福建省廈門雙十中學2023-2024學年高二下學期開學考試數(shù)學試題（Word版附答案）-試卷下載-教習網(wǎng)

1.答題前，考生務(wù)必用黑色簽字筆將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在答題卡上，并認真核準條形碼上的準考證號、姓名、考場號、座位號，在規(guī)定的位置貼好條形碼.
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.
一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 橢圓的離心率為，則（）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】由橢圓的離心率公式即可求解.
【詳解】由題意得，解得，
故選：A.
2. 記等差數(shù)列的前項和為，則（）
A. 120B. 140C. 160D. 180
【答案】C
【解析】
【分析】利用下標和性質(zhì)先求出的值，然后根據(jù)前項和公式結(jié)合下標和性質(zhì)求解出的值.
【詳解】因為，所以，所以，
所以，
故選：C.
3. 函數(shù)的導函數(shù)，滿足關(guān)系式，則的值為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求導后，代入，求出答案.
【詳解】由進行求導得：，
當時，可得：，解得：
故選：A.
4. 設(shè)是兩個平面，是兩條直線，則下列命題為真命題的是（）
A. 若，則B. 若，則
C. 若，則D. 若，則
【答案】C
【解析】
【分析】由線面平行性質(zhì)判斷真命題，舉反例判定假命題即可.
【詳解】對于A，可能平行，相交或異面，故A錯誤，對于B，可能相交或平行，故B錯誤，
對于D，平行，不可能垂直，故D錯誤，由線面平行性質(zhì)得C正確，
故選：C
5. 已知函數(shù)則函數(shù)的圖象大致是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分段求出函數(shù)的解析式，利用導數(shù)判斷其單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性可得答案.
【詳解】當，即時，，
，
令，得，令，得，
所以函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，由此得A和C和D不正確；
當，即時，，
，
令，得，令，得，
所以函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，由此得B正確；
故選：B
6. 記為數(shù)列的前項和，設(shè)甲：為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則（）
A. 甲是乙的充分條件但不是必要條件
B. 甲是乙的必要條件但不是充分條件
C. 甲是乙的充要條件
D. 甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
【答案】C
【解析】
【分析】利用充分條件、必要條件的定義及等差數(shù)列的定義，再結(jié)合數(shù)列前n項和與第n項的關(guān)系推理判斷作答.，
【詳解】方法1，甲：為等差數(shù)列，設(shè)其首項為，公差為，
則，
因此為等差數(shù)列，則甲是乙的充分條件；
反之，乙：為等差數(shù)列，即為常數(shù)，設(shè)為，
即，則，有，
兩式相減得：，即，對也成立，
因此為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，
所以甲是乙的充要條件，C正確.
方法2，甲：為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的首項，公差為，即，
則，因此為等差數(shù)列，即甲是乙的充分條件；
反之，乙：為等差數(shù)列，即，
即，，
當時，上兩式相減得：，當時，上式成立，
于是，又為常數(shù)，
因此為等差數(shù)列，則甲是乙必要條件，
所以甲是乙的充要條件.
故選：C
7. 設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為，過坐標原點的直線與交于兩點，，則的離心率為（）
A. B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由雙曲線的對稱性可得、且四邊形為平行四邊形，由題意可得出，結(jié)合余弦定理表示出與、有關(guān)齊次式即可得離心率.
【詳解】
由雙曲線的對稱性可知，，有四邊形為平行四邊形，
令，則，
由雙曲線定義可知，故有，即，
即，，
，
則，即，故，
則有，
即，即，則，由，故.
故選：D.
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查雙曲線的離心率，解題關(guān)鍵是找到關(guān)于、、之間的等量關(guān)系，本題中結(jié)合題意與雙曲線的定義得出、與的具體關(guān)系及的大小，借助余弦定理表示出與、有關(guān)齊次式，即可得解.
