廣東省深圳市高級中學(xué)(集團)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題(學(xué)生版+解析)

這是一份廣東省深圳市高級中學(xué)(集團)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題(學(xué)生版+解析)，共25頁。試卷主要包含了9B， 已知隨機變量的分布列為等內(nèi)容，歡迎下載使用。
命題人：李媛雪 審題人：鄭方興
(滿分150分.考試時間120分鐘.)
注意事項：
1.答卷前，考生務(wù)必將自己的個人信息填寫在答題卡和試卷指定位置上.
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知集合，若，則實數(shù)取值集合為( )
A. B.
C. D.
2. 函數(shù)的圖象如圖所示，它的導(dǎo)函數(shù)為，下列導(dǎo)數(shù)值排序正確的是( )
A. B.
C. D.
3. 某種品牌手機電池使用壽命X(單位：年)服從正態(tài)分布，且使用壽命不少于2年的概率為0.9，則該品牌手機電池至少使用6年的概率為( )
A. 0.9B. 0.7C. 0.3D. 0.1
4. 已知等差數(shù)列中，是數(shù)列的前項和，則最大值時的值為( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
5. 已知是函數(shù)的極小值點，那么函數(shù)的極大值為( )
A. B. 1C. 2D. 4
6. 有2男2女共4名大學(xué)畢業(yè)生被分配到三個工廠實習，每人必須去一個工廠且每個工廠至少去1人，且工廠只接收女生，則不同分配方法種數(shù)為( )
A. 12B. 14C. 36D. 72
7. 若曲線有三條過點的切線，則實數(shù)的取值范圍為( )
A. B. C. D.
8. 已知隨機變量的分布列為：
則下列說法正確的是( )
A. 存在x，，B. 對任意x，，
C. 對任意x，，D. 存x，，
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.
9. 某校1000名學(xué)生在高三一模測試中數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖如圖所示(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表).分數(shù)不低于X即為優(yōu)秀，已知優(yōu)秀學(xué)生有80人，則( )
A.
B.
C. 70分以下的人數(shù)約為6人
D. 本次考試的平均分約為93.6
10. 已知數(shù)列{an}的前n項和為， ，若，則k可能為( )
A. 4B. 8C. 9D. 12
11. 一口袋中有除顏色外完全相同的3個紅球和2個白球，從中無放回的隨機取兩次，每次取1個球，記事件A1：第一次取出的是紅球；事件A2：第一次取出的是白球；事件B：取出的兩球同色；事件C：取出的兩球中至少有一個紅球，則( )
A. 事件，為互斥事件B. 事件B，C為獨立事件
C. D.
12. 已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是( )
A. 的圖象關(guān)于點對稱B. 在區(qū)間上單調(diào)遞增
C. 在區(qū)間內(nèi)有7個零點D. 的最大值為
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 若的展開式中含有常數(shù)項，則正整數(shù)的一個取值為_________.
14. 大氣壓強，它的單位是“帕斯卡”(Pa，)，已知大氣壓強隨高度的變化規(guī)律是，其中是海平面大氣壓強，.當?shù)馗呱缴弦惶幋髿鈮簭娛呛Ｆ矫嫣幋髿鈮簭姷模瑒t高山上該處的海拔為___________米.(答案保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù))
15. 設(shè)函數(shù)，若函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù)，則k的取值范圍是______．
16. 已知函數(shù)的兩個零點為，，函數(shù)的兩個零點為，，則________
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17. 已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，.
(1)求的通項公式；
(2)數(shù)列滿足，求的前項和.
18. 設(shè)函數(shù).
(1)若在點處的切線為，求a，b的值；
(2)求的單調(diào)區(qū)間.
19. 為貫徹落實《健康中國行動(2019—2030年)》《關(guān)于全面加強和改進新時代學(xué)校體育工作的意見》等文件精神，確保2030年學(xué)生體質(zhì)達到規(guī)定要求，各地將認真做好學(xué)生的體制健康監(jiān)測.某市決定對某中學(xué)學(xué)生的身體健康狀況進行調(diào)查，現(xiàn)從該校抽取200名學(xué)生測量他們的體重，得到如下樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖.
(1)求這200名學(xué)生體重的平均數(shù)和方差(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表).
(2)由頻率分布直方圖可知，該校學(xué)生的體重服從正態(tài)分布，其中μ近似為平均數(shù)，近似為方差.
