第一部分 選擇題
（共58分）
一、單選題：本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 對(duì)于非零向量， “”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)向量共線的相關(guān)知識(shí)直接判斷.
詳解】對(duì)于非零向量，當(dāng)時(shí)，，一定成立，即充分性成立；
當(dāng)時(shí)，，不一定滿足，即必要性不成立.
所以對(duì)于非零向量， “”是“”的充分不必要條件.
故選：A
2. 已知，均為空間單位向量，它們的夾角為60°，那么等于（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)，展開(kāi)后根據(jù)空間向量數(shù)量積公式計(jì)算即可得到結(jié)果.
【詳解】由題意可得，
.
故選：C
3. 已知正四棱柱的底面長(zhǎng)是3cm，側(cè)面的對(duì)角線長(zhǎng)是3cm，則這個(gè)正四棱柱的體積為_(kāi)_______cm3．（ ）
A. 18B. 54C. 64D. 23
【答案】B
【解析】
【分析】由題意先求出正四棱柱的高，然后再求其體積.
【詳解】由題意知，正四棱柱的高為
所以它的體積V＝32×6＝54，
故選：B．
4. 若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)二倍角公式以及誘導(dǎo)公式即可求解.
【詳解】由可得，
故，
故選：C
5. 設(shè)函數(shù)，若對(duì)于任意的，都有，則的最小值為（ ）
A. 4B. 2C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】由題意可得是函數(shù)的最小值，是函數(shù)的最大值，的最小值就是函數(shù)的半周期長(zhǎng).
【詳解】函數(shù)，若對(duì)于任意的，都有，
則是函數(shù)最小值，是函數(shù)的最大值，的最小值即為函數(shù)的半周期長(zhǎng)，
而函數(shù)的最小正周期，因此.
故選：B
6. 圓錐的軸截面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，則圓錐的側(cè)面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出圓錐的母線的長(zhǎng)和底面圓的半徑即得解.
【詳解】由題得圓錐的母線長(zhǎng)為2，底面圓的半徑為1，
所以圓錐的側(cè)面積為.
故選：A
7. 在直三棱柱（三條側(cè)棱和底面均垂直的三棱柱叫作直三棱柱）中，若，，則異面直線與所成的角等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】把三棱柱補(bǔ)成正方體，找到異面直線所成角進(jìn)而求解.
【詳解】根據(jù)已知條件可以把直三棱柱補(bǔ)成正方體（如圖所示），
連接和，由正方體結(jié)構(gòu)特征知：，
所以，(或其補(bǔ)角)即為異面直線與所成角，
由于為正三角形，所以，
即異面直線與所成角為.
故選：C.
8. 在中，，則是
A. 等腰三角形B. 等腰直角三角形
C. 直角三角形D. 等腰或直角三角形
【答案】D
【解析】
【分析】利用同角三角函數(shù)關(guān)系式，把正切函數(shù)化成正余弦函數(shù)．然后用倍角公式化簡(jiǎn)，得到角A和角B的關(guān)系．
【詳解】
，因?yàn)?br>所以，所以
所以，所以或
故選：D
二、多選題：本題共3個(gè)小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，全部選對(duì)得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)得3分.
9. 設(shè)直線l不在平面內(nèi)，直線m在平面內(nèi)，則下列說(shuō)法不正確的是（ ）
A. 直線l與直線m沒(méi)有公共點(diǎn)
B. 直線l與直線m異面
C. 直線/與直線m至多一個(gè)公共點(diǎn)
D. 直線l與直線m不垂直
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)空間中直線與直線的位置關(guān)系，即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.
【詳解】對(duì)于A，直線不在平面內(nèi)，則與平面平行或者相交，直線與可以相交，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，直線不在平面內(nèi)，直線在平面內(nèi)，但是，直線與可以相交也可以平行，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，直線不在平面內(nèi)，直線在平面內(nèi)，則直線與直線可以平行或者相交或者異面，不可能重合，所以，直線與直線至多一個(gè)公共點(diǎn)，故C正確；
對(duì)于D，直線不在平面內(nèi)，直線在平面內(nèi)，則當(dāng)直線垂直于平面時(shí)，直線與直線垂直，故D錯(cuò)誤.
故選：ABD
10. 如圖，在四面體 中，，，D，E，F(xiàn) 分別是棱，，的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中成立的是（ ）

A. 平面B. 平面
C. 平面平面D. 平面平面
【答案】ABC
【解析】
【分析】根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，逐項(xiàng)判定，即可求得.
【詳解】對(duì)于A中，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，可得，
又因?yàn)槠矫妫移矫?，所以平面，所以A正確；
對(duì)于B中，因?yàn)?，且為的中點(diǎn)，可得，
又因?yàn)?，且為的中點(diǎn)，可得，
因?yàn)榍移矫?，所以平面?br>又因?yàn)?，所以平面，所以B正確.
對(duì)于C中，由B項(xiàng)知：平面，因?yàn)槠矫妫?br>所以平面平面，所以C正確；
對(duì)于D中，設(shè)直線，易得，可得，所以，
假設(shè)平面平面，且平面平面，平面，
所以平面，
因?yàn)槠矫?，所以?br>又因?yàn)榕c不一定垂直，所以平面與平面不一定垂直，所以D錯(cuò)誤.
故選：ABC.

