長沙市一中2024屆高三月考試卷（二）數(shù)學(xué)時量：120分   滿分：150分   得分一、選擇題（本大題共8個小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1. 已知集合，，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】解對數(shù)不等式求出，進(jìn)而求出交集.【詳解】，解得，故，因?yàn)?/span>，所以.故選：D2. 若虛部大于0復(fù)數(shù)滿足方程，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【詳解】由題可知：，故，所以共軛復(fù)數(shù)為故選B3. 古希臘數(shù)學(xué)家泰特托斯（Theaetetus，公元前417—公元前369年）詳細(xì)地討論了無理數(shù)的理論，他通過圖來構(gòu)造無理數(shù)，，，，如圖，則（    ）  A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】利用直角三角形中邊角關(guān)系和兩角和的余弦公式即可求解.【詳解】記，由圖知：，，，所以.故選：B.4. 設(shè)向量與的夾角為θ，定義，已知，，則（    ）A.  B.  C. 5 D. 25【答案】C【解析】【分析】由，可得，以及向量與的夾角，結(jié)合題意可求得答案【詳解】因?yàn)?/span>，，所以，，即，所以向量與的夾角為，所以，故選：C5. 血藥濃度檢測可使給藥方案個體化，從而達(dá)到臨床用藥的安全、有效、合理.某醫(yī)學(xué)研究所研制的某種新藥進(jìn)入了臨床試驗(yàn)階段，經(jīng)檢測，當(dāng)患者A給藥3小時的時候血藥濃度達(dá)到峰值，此后每經(jīng)過2小時檢測一次，每次檢測血藥濃度降低到上一次檢測血藥濃度的，當(dāng)血藥濃度為峰值的時，給藥時間為（    ）A. 11小時 B. 13小時 C. 17小時 D. 19小時【答案】B【解析】【分析】利用題意，將給藥時間與檢測次數(shù)轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列模型，將給藥時間與患者血藥濃度轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列模型，則利用數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可.【詳解】解：檢測第n次時，給藥時間為，則是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以，設(shè)當(dāng)給藥時間為小時的時候，患者血藥濃度為，血藥濃度峰值為a，則數(shù)列是首項(xiàng)為a，公比為的等比數(shù)列，所以，令，即，解得，當(dāng)血藥濃度為峰值的時，給藥時間為，故選：B.6. 對于一些不太容易比較大小的實(shí)數(shù)，我們常常用構(gòu)造函數(shù)的方法來進(jìn)行，如，已知，，，要比較，，的大小，我們就可通過構(gòu)造函數(shù)來進(jìn)行比較，通過計算，你認(rèn)為下列關(guān)系正確的一項(xiàng)是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)討論單調(diào)性，可得，即，化簡即可得答案．【詳解】令，則，當(dāng)，即，，，所以，在上單調(diào)遞增，因?yàn)?/span>,所以有，即，所以有，即，所以有．故選：A．7. 函數(shù)（，）的部分圖象如圖所示，若在上有且僅有3個零點(diǎn)，則的最小值為（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】先求得，然后根據(jù)在上有且僅有3個零點(diǎn)列不等式，從而求得的取值范圍，進(jìn)而求得正確答案.【詳解】由圖可知，由于，所以，令，得，由得，依題意，在上有且僅有3個零點(diǎn)，故當(dāng)取值最小時，有，解得，所以的最小值為.故選：A8. 定義在上的不恒為零的偶函數(shù)滿足，且.則（    ）A. 30 B. 60 C. 90 D. 120【答案】D【解析】【分析】首先等式變形為，再結(jié)合以及偶函數(shù)的性質(zhì)，即可求和.【詳解】由條件可知，，且，則，所以，因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以，則.故選：D.二、選擇題（本大題共4個小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分）9. 氣象意義上從春季進(jìn)入夏季的標(biāo)志為“連續(xù)5天的日平均溫度均不低于22 ℃”.現(xiàn)有甲、乙、丙三地連續(xù)5天的日平均溫度（單位:℃）的記錄數(shù)據(jù)（記錄數(shù)據(jù)都是正整數(shù)）:①甲地：5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為24，眾數(shù)為22；②乙地：5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為27，總體平均數(shù)為24；③丙地：5個數(shù)據(jù)中有一個數(shù)據(jù)是32，總體平均數(shù)為26，總體方差為10.8.則肯定進(jìn)入夏季的地區(qū)有（　?。?/span>A. 一個都沒有 B. 甲地C. 乙地 D. 丙地【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)和方差的數(shù)字特征，逐個判定，即可求解.【詳解】①甲地：5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為24，眾數(shù)為22，根據(jù)數(shù)據(jù)得出，家底連續(xù)5天的日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)可能為，其連續(xù)5天的日平均溫度均不低于22，可確定甲地進(jìn)行夏季；②乙地：5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為27，總體平均數(shù)為24，當(dāng)5數(shù)據(jù)為，可知其連續(xù)5天的日溫度有低于22，所以不確定；③丙地：5個數(shù)據(jù)中有一個數(shù)據(jù)是32，總體平均數(shù)為26，若有低于22，假設(shè)取21，此時方程就超出了，可知其連續(xù)5天的日溫度均不低于22，如：，這組數(shù)據(jù)的均值為26，方差為，但是進(jìn)一步擴(kuò)大方差就會超過，所以可判定丙地進(jìn)入夏季.