①利用該正態(tài)分布，求；
②若從該校隨機抽取50名學(xué)生，記表示這50名學(xué)生的體重位于區(qū)間內(nèi)的人數(shù)，利用①的結(jié)果，求.參考數(shù)據(jù)：.若，則，，.
20. 已知正項數(shù)列的前n項和為，且 ，， ．
(1)求；
(2)在數(shù)列的每相鄰兩項之間依次插入，得到數(shù)列 ，求的前100項和.
21. 甲、乙兩人進行下象棋比賽(沒有平局)．采用“五局三勝”制．已知在每局比賽中，甲獲勝的概率為，．
(1)設(shè)甲以3：1獲勝的概率為，求的最大值；
(2)記(1)中，取得最大值時值為，以作為的值，用表示甲、乙兩人比賽的局數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．
22. 已知函數(shù).
(1)當時，證明：：
(2)若函數(shù)在上單調(diào)遞減，求的取值范圍.
x
y
P
y
x
深圳市高級中學(xué)(集團)2022-2023學(xué)年第二學(xué)期期中測試
高二數(shù)學(xué)
命題人：李媛雪 審題人：鄭方興
(滿分150分.考試時間120分鐘.)
注意事項：
1.答卷前，考生務(wù)必將自己的個人信息填寫在答題卡和試卷指定位置上.
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知集合，若，則實數(shù)的取值集合為( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】化簡集合，根據(jù)，求實數(shù)的可能取值，由此可得結(jié)果.
【詳解】集合，
又，，
所以，故實數(shù)a的取值集合為，
故選：C.
2. 函數(shù)的圖象如圖所示，它的導(dǎo)函數(shù)為，下列導(dǎo)數(shù)值排序正確的是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及切線斜率的變化可得出結(jié)論.
【詳解】由圖象可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當時，，
即，，，
又因為曲線在點處切線的斜率隨著的增大而減小，即在點處切線的斜率隨著的增大而減小，
故.
故選：A.
3. 某種品牌手機的電池使用壽命X(單位：年)服從正態(tài)分布，且使用壽命不少于2年的概率為0.9，則該品牌手機電池至少使用6年的概率為( )
A. 0.9B. 0.7C. 0.3D. 0.1
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性求解即可.
【詳解】由題得：，故，
因為，所以根據(jù)對稱性得：.
故選：D.
4. 已知等差數(shù)列中，是數(shù)列的前項和，則最大值時的值為( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)解得：然后求得：，當時取最大值，且；
【詳解】因為所以
因為，所以
所以當時取最大值，且；
故選：B
5. 已知是函數(shù)的極小值點，那么函數(shù)的極大值為( )
A. B. 1C. 2D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】由是函數(shù)的極小值點，可得，進而可得的解析式，即可得函數(shù)單調(diào)遞區(qū)間及極大值點為，代入求解即可.
【詳解】因為
所以，
又因為是函數(shù)的極小值點，
所以，
解得，
所以，，
令，得，
所以當時，，單調(diào)遞增；
當時，，單調(diào)遞減；
當時，，單調(diào)遞增；
所以在處取極大值，在處取極小值，
所以的極大值為.
故選：D.
6. 有2男2女共4名大學(xué)畢業(yè)生被分配到三個工廠實習，每人必須去一個工廠且每個工廠至少去1人，且工廠只接收女生，則不同的分配方法種數(shù)為( )
A. 12B. 14C. 36D. 72
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意，分廠只接受1個女生和廠接受2個女生兩類情況，結(jié)合廠的分派方案，利用分類、分步計數(shù)原理，即可求解.
【詳解】由題意，可分為兩種情況：
①若廠只接受1個女生，有種分派方案，
則廠分派人數(shù)可以為或，則有種分派方案，
由分步計數(shù)原理可得，共有種不同的分派方案；
②若廠接受2個女生，只有1種分派方案，
則廠分派人數(shù)為，則有種分派方案，
此時共有種不同分派方案，
綜上，由分類計數(shù)原理可得，共有種不同的分派方案.
故選：B.
7. 若曲線有三條過點的切線，則實數(shù)的取值范圍為( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出過點的切線方程為，利用方程的解個數(shù)與函數(shù)圖象交點個數(shù)的關(guān)系將問題轉(zhuǎn)化為圖象與直線在R上有3個交點，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值，根據(jù)數(shù)形結(jié)合的思想即可求解.
