甘肅省蘭州市蘭州市教育局第四片區(qū)2023-2024學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）

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一、選擇題（共12小題，每小題3分，計(jì)36分，每小題只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題意的）
1. 剪紙是中國(guó)最古老的民間藝術(shù)之一，其在視覺上給人以透空的感覺和藝術(shù)享受．下列剪紙作品中既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知兩個(gè)不等式的解集在數(shù)軸上如圖表示，那么這個(gè)解集為（ ）
A. ＜-1B. ≤2C. -1＜≤2D. ≤-1
3. 下列各式中正確的是（ ）
A. 若，則B. 若，則
C. 若，且，則D. 若，則
4. 如圖，將繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，若，，則旋轉(zhuǎn)的角度是( )
A 15°B. 30°C. 45°D. 75°
5. 已知等腰三角形有一邊長(zhǎng)為，一邊長(zhǎng)為，則其周長(zhǎng)為（ ）
A. B. C. D. 12或9
6 已知：如圖，．
求證：在中，如果它含直角，那么它只能有一個(gè)直角．
下面寫出運(yùn)用反證法證明這個(gè)命題的四個(gè)步驟：
①∴，這與“三角形內(nèi)角和等于”相矛盾．
②因此，三角形有兩個(gè)（或三個(gè)）直角的假設(shè)不成立．
∴如果三角形含直角，那么它只能有一個(gè)直角．
③假設(shè)有兩個(gè)（或三個(gè)）直角，不妨設(shè)．
④∵，
這四個(gè)步驟正確的順序應(yīng)是（ ）
A. ④③①②B. ③④②①C. ①②③④D. ③④①②
7. 如圖，在中，分別以A，B為圓心，大于的長(zhǎng)度為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)P和點(diǎn)O，作直線交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)D，若，，則的周長(zhǎng)為（ ）
A. 9B. 13C. 13.5D. 18
8. 一次函數(shù)與的圖象如圖，甲乙兩位同學(xué)給出的下列結(jié)論：
甲說：方程的解是；
乙說：當(dāng)時(shí)，．
其中正確結(jié)論有（ ）
A. 甲正確，乙錯(cuò)誤B. 乙正確，甲錯(cuò)誤C. 甲乙都正確D. 甲乙都錯(cuò)誤
9. 如圖所示，是一塊三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三條邊的距離相等，涼亭的位置應(yīng)選在（ ）
A. 的三條中線的交點(diǎn)B. 三邊的中垂線的交點(diǎn)
C. 三條角平分線的交點(diǎn)D. 三條高所在直線的交點(diǎn)
10. 如圖，四邊形中，，，我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”下列關(guān)于箏形的結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A. 直線是箏形的對(duì)稱軸
B. 對(duì)角線平分，
C. 對(duì)角線，互相垂直平分
D. 箏形的面積等于對(duì)角線與的乘積的一半
11. 亞運(yùn)會(huì)期間，某商店購(gòu)進(jìn)了一批服裝，每件進(jìn)價(jià)為元，并以每件元的價(jià)格出售，亞運(yùn)會(huì)結(jié)束后，商店準(zhǔn)備將這批服裝降價(jià)處理，打折出售，使得每件衣服的利潤(rùn)不低于，根據(jù)題意可列出來(lái)的不等式為（ ）
