結論如何均符合題意，
（3）若甲乙，甲丁兩場比賽中甲都輸，概率是，
乙丁這場比賽只能平，概率是．
綜上，概率為，D正確．
故選：D．
8．D
【解析】在長方體中，由于平面，平面，
在和中，，，
，，，
在平面，以為坐標原點，以，為軸的正方向，建立平面直角坐標系，
設，則，，
則由可得，
化簡可得，
由于，，
故的軌跡表示圓心在，半徑為的圓在第一象限的弧長，
由于，
故，因此軌跡為所對的弧長，故長度為，
故選：D
二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）
9．ABD
【解析】由為奇函數(shù)，即函數(shù)的圖象關于對稱，
又，則的圖象關于對稱，
所以，
則，
為周期函數(shù)且周期為，B對．
所以，A對．
而，C錯．
由上可知，，
所以，
則，對．
故選：ABD．
10．
【解析】由已知得，，
不難得到，，，所以錯誤．
走段距離后，由得，
兩式相減化簡得，
當時，，也符合，所以正確．
由可知是公比為，首項為的等比數(shù)列，
，所以C正確，D錯誤．
故選：BC．
11．
【解析】對于：
由已知設過點的直線方程為，，，，
聯(lián)立方程，消去得，
可得，
又因為，所以，
則，解得，
所以拋物線方程為，準線方程為，A錯誤；
對于B：拋物線，即，，
易得，，
所以，
故直線垂直，所以點在以為直徑的圓上，正確；
對于C：由項知，拋物線，直線的方程為，，，，
聯(lián)立方程，消去得，
可得，，
，
解得，所以，
所以，
所以，，即，
所以，C錯誤；
對于D：由C選項知，，
因為直線垂直于直線，
所以
則，D正確．
故選：BD．
三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）
12．
【解析】由二項式的展開式中所有二項式系數(shù)之和為64，
得，即，所以．
令，得，
所以二項式的展開式中常數(shù)項為．
13．；
【解析】因為，兩邊取對數(shù)可得，
又，，
依題意回歸直線方程必過樣本中心點，
所以，解得，所以，
又．
故答案為：；．
14．
【解析】如圖：取的中點，連接，
結合題意：易得為等邊三角形，
因為為的中點，所以
因為在直四棱柱中有面，且面，
所以，又因為，且面
所以面，結合球的性質可知為該截面圓的圓心，
因為直四棱柱的所有棱長均為4，，
所以，，，，
故以為球心，為半徑的球面與側面的交線為：以為圓心，為半徑的圓所成的圓?。?br>所以．
故答案為：．
四、解答題（本題共6小題，共70分）
15．解：（1），
由已知，得
又
曲線在點處的切線方程為
化簡得：
（2）定義域為，
，令得或
①當即時，
令得或，令得，
故在單調遞減，在上單調遞增；
②當即時，恒成立，
故在上單調遞增；
③當即時，
令得或，令得，
在上單調遞減，在上單調遞增；
綜上，當時，在單調遞減，在上單調遞增；
當時，在上單調遞增；
當時，在上單調遞減，在上單調遞增．
16．解：（1）證明：在中，
為中點且，．
平面平面且交線為，
平面，．
分別為的中點，
．．
在直角和直角中，
，，，
，
，
，．
，平面，
平面，平面，．
（2）平面，
由（1）得三線兩兩垂直，
以為原點，以為軸建立空間直角坐標系如圖，
則，，，，，，，．
設平面的法向量為，
則
令得，所以是平面的一個法向量，
設，，
則，
，，
設直線與平面所成的角為，
則
．
若，此時點與重合，
若，令，
則．
當，即，為的中點時，取得最大值．
17．解：（1）事件B為“甲、乙兩隊比賽4局，甲隊最終獲勝”，
事件為“甲隊第局獲勝”，其中相互獨立．
又甲隊明星隊員前四局不出場，
故，
，
所以．
（2）設事件為“甲隊3局獲得最終勝利”，事件為“前3局甲隊明星隊員上場比賽”，
因為每名隊員上場順序隨機，
所以，，
，
由全概率公式，知．
（3）由（2），得．
18．解：（1）為橢圓的兩焦點，且為橢圓上的點，
，從而的周長為．
由題意，得，即的周長為．
（2）由題意可設過的直線方程為，，，
聯(lián)立，消去得，
則，，
所以，
令，
則（當時等號成立，即時）
所以，
故面積的取值范圍為．
（3）設，直線的方程為：，
將其代入橢圓的方程可得，
整理可得，
則，得，，
故．
當時，直線的方程為：，
將其代入橢圓方程并整理可得，
同理，可得，
因為，，
所以
，
當且僅當時，等號成立．
若軸時，易知，，，
此時，
綜上，的最大值為．
19．解：（1）由題設知當時，，，故是數(shù)列的一個“時刻”，
同理當時，都有，即也是數(shù)列的一個“時刻”，
綜上，．
（2）解法一：
由，易知或
①當時，必須從左往右排列，6可以是中任一個，共有5種情況
②當時，若中的四個元素是由集合中的元素或或或引起的
1．若由引起，即從左往右排列，則5必須排在4的后面，共4種；
2．若由引起，即從左往右排列，則4必須排在3的后面，共3種
3．若由引起，即從左往右排列，則3必須排在2的后面，共2種；
4．若由引起，即從左往右排列，則2必須排在1的后面，共1種
綜上，符合的數(shù)列有15種
解法二：
因為數(shù)列，
由題意可知中的四個元素為中的四個，共有5種情況：
①當時，數(shù)列共有1種情況；
②當時，數(shù)列共有2種情況；
③當時，數(shù)列共有3種情況；
④當時，數(shù)列共有4種情況；
⑤當時，
數(shù)列共有5種情況；
綜上，符合的數(shù)列有15種．
（3）①若，由，
所以，即成立；
②若，
不妨設且
從而；；；
由累加法知：
又，即；
綜上，，證畢．

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