11. 半正多面體（semiregular slid）亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，半正多面體有且只有13種．最早用于1970年世界杯比賽的足球就可以近似看作是由12個(gè)正五邊形和20個(gè)正六邊形組成的半正面體，半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．如圖所示的二十四等邊體就是一種半正多面體，它由8個(gè)正三角形和6個(gè)正方形圍成，它是通過(guò)對(duì)正方體進(jìn)行八次切截而得到的．若這個(gè)二十四等邊體的棱長(zhǎng)都為2，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 與平面不可能垂直B. 異面直線和所成角為
C. 該二十四等邊體的體積為D. 該二十四等邊體外接球的表面積為
【答案】ABC
【解析】
【分析】根據(jù)線面垂直得線線垂直，即可找到矛盾進(jìn)而判斷A,根據(jù)異面直線的夾角即可求解B,根據(jù)割補(bǔ)法即可求解C,根據(jù)外接球的半徑即可求解表面積.
【詳解】對(duì)于A，若平面，因?yàn)槠矫?，所以?br>又因?yàn)闉榈冗吶切?，所以，這與矛盾，故與平面不可能垂直，所以A正確；
對(duì)于B，因?yàn)?，所以異面直線和所成的角即為直線和所成的角，設(shè)角，在正六邊形中，可得，所以異面直線和所成角為，所以B正確；
對(duì)于C，補(bǔ)全八個(gè)角構(gòu)成一個(gè)棱長(zhǎng)為的一個(gè)正方體，則該正方體的體積為，其中每個(gè)小三棱錐的體積為，
所以該二十四面體體積為，所以C正確；
對(duì)于D，取正方形對(duì)角線的交點(diǎn)為，即為該二十四面體的外接球的球心，
其半徑為，
所以該二十四面體的外接球的表面積為，所以D不正確．
故選：ABC.
第二部分 非選擇題（共92分）
三、填空題：本大題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分.
12. 與向量平行的單位向量是______________．
【答案】或
【解析】
【分析】利用與向量平行的單位向量公式為來(lái)進(jìn)行計(jì)算即可.
【詳解】,,
則與向量平行的單位向量是，
故答案為：或.
13. 在△ABC中， a＝5，b＝5，A＝30°，則B＝________.
【答案】或
【解析】
【分析】利用正弦定理求得，由此求得.
【詳解】由正弦定理得，
即，
由于，
所以或.
故答案為：或
14. 如圖，在中，分別為的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且滿足，則______________．
【答案】1
【解析】
【分析】過(guò)點(diǎn)作，用表示線段長(zhǎng)，，結(jié)合給定圖形借助向量加法與數(shù)量積的運(yùn)算律有，由向量數(shù)量積的定義計(jì)算即得.
【詳解】過(guò)點(diǎn)作于，令，由，得，，
由分別為的中點(diǎn)，得，， ，
所以.
故答案為：1.
四、解答題: 本大題共5個(gè)小題，第15題13分，第16題、17題每題15分，第20題、21題每題17分，共77分.
15. 如圖，已知圓柱的底面半徑和母線長(zhǎng)均為1，、分別為上、下底面圓周上的點(diǎn)，若異面直線所成的角為，求的長(zhǎng).

【答案】或
【解析】
【分析】過(guò)點(diǎn)作垂直于上底面于點(diǎn)，則是母線，連接，根據(jù)圓柱的性質(zhì)得到且，從而得到，與所成的角就是或其補(bǔ)角，再分和兩種情況討論，分別計(jì)算可得．
【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)作于上底面于點(diǎn)，則是母線，連接，
垂直于上下底面，，，

則四邊形是平行四邊形，，
與所成的角就是或其補(bǔ)角．
當(dāng)時(shí)，是等邊三角形，，
在中，；
當(dāng)時(shí)，在中，，
在中，．
綜上，或.
16. 如圖，在正方體中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)．

（1）求證：平面；
（2）求證：平面平面．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）連接交于點(diǎn)，利用中位線的性質(zhì)得出，利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論成立；
（2）證明出平面，利用面面平行的判定定理可證得結(jié)論成立．
【小問(wèn)1詳解】
連接交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，