A. B.
C. D.
12. 對(duì)實(shí)數(shù)x，y定義一種新的運(yùn)算F，規(guī)定若關(guān)于正數(shù)x的不等式組恰好有 3 個(gè)整數(shù)解，則m的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
二、填空題（共5小題，每小題3分，計(jì)15分）
13. 命題“面積相等的兩個(gè)三角形全等”的逆命題是____________命題（填“真”或“假”）
14. 等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為100°，則頂角的度數(shù)是____________．
15. 根據(jù)“x的3倍與-5的和大于0”可列不等式_______．
16. 如圖，在中，，平分，若，則點(diǎn)D到的距離為 _____．
17. 如圖，在中，，、是斜邊上兩點(diǎn)，且，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到，連結(jié)，則下列結(jié)論：①；②為等腰直角三角形；③平分；④．正確的是______．
三、解答題（共9小題，計(jì)69分，解答應(yīng)寫出過程）
18. 解下列不等式和不等式（組），并把解集在數(shù)軸上表示出來(lái)
（1）
（2）
19. 如圖，作出的邊上的高．（用尺規(guī)完成作圖，只保留作圖痕跡，不要求寫出作法）
20. 如圖，在中，，，點(diǎn)F為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)E在AC上，且，求證：．
21. 下面是航航解不等式的過程：
，第一步
，第二步
，第三步
第四步
先閱讀以上解題過程，然后解答下列問題．
（1）航航解題過程從第______步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，這步的錯(cuò)誤原因是_____；
（2）請(qǐng)你寫出這個(gè)不等式的正確解法．
22. 在平面直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為：，．
（1）將先向下平移4個(gè)單位，再向右平移1個(gè)單位，則____________．
（2）畫出兩次平移后的．
（3）若將看成是經(jīng)過一次平移得到的，則平移距離是多少？
23. 如圖，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，DE垂直平分線段AC．
（1）求證：△BCE等邊三角形．
（2）若BC=3，求DE的長(zhǎng)．

24. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=kx+b的圖象與x軸交點(diǎn)為A（3，0），與y軸交點(diǎn)為B，且與正比例函數(shù)y=x的圖象交于點(diǎn)C（m，4）．
（1）求m的值及一次函數(shù)y=kx+b的表達(dá)式；
（2）觀察函數(shù)圖象，直接寫出關(guān)于x的不等式x＜kx+b的解集．
25. 2023年暑假，蘭州旅游爆火，全國(guó)各地的游客紛紛來(lái)蘭州旅游避暑．某學(xué)校同學(xué)們?yōu)榇朔e極設(shè)計(jì)了與兩款文創(chuàng)產(chǎn)品，購(gòu)買 1件產(chǎn)品與1件產(chǎn)品共需150元；購(gòu)買3件產(chǎn)品與2件產(chǎn)品共需390元．
（1）這兩款文創(chuàng)產(chǎn)品的銷售單價(jià)分別是多少元？
（2）若每個(gè)產(chǎn)品制作成本為60元，產(chǎn)品制作成本為40元，同學(xué)們準(zhǔn)備制作兩種文創(chuàng)產(chǎn)品共100個(gè)，總成本不超過5000元，且銷售完該批次文創(chuàng)產(chǎn)品，利潤(rùn)不低于2480元，請(qǐng)問有哪幾種制作方案？
26. 定義：使方程（組）與不等式（組）同時(shí)成立的未知數(shù)的值稱為此方程（組）和不等式（組）的“理想解”．
例如：已知方程與不等式，當(dāng)時(shí)，，同時(shí)成立，則稱“”是方程與不等式的“理想解”．問題解決：
（1）請(qǐng)判斷方程的解是此方程與以下哪些不等式（組）的“理想解”______（直接填寫序號(hào)）
①， ②， ③；
（2）若是方程組與不等式的“理想解”，求q的取值范圍．
27. △ABC和△DEC是等腰直角三角形，，，．
（1）【觀察猜想】當(dāng)△ABC和△DEC按如圖1所示的位置擺放，連接BD、AE，延長(zhǎng)BD交AE于點(diǎn)F，猜想線段BD和AE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．
（2）【探究證明】如圖2，將△DCE繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，線段BD和線段AE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系是否仍然成立？如果成立，請(qǐng)證明：如果不成立，請(qǐng)說明理由．
（3）【拓展應(yīng)用】如圖3，在△ACD中，，，，將AC繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至BC，連接BD，求BD的長(zhǎng)．