故選：BD.10. 點(diǎn)是直線上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條切線，為切點(diǎn)，則（    ）A. 存在點(diǎn)，使得B. 弦長的最小值為C. 點(diǎn)在以為直徑圓上D. 線段經(jīng)過一個定點(diǎn)【答案】BCD【解析】【分析】對于A，設(shè)，根據(jù)得，，得，可得A不正確；對于B，根據(jù)四邊形面積關(guān)系列式求出，根據(jù)可求出，可得B正確；對于C，用以為直徑的圓的方程和圓相減得公共弦所在直線方程，可得定點(diǎn)坐標(biāo)，可得D正確.【詳解】對于A，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，因?yàn)?/span>，，，，所以，所以，所以，故不存在點(diǎn)，使得，故A不正確；對于B，根據(jù)圓的對稱性得，所以，又，所以，所以，由A知，，所以.故B正確；對于C，因?yàn)?/span>，，所以既是直角三角形的外接圓的直徑，又是直角三角形的外接圓的直徑，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上，故C正確；對于D，設(shè)，則的中點(diǎn)為，所以以為直徑的圓的方程為，即，因?yàn)?/span>是圓與圓的公共弦，所以直線的方程為：，當(dāng)時，，所以直線：過定點(diǎn)，因定點(diǎn)在圓內(nèi)，所以線段經(jīng)過定點(diǎn)，故D正確.  故選：BCD11. 如圖，直四棱柱的底面是梯形，，，，，P是棱的中點(diǎn)．Q是棱上一動點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），則（    ）  A.  與平面BPQ有可能平行B. 與平面BPQ有可能平行C. 三角形BPQ周長的最小值為D. 三棱錐的體積為定值【答案】ACD【解析】【分析】對于A，當(dāng)Q為的中點(diǎn)時，可證得四邊形為平行四邊形，則與互相平分于點(diǎn)，連接可證得∥，再由線面平行的判定定理可得結(jié)論，對于B，由題意可得與平面BPQ相交，對于C，把沿展開與在同一平面（如圖），則當(dāng)B，P，Q共線時，有最小值，從而可求得結(jié)果，對于D，， 為定值，可得結(jié)論.【詳解】對于A，連接，當(dāng)Q為的中點(diǎn)時，，因?yàn)?/span>，∥，∥，，所以，∥，所以四邊形為平行四邊形，所以與互相平分，設(shè)與交于點(diǎn)，連接，因?yàn)?/span>P是棱的中點(diǎn)，所以∥，因?yàn)?/span>平面，平面，所以∥平面BPQ，故A正確；  對于B，，又平面BPQ，BD與平面BPQ只能相交，所以與平面BPQ只能相交，故B錯；對于C，，把沿展開與在同一平面（如圖），則當(dāng)B，P，Q共線時，有最小值，在直角梯形中，，，，，則，所以，所以，所以三角形BPQ周長的最小值為，故C正確；    對于D，，因為定值，因?yàn)?/span>∥，∥，所以∥，因?yàn)?/span>平面，平面，所以∥平面ABP，故Q到平面ABP的距離也為定值，所以為定值．所以D正確，故選：ACD．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查線面平行的判定和棱錐體的求法，對于選項(xiàng)A解題的關(guān)鍵是證明四邊形為平行四邊形，從而可找到的中點(diǎn)，再利用三角形中位線定理可得線線平行，考查空間想象能力，屬于較難題.12. 設(shè)正整數(shù)，其中.記，則（    ）A.  B. C.  D. 【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)的表達(dá)式，的表達(dá)式，結(jié)合等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式確定正確答案.【詳解】，所以，所以A選項(xiàng)正確.正整數(shù)，則，所以，所以B選項(xiàng)正確，所以，所以C選項(xiàng)錯誤.，是首項(xiàng)為，公比為的數(shù)列的前項(xiàng)和，即，所以，所以D選項(xiàng)正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】解新定義題型的步驟：(1)理解“新定義”——明確“新定義”的條件、原理、方法、步驟和結(jié)論.(2)重視“舉例”,利用“舉例”檢驗(yàn)是否理解和正確運(yùn)用“新定義”;歸納“舉例”提供的解題方法.歸納“舉例”提供的分類情況.(3)類比新定義中的概念、原理、方法，解決題中需要解決的問題.三、填空題（本大題共4個小題，每小題5分，共20分）13. 的展開式中的系數(shù)為______.（用數(shù)字作答）【答案】25【解析】【分析】把按照二項(xiàng)式定理展開，可得展開式中的系數(shù)．【詳解】的展開式中的系數(shù)為，故答案為：2514. 寫出一個同時具有下列兩個性質(zhì)的函數(shù)：______.①的值域?yàn)?/span>；②當(dāng)時，.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，由條件可知函數(shù)滿足在上單調(diào)遞增且值域?yàn)?/span>，考慮反比例函數(shù)類型即可得到結(jié)果.【詳解】函數(shù)同時滿足值域?yàn)?/span>且當(dāng)時，，考慮，則且，再將函數(shù)向上平移兩個單位可得，則，且滿足題意.故答案為：15. 雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，，右支上有一點(diǎn)M，滿足，的內(nèi)切圓與y軸相切，則雙曲線C的離心率為________．