8. 在三棱錐中，，，設(shè)側(cè)面與底面的夾角為，若三棱錐的體積為，則當該三棱錐外接球表面積取最小值時，（）
A. B. C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】通過計算推出為的外接圓的直徑，到平面的距離為，設(shè)的中點為，則為的外接圓的圓心，設(shè)三棱錐的外接球的球心為，半徑為，根據(jù)以及求出的最小值及取最小值時，有平面，再取的中點，連，，則可得，計算可得.
【詳解】因為，，所以，
所以，所以，所以，
所以為的外接圓的直徑，
設(shè)的中點為，則為的外接圓的圓心，
因為，設(shè)到平面的距離為，
則，所以，
當該三棱錐外接球表面積取最小值時，半徑最小，
設(shè)三棱錐的外接球的球心為，半徑為，則平面，
若點和點在平面的同側(cè)，如圖：

則，即，當且僅當三點共線時，取等號，
在中，，所以，
所以，所以，當且僅當三點共線時，取等號，
若點和點在平面的異側(cè)，
則，所以，
若與重合時，，不合題意，
綜上所述：的最小值為，且當時，三點共線，
此時平面，取的中點，連，，則，
因為平面，平面，所以，
又，所以平面，
因為平面，所以，
所以是側(cè)面與底面的夾角，即，
因為，，
所以.
故選：B
二、選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 已知曲線C方程為（），則下列結(jié)論正確的是（）
A. 當時，曲線C為圓
B. “”是“曲線C為焦點在x軸上的橢圓”的必要且不充分條件
C. 存在實數(shù)k使得曲線C為雙曲線，且離心率為
D. 當時，曲線C為雙曲線，其漸近線方程為
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)圓錐曲線的標準方程及簡單的幾何性質(zhì)，結(jié)合充分條件、必要條件的判定方法，逐項判定，即可求解.
【詳解】由題意，曲線C的方程為（）
對于A中，當時，曲線C的方程為，此時曲線C表示圓心在原點，半徑為的圓，所以是A正確的；
對于B中，當曲線C的方程為（），表示焦點在x軸上的橢圓，則滿足，解得，所以“”是“曲線C為焦點在x軸上的橢圓”的必要且不充分條件，所以B正確；
對于C中，當曲線C的方程為（）表示離心率為的雙曲線時，則滿足，無解，所以C不正確；
對于D中，當時，曲線C的方程為（），可得，此時雙曲線C漸近線方程為，所以D是正確的.
故選：ABD.
10. 已知是等比數(shù)列的前項和，且，則下列說法正確的是（）
A.
B. 中任意奇數(shù)項的值始終大于任意偶數(shù)項的值
C. 的最大項為，最小項為
D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】由等比數(shù)列的前項和公式可得，可判斷選項A；根據(jù)的解析式判斷奇數(shù)項與偶數(shù)項的公式，從而判斷BC；由得到的通項公式，從而表示出的通項公式即可判斷D.
【詳解】由題可知，此時等比數(shù)列的公比，所以設(shè)前項和公式應(yīng)為：，
，A錯誤；
因此，
可得中，奇數(shù)項遞減，且始終大于2，最大值為，
偶數(shù)項遞增，且始終小于2，最小值為，因此BC正確；
由可得，令，
所以，故D正確
故選：BCD
11. 已知函數(shù)的定義域為，且，若，則（）
A. B.
C. 函數(shù)是偶函數(shù)D. 函數(shù)是減函數(shù)
【答案】ABD
【解析】
【分析】對抽象函數(shù)采用賦值法，令、，結(jié)合題意可得，對A：令、，代入計算即可得；對B、C、D：令，可得，即可得函數(shù)及函數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，代入，即可得.
【詳解】令、，則有，
又，故，即，
令、，則有，
即，由，可得，
又，故，故A正確；
令，則有，
即，故函數(shù)是奇函數(shù)，
有，即，
即函數(shù)是減函數(shù)，
令，有，
故B正確、C錯誤、D正確.
故選：ABD.
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題關(guān)鍵在于利用賦值法解決抽象函數(shù)問題，借助賦值法，得到，再重新賦值，得到，再得到.
三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 設(shè)表示等差數(shù)列的前項和，已知，那么________．
【答案】##
【解析】
【分析】設(shè)的公差為，根據(jù)等差數(shù)列的前n項和公式化簡可得，再代入計算即可.
