廣東省深圳市名校聯(lián)考2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）

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考生注意：
1．本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.
2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚.
3．考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.
4．本卷命題范圍：必修第二冊第6章～第8章空間直線、平面的平行.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 設(shè)復(fù)數(shù)，則（ ）
A. B. C. D.
2. 在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，，則（ ）
A. B. C. D. 2
3. 如圖，是水平放置的的斜二測直觀圖，為等腰直角三角形，其中與重合，，則的面積是（ ）

A. 2B. C. 4D.
4. 在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，，則（ ）
A. B. C. D.
5. 已知，，且，的夾角為，則在上的投影向量為（ ）
A. B. C. D.
6. 在長方體中，直線與平面的交點為，與交于點，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A ，，三點確定一個平面B. ，，三點共線
C. ，，，四點共面D. ，，，四點共面
7. 如圖，平行四邊形ABCD中，M是BC中點，N是CD上靠近點D的三等分點，若（，），則的值為（ ）
A. B. C. D.
8. 已知四棱錐中，底面為平行四邊形，為的中點，點在棱上，且滿足平面，則（ ）
A. B. C. D.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 下列說法正確有（ ）
A. 若與是單位向量，則
B. 若非零向量與是相反向量，則
C.
D. 若與共線，與共線，則與共線
10. 內(nèi)角A，B，C對邊分別為a，b，c，已知，，則（ ）
A. B. C. D.
11. 已知正四棱柱的底面邊長為2，側(cè)棱，為上底面上的動點（包括邊界），則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A. 若，則滿足條件的點不唯一
B. 若，則點的軌跡是一段圓弧
C. 若∥平面，則的最大值為
D. 若∥平面，且，則平面截正四棱柱的外接球所得平面圖形的面積為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 紫砂壺是中國特有的手工陶土工藝品，經(jīng)典的有西施壺?石瓢壺?潘壺等，其中石瓢壺的壺體可以近似看成一個圓臺（其他因素忽略不計），如圖給了一個石瓢壺的相關(guān)數(shù)據(jù)（單位：），那么該壺的側(cè)面積約為__________.

13. 設(shè)，向量，，且，則____________；當(dāng)時，取值范圍為____________．
14. 已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，M是邊BC邊上一點，，，且，則的最小值為____________．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位，），且是純虛數(shù).
（1）求復(fù)數(shù)；
（2）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于第三象限，求實數(shù)的取值范圍.
16. 已知向量滿足，，．
（1）求與的夾角；
（2）若，，求．
17. 已知△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，△ABC的外接圓半徑為R，且．
（1）求B；
（2）若，，求的取值范圍．
18. 如圖，正三棱柱中，E、F、G分別為棱、、的中點．

（1）證明：∥平面；
（2）在線段是否存在一點，使得平面∥平面？若存在，請指出并證明；若不存在，請說明理由．
19. 重慶是我國著名的“火爐”城市之一，如圖，重慶某避暑山莊O為吸引游客，準備在門前兩條小路OA和OB之間修建一處弓形花園，使之有著類似“冰淇淋”般的涼爽感，已知，弓形花園的弦長，記弓形花園的頂點為，設(shè).

（1）將用含有關(guān)系式表示出來；
（2）該山莊準備在點處修建噴泉，為獲取更好的觀景視野，如何設(shè)計的長度，才使得噴泉與山莊的距離的值最大？