【答案】##【解析】【分析】由圓的切線性質(zhì)及雙曲線定義，可得關(guān)系式，，從而解出、，利用勾股定理可解.【詳解】內(nèi)切圓Q分別與，，，軸切于點(diǎn)S，T，N，P則四邊形、都為正方形，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，由圓的切線性質(zhì)，則，則 ，①又因?yàn)?/span>，②且雙曲線定義得，，③由①、②、③得，所以，從而，由勾股定理，，所以，解得．故答案為：16. 已知正四面體的外接球半徑為3，MN為其外接球的一條直徑，P為正四面體表面上任意一點(diǎn)，則的最小值為___________．【答案】【解析】【分析】設(shè)正四面體外接球球心為O，把用表示并計算數(shù)量積后可得．【詳解】設(shè)正四面體外接球球心為O，正四面體的外接球半徑為3，設(shè)正四面體內(nèi)切球半徑為，一個面的面積為，高為，則，所以，顯然，所以，即．．故答案為：．四、解答題（本大題共6個小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17. 已知數(shù)列滿足，且.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）若，求滿足條件的最大整數(shù)n.【答案】（1）證明見解析    （2）99【解析】【分析】（1）由已知得再由等比數(shù)列的定義可得答案；（2）由（1）求出，再由等比數(shù)列的求和公式可得，令，根據(jù)的單調(diào)性可得答案.【小問1詳解】，，，，是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；【小問2詳解】由（1）：，，，令，因?yàn)?/span>在單調(diào)遞增，所以在單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，，可得，所以滿足條件的最大整數(shù)為.18. 如圖所示，等腰梯形中，，，，E為中點(diǎn)，與交于點(diǎn)O，將沿折起，使點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)P的位置（平面）.
    （1）證明：平面平面；（2）若，試判斷線段上是否存在一點(diǎn)Q（不含端點(diǎn)），使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求三棱錐的體積，若不存在，說明理由.【答案】（1）證明詳見解析    （2）存在，且【解析】【分析】（1）通過證明平面來證得平面平面.（2）判斷出平面，由此建立空間直角坐標(biāo)系，利用直線與平面所成角的正弦值確定點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得三棱錐的體積.【小問1詳解】在原圖中，連接，由于，所以四邊形是平行四邊形，由于，所以四邊形是菱形，所以，由于，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以.  在反著過程中，保持不變，即保持不變，由于平面，所以平面，由于平面，所以平面平面.【小問2詳解】由上述分析可知，在原圖中，，所以，所以，折疊后，若，則，所以，由于平面，所以平面，由于平面，所以，所以兩兩相互垂直，由此以為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，，設(shè)，，，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，設(shè)直線與平面所成角為，則，，，所以，即是的中點(diǎn).由于軸與平面垂直，所以到平面的距離為，所以.  19. 的內(nèi)角A，B，C所對邊分別為a，b，c，點(diǎn)O為的內(nèi)心，記，，的面積分別為，，，已知，.（1）在①；②；③中選一個作為條件，判斷是否存在，若存在，求出的周長，若不存在，說明理由.（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.）（2）若為銳角三角形，求面積的取值范圍.【答案】（1）見解析    （2）【解析】【分析】（1）由題意，根據(jù)的內(nèi)切圓的性質(zhì)可得，選①，根據(jù)余弦定理可得，方程無解即△ABC不存在；選②，根據(jù)正弦定理可得，由可得，方程無解即△ABC不存在；選③，根據(jù)三角恒等變換可得，由（1）得，解得，可求出的周長.（2）由三角形的面積可得，再由正弦定理和兩角和的正弦公式可得，結(jié)合角C的取值范圍即可求解.【小問1詳解】設(shè)的內(nèi)切圓半徑為r，因?yàn)?/span>，所以，化簡得：，所以，因?yàn)?/span>，所以，選擇①，因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>，，所以，整理得，方程無實(shí)數(shù)解，所以不存在．選擇②，因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>，所以，所以，因?yàn)?/span>，，所以，整理得，方程無實(shí)數(shù)解，所以不存在．選擇③，由得：，所以，即，所以，因?yàn)橐?/span>，，所以，所以，解得，所以存在且唯一，的周長為．【小問2詳解】由（1）知，，面積，因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>為銳角三角形，所以，，解得：，所以，所以，，，所以的取值范圍為，而面積.20. 已知函數(shù).（1）若在上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的最大值；（2）若，求證：.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立問題，通過分離變量的方式將問題轉(zhuǎn)化為，利用導(dǎo)數(shù)求得的最大值，進(jìn)而得到結(jié)果；（2）將問題轉(zhuǎn)化為的證明；利用單調(diào)遞增和零點(diǎn)存在定理可確定存在，使得，從而得到；根據(jù)導(dǎo)函數(shù)正負(fù)可確定單調(diào)性，進(jìn)而得到，化簡后，結(jié)合基本不等式可證得結(jié)論.