【詳解】依題意設(shè)的公差為，
若，則，，顯然不滿足，所以，
由等差數(shù)列的前項和公式，
所以，所以，
所以.
故答案為：．
13. 已知軸截面為正三角形的圓錐的高與球的直徑相等，則圓錐的體積與球的體積的比值是__________，圓錐的表面積與球的表面積的比值是__________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】設(shè)圓錐的底面圓半徑以及球的半徑，用表示出圓錐的高和母線以及球的半徑，然后根據(jù)體積公式求出體積比，根據(jù)表面積公式求得表面積之比.
【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，球的半徑為，
因為圓錐的軸截面為正三角形，所以圓錐的高，母線，
由題可知：，所以球半徑
所以圓錐體積為，
球的體積，
所以；
圓錐的表面積，
球的表面積，
所以，
故答案為：；.
14. 以表示數(shù)集中最大的數(shù)．設(shè)，已知或，則的最小值為__________．
【答案】##0.2
【解析】
【分析】利用換元法可得，進而根據(jù)不等式的性質(zhì)，分情況討論求解.
【詳解】令其中，
所以，
若，則，故，
令，
因此,故,則，
若，則，即，
，
則,故,則，
當且僅當且時等號成立，
如取時可滿足等號成立，
綜上可知的最小值為，
故答案為：
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是利用換元法，在和前提下進行合理分類討論，根據(jù)題意得到相對應(yīng)的不等式組，注意題目的條件關(guān)鍵詞是“或”.
四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知函數(shù)在點處的切線與直線垂直．
（1）求；
（2）求的單調(diào)區(qū)間和極值．
【答案】（1）
（2）單調(diào)遞增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為，極大值，極小值
【解析】
【分析】（1）結(jié)合導數(shù)的幾何意義及直線垂直的性質(zhì)計算即可得；
（2）借助導數(shù)可討論單調(diào)性，即可得極值.
【小問1詳解】
，則，
由題意可得，解得；
【小問2詳解】
由，故，
則，，
故當時，，當時，，當時，，
故的單調(diào)遞增區(qū)間為、，的單調(diào)遞減區(qū)間為，
故有極大值，
有極小值.
16. 設(shè)等差數(shù)列的公差為，且．令，記分別為數(shù)列的前項和．
（1）若，求的通項公式；
（2）若為等差數(shù)列，且，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項公式建立方程求解即可；
（2）由為等差數(shù)列得出或，再由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，分類討論即可得解.
【小問1詳解】
，，解得，
，
又，
，
即，解得或（舍去），
.
【小問2詳解】
為等差數(shù)列，
，即，
，即，解得或，
，，
又，由等差數(shù)列性質(zhì)知，，即，
，即，解得或（舍去）
當時，，解得，與矛盾，無解；
當時，，解得.
綜上，.
17. 如圖，平行六面體中，底面是邊長為2的正方形，為與的交點，．
（1）證明：平面；
（2）求二面角的正弦值．
【答案】（1）證明見解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，利用線面垂直的判定定理證明即可.
（2）建立空間直角坐標系，利用向量法求二面角的正弦值.
【小問1詳解】
連接，
因為底面是邊長為2的正方形，所以，
又因為，，
所以，所以，
點為線段中點，所以，
在中，，，
所以，
則，
又，平面，平面，
所以平面.
【小問2詳解】
【方法一】：由題知正方形中，平面，所以建系如圖所示，
則，
則，
，
設(shè)面的法向量為，面的法向量為，
則，取，則
取，則.
設(shè)二面角大小為，
則，
所以二面角的正弦值為.
【方法二】：以O(shè)為坐標原點，的方向為x軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系．
由題設(shè)得，，，，
，，
，，．
設(shè)是平面的法向量，
則，即，可?。?br>設(shè)是平面的法向量，
則，即，可?。?