因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，平面，平面，
因此，平面．
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)榍?，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，
所以，，所以，四邊形為平行四邊形，
所以，平面，平面，
所以平面，又平面，，
因此，平面平面．
17. 如圖，觀測(cè)站在目標(biāo)的南偏西方向，經(jīng)過(guò)A處有一條南偏東走向的公路，在處觀測(cè)到與相距的處有一人正沿此公路向處行走，走到達(dá)處，此時(shí)測(cè)得相距．
（1）求．
（2）求之間的距離．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）在中，利用余弦定理可直接求得結(jié)果；
（2）由互補(bǔ)角的特點(diǎn)可求得和，在中，先利用正弦定理求得，再利用余弦定理構(gòu)造方程求得即可.
【詳解】（1）由題意知：，，，
在中，由余弦定理得：.
（2），，
由題意知：，
在中，由正弦定理得：，，
由余弦定理得：，
即，解得：或（舍），
之間的距離為.
18. 在銳角中，角的對(duì)邊分別為，已知
（1）若，求；
（2）求的取值范圍.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）由正弦定理及二倍角公式可得，進(jìn)而得解；
（2）根據(jù)正弦定理邊角互化可得，結(jié)合銳角三角形范圍可得解.
【詳解】（1）由，得，得，得，
在，，
由余弦定理，
得，
即，解得或.
當(dāng)時(shí)， 即為鈍角（舍），
故符合.
（2）由（1）得，
所以，
，
為銳角三角形，，，
，
，
故的取值范圍是.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的解題關(guān)鍵是熟練應(yīng)用正余弦定理進(jìn)行邊角互化，正確分析銳角三角形中角的范圍是解題的關(guān)鍵.
19. 設(shè)是單位圓上不同的兩個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)為圓心，點(diǎn)是單位圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)滿足（為銳角）線段交于點(diǎn)（不包括），點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)且在圓外，過(guò)作圓的兩條切線．
（1）求的范圍
（2）求的最小值，
（3）若，求的最小值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）解法主要是將所給條件通過(guò)數(shù)量積運(yùn)算實(shí)數(shù)化進(jìn)而通過(guò)實(shí)數(shù)運(yùn)算結(jié)合基本不等式求解即可；解法將向量問(wèn)題坐標(biāo)化，進(jìn)而通過(guò)實(shí)數(shù)運(yùn)算結(jié)合不等式求解即可.
（2）解法將向量通過(guò)模的運(yùn)算及數(shù)量積公式實(shí)數(shù)化，進(jìn)而轉(zhuǎn)為實(shí)數(shù)運(yùn)算，結(jié)合不等式解出答案；解法通過(guò)坐標(biāo)法和數(shù)量積運(yùn)算將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)運(yùn)算問(wèn)題，結(jié)合不等式求解即可；解法主要是根據(jù)題意設(shè)參數(shù)，再根據(jù)數(shù)量積運(yùn)算結(jié)合三角函數(shù)、不等式求最值.
（3）解法1主要是通過(guò)平面向量基本定理選擇基底表示向量，再設(shè)參數(shù)結(jié)合不等式求解；解法通過(guò)坐標(biāo)法將問(wèn)題實(shí)數(shù)化，進(jìn)而求出參數(shù)最值；解法設(shè)參數(shù)兩個(gè)參數(shù)，由向量相等得出它們的三角表示，再由三角函數(shù)性質(zhì)結(jié)合不等式求解即可.
【小問(wèn)1詳解】
，
，
為銳角，，
解法一：
.
取的中點(diǎn)為，，
.
解法二：以為原點(diǎn)，以為軸，建立直角坐標(biāo)系，
，
，
，，
，
.
故小問(wèn)1答案為：.
【小問(wèn)2詳解】
解法一：由題意知：
，
，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，的最小值為．
解法二：由題意知：
以為原點(diǎn)，以為軸，建立直角坐標(biāo)系設(shè)點(diǎn)，則，
，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，的最小值為．
解法三：
設(shè)，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，的最小值為．
故小問(wèn)答案為：
【小問(wèn)3詳解】
解法一：由題意知：
令，則原式
當(dāng)且僅當(dāng)即，等號(hào)成立，的最小值為
解法二：由題意知：
以為原點(diǎn)，以為軸，建立直角坐標(biāo)系
三點(diǎn)共線
，
，
，
，
，
.
解法三：由題意知：
，
，
，
下同解法二.
故小問(wèn)答案為：.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：建立直角坐標(biāo)系，將向量問(wèn)題坐標(biāo)化進(jìn)而通過(guò)實(shí)數(shù)運(yùn)算求解即可.

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