【詳解】由函數(shù)解析式可知，定義域?yàn)?/span>.（1），在上是減函數(shù)，在上恒成立，即恒成立令，則，在上單調(diào)遞增，，，解得：，的最大值為.（2）由（1）知：，則，在上單調(diào)遞增.，當(dāng)時，，，此時，由零點(diǎn)存在定理可知，存在，使得，即，.當(dāng)時，；當(dāng)時，，當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號）.當(dāng)時，.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，涉及到根據(jù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性求解參數(shù)范圍、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的問題；根據(jù)單調(diào)性求解參數(shù)范圍的關(guān)鍵是能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為恒成立問題進(jìn)行求解；證明不等式的關(guān)鍵是能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值的求解問題.21. 新高考數(shù)學(xué)試卷中有多項(xiàng)選擇題，每道多項(xiàng)選擇題有A，B，C，D這四個選項(xiàng)，四個選項(xiàng)中僅有兩個或三個為正確選項(xiàng).題目得分規(guī)則為：全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.已知測試過程中隨機(jī)地從四個選項(xiàng)中作選擇，每個選項(xiàng)是否為正確選項(xiàng)相互獨(dú)立.某次多項(xiàng)選擇題專項(xiàng)訓(xùn)練中，共有道題，正確選項(xiàng)設(shè)計如下：第一題正確選項(xiàng)為兩個的概率為，并且規(guī)定若第題正確選項(xiàng)為兩個，則第題正確選項(xiàng)為兩個的概率為；若第題正確選項(xiàng)為三個，則第題正確選項(xiàng)為三個的概率為.（1）求第n題正確選項(xiàng)為兩個的概率；（2）請根據(jù)期望值來判斷：第二題是選一個選項(xiàng)還是選兩個選項(xiàng)，更能獲得較高分.【答案】（1）    （2）第二題選一個選項(xiàng)更能獲得較高分【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得到第n題正確選項(xiàng)為兩個的概率與第題正確選項(xiàng)為兩個的概率之間的關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.（2）根據(jù)題中兩種選擇，結(jié)合數(shù)學(xué)期望公式、（1）中結(jié)論進(jìn)行求解判斷即可.【小問1詳解】設(shè)第n題正確選項(xiàng)為兩個的概率為，則，當(dāng)時，有，因此數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，顯然適合，故.【小問2詳解】由（1）可知：，設(shè)選一個選項(xiàng)的得分為，，，，因此，設(shè)選二個選項(xiàng)的得分為，，，，所以，因?yàn)?/span>，所以第二題選一個選項(xiàng)更能獲得較高分.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是通過概率公式得到之間的關(guān)系，通過適當(dāng)變形，構(gòu)造等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出通項(xiàng)公式.22. 已知橢圓過和兩點(diǎn).  （1）求橢圓C的方程；（2）如圖所示，記橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，當(dāng)動點(diǎn)M在定直線上運(yùn)動時，直線，分別交橢圓于兩點(diǎn)P和Q.（i）證明：點(diǎn)B在以為直徑的圓內(nèi)；（ii）求四邊形面積的最大值.【答案】（1）    （2）（i）證明見解析；（ii）6【解析】【分析】（1）將兩點(diǎn)代入橢圓中，解方程組即可求得橢圓C的方程；（2）（i）分別將直線與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理表示出兩點(diǎn)坐標(biāo)，由數(shù)量積可得為鈍角，得出證明；（ii）由（i）可寫出四邊形的面積為，再利用基本不等式以及函數(shù)單調(diào)性即可得出面積的最大值為6.【小問1詳解】依題意將和兩點(diǎn)代入橢圓可得，解得；所以橢圓方程為【小問2詳解】（i）易知，由橢圓對稱性可知，不妨設(shè)，；根據(jù)題意可知直線斜率均存在，且；所以直線的方程為，的方程為；聯(lián)立直線和橢圓方程，消去可得；由韋達(dá)定理可得，解得，則；聯(lián)立直線和橢圓方程，消去可得；由韋達(dá)定理可得，解得，則；則，；所以；即可知為鈍角，所以點(diǎn)B在以為直徑的圓內(nèi)；（ii）易知四邊形的面積為，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；由對勾函數(shù)性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，所以，可得，由對稱性可知，即當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為或時，四邊形的面積最大，最大值為6.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：證明點(diǎn)和圓的位置關(guān)系時，可利用向量數(shù)量積的正負(fù)判斷與直徑所對圓周角的大小即可得出結(jié)論；在求解四邊形面積的最值時，首先可用一個變量表示出面積的表達(dá)式，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性或基本不等式求出最值即可. 