所以．
因此二面角的正弦值為．
18. 已知拋物線的焦點為，過的直線交于兩點，過與垂直的直線交于兩點，其中在軸上方，分別為的中點．
（1）證明：直線過定點；
（2）設(shè)為直線與直線的交點，求面積的最小值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）設(shè)出直線與直線的方程，聯(lián)立曲線后得到與縱坐標有關(guān)韋達定理，結(jié)合題意，表示出直線后即可得定點坐標；
（2）設(shè)出直線與直線的方程，聯(lián)立兩直線后結(jié)合第一問中韋達定理得出點的橫坐標恒為，再結(jié)合面積公式及基本不等式即可得.我們也可以利用面積得到，再結(jié)合基本不等式可求最小值.
【小問1詳解】
【方法一】：由，故，由直線與直線垂直，
故兩只直線斜率都存在且不為，
設(shè)直線、分別為、，有，
、、、，
聯(lián)立與直線，即有，
消去可得，，
故、，
則，
故，，
即，同理可得，
當時，
則，
即
，
由，即，
故時，有，
此時過定點，且該定點為，
當時，即時，由，即時，
有，亦過定點，
故直線過定點，且該定點為；
【方法二】：設(shè)，，不妨設(shè)．
設(shè)，則．由，得，
故，，，．
所以．
同理可得．
若，則直線，MN過點．
若，則直線，MN過點．
綜上，直線MN過定點．
【小問2詳解】
法1：由、、、，
則，由、，
故，
同理可得，聯(lián)立兩直線，即，
有，
即，
有，由，同理，
故
，
故，
過點作軸，交直線于點，則，
由、，
故，
當且僅當時，等號成立，
下證：
由拋物線的對稱性，不妨設(shè)，則，
當時，有，則點在軸上方，點亦在軸上方，
有，由直線過定點，
此時，
同理，當時，有點在軸下方，點亦在軸下方，
有，故此時，
當且僅當時，，
故恒成立，且時，等號成立，
故，
法2：設(shè)H為AD的中點，S為直線GM與AD的交點．
由M，H分別為AB，AD的中點知，所以，故．
設(shè)T為直線GN與AD的交點，同理可得．
所以．
由（1）中的法2可得，同理可得．
所以，
當且僅當時等號成立．
因此的面積的最小值為8．
【點睛】關(guān)鍵點睛：第二問關(guān)鍵在于借助直線聯(lián)立及第一問中韋達定理得出點的橫坐標恒為，此時可根據(jù)三角形的面積公式及基本不等式求取最值.
19. 今有一個“數(shù)列過濾器”，它會將進入的無窮非減正整數(shù)數(shù)列刪去某些項，并將剩下的項按原來的位置排好形成一個新的無窮非減正整數(shù)數(shù)列，每次“過濾”會刪去數(shù)列中除以余數(shù)為的項，將這樣的操作記為操作.設(shè)數(shù)列是無窮非減正整數(shù)數(shù)列.
（1）若，進行操作后得到，設(shè)前項和為
①求．
②是否存在，使得成等差？若存在，求出所有的；若不存在，說明理由．
（2）若，對進行與操作得到，再將中下標除以4余數(shù)為0，1的項刪掉最終得到證明：每個大于1的奇平方數(shù)都是中相鄰兩項的和．
【答案】（1）①②不存在．見解析（2）見解析
【解析】
【分析】
（1）計算得到，再計算得到答案，假設(shè)存在，由單調(diào)遞增，不妨設(shè)，化簡，不成立.
（2）計算，根據(jù)題意得到，再證明得到答案.
【詳解】（1）①由知：當時，故．
則．
②解：假設(shè)存在，由單調(diào)遞增，不妨設(shè)
化簡得，顯然左式為偶數(shù)，右式為奇數(shù)，矛盾，故不存在．
（2）易知，
所以保留，則．
又，將刪去，
得到，則
也即．
記，下面證明：．
由，
知：
，
同理可得：，
合并以上四式，便證明了對任意的，都有．
因此，原命題得證．
【點睛】本題考查了數(shù)列的新定義問題，意在考查學生的對于數(shù)列知識的綜合應(yīng)用能力.

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