相關(guān)試卷

2024長沙一中高三上學(xué)期月考（四）數(shù)學(xué)試題含解析：

這是一份2024長沙一中高三上學(xué)期月考（四）數(shù)學(xué)試題含解析，文件包含湖南省長沙市第一中學(xué)2024屆高三上學(xué)期月考四數(shù)學(xué)試題含解析docx、湖南省長沙市第一中學(xué)2024屆高三上學(xué)期月考四數(shù)學(xué)試題無答案docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共30頁， 歡迎下載使用。

2024長沙一中高三上學(xué)期月考（四）數(shù)學(xué)試題含解析：

這是一份2024長沙一中高三上學(xué)期月考（四）數(shù)學(xué)試題含解析，文件包含湖南省長沙市第一中學(xué)2024屆高三上學(xué)期月考四數(shù)學(xué)試題含解析docx、湖南省長沙市第一中學(xué)2024屆高三上學(xué)期月考四數(shù)學(xué)試題無答案docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共30頁， 歡迎下載使用。

2024長沙一中高三上學(xué)期月考（三）數(shù)學(xué)試題含解析：

這是一份2024長沙一中高三上學(xué)期月考（三）數(shù)學(xué)試題含解析，共5頁。試卷主要包含了 已知角，且，則，75百元等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
  • 1.電子資料成功下載后不支持退換，如發(fā)現(xiàn)資料有內(nèi)容錯誤問題請聯(lián)系客服，如若屬實(shí)，我們會補(bǔ)償您的損失
  • 2.壓縮包下載后請先用軟件解壓，再使用對應(yīng)軟件打開；軟件版本較低時請及時更新
  • 3.資料下載成功后可在60天以內(nèi)免費(fèi)重復(fù)下載
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
月考專區(qū)
  • 精品推薦
  • 所屬專輯6份
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號注冊
手機(jī)號碼

手機(jī)號格式錯誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號注冊
微信注冊

注冊成功

  • 0

    資料籃

  • 在線客服

    官方
    微信

    添加在線客服

    獲取1對1服務(wù)

  • 官方微信

    官方
    微信

    關(guān)注“教習(xí)網(wǎng)”公眾號

    打開微信就能找資料

  • 免費(fèi)福利

    免費(fèi)福利
返回
頂部