【詳解】設(shè)該切線的切點為，則切線的斜率為，
所以切線方程為，
又切線過點，則，整理得.
要使過點的切線有3條，需方程有3個不同的解，
即函數(shù)圖象與直線在R上有3個交點，
設(shè)，則，
令，令或，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減，
且極小值、極大值分別為，如圖，
由圖可知，當時，函數(shù)圖象與直線在R上有3個交點，
即過點的切線有3條.
所以實數(shù)a的取值范圍為.
故選：B.
8. 已知隨機變量的分布列為：
則下列說法正確的是( )
A. 存在x，，B. 對任意x，，
C. 對任意x，，D. 存在x，，
【答案】C
【解析】
【分析】對A、B：根據(jù)期望的計算公式結(jié)合二次函數(shù)分析運算；對C：先求，利用作差法比較大小；對D：換元令，結(jié)合二次函數(shù)求的取值范圍.
【詳解】由題意可得：，且，即，
對A、B：由題意可得：，
∵開口向下，對稱軸，，
則，故，
即，
不存在x，，，A錯誤；
例如，則，即存在x，，，B錯誤；
對C：，
則，
故對任意x，，則，C正確；
對D：令，
則開口向下，對稱軸，且，
故，即，
不存在x，，，D錯誤；
故選：C.
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.
9. 某校1000名學(xué)生在高三一模測試中數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖如圖所示(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表).分數(shù)不低于X即為優(yōu)秀，已知優(yōu)秀學(xué)生有80人，則( )
A.
B.
C. 70分以下的人數(shù)約為6人
D. 本次考試的平均分約為93.6
【答案】AD
【解析】
【分析】根據(jù)頻率分布圖的求解頻率、頻數(shù)、平均數(shù)即可求解.
【詳解】對于A，，A正確；
對于B，因為第六組有40人，第五組有160人，
所以，B錯誤；
對于C，70分以下的人數(shù)為人，C錯誤；
對于D，平均成績，D正確，
故選:AD.
10. 已知數(shù)列{an}的前n項和為， ，若，則k可能為( )
A. 4B. 8C. 9D. 12
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件列方程，從而求得的值.
【詳解】，
當時，由，
解得或(舍去)，所以A選項正確.
，
，，所以B選項錯誤.
，所以C選項正確.
，
所以，所以D選項錯誤.
故選：AC
11. 一口袋中有除顏色外完全相同的3個紅球和2個白球，從中無放回的隨機取兩次，每次取1個球，記事件A1：第一次取出的是紅球；事件A2：第一次取出的是白球；事件B：取出的兩球同色；事件C：取出的兩球中至少有一個紅球，則( )
A. 事件，為互斥事件B. 事件B，C為獨立事件
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)互斥事件、獨立事件的定義判斷AB，由組合知識求得判斷C，根據(jù)條件概率的定義求得判斷D．
【詳解】第一次取出的球是紅球還是白球兩個事件不可能同時發(fā)生，它們是互斥的，A正確；
由于是紅球有3個，白球有2個，事件發(fā)生時，兩球同為白色或同為紅色，，事件不發(fā)生，則兩球一白一紅，，不獨立，B錯；
，C正確；
事件發(fā)生后，口袋中有3個紅球1個白球，只有從中取出一個紅球，事件才發(fā)生，所以，D正確．
故選：ACD．
12. 已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是( )
A. 的圖象關(guān)于點對稱B. 在區(qū)間上單調(diào)遞增
C. 在區(qū)間內(nèi)有7個零點D. 的最大值為
【答案】BD
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)對稱性的性質(zhì)、二倍角公式，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)零點的定義、換元法逐一判斷即可.
【詳解】，
所以函數(shù)的圖象不關(guān)于點對稱，故錯誤.
因為，所以當時，
，
，故B正確.
由，
則在內(nèi)共有6個零點，故C錯誤.
由題意可得，
令，則，
從而，
當，，或，
故在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.
因為，，所以的最大值為，故D正確.
故選：BD
【點睛】關(guān)鍵點睛：根據(jù)二倍角公式，利用換元法、導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 若的展開式中含有常數(shù)項，則正整數(shù)的一個取值為_________.
【答案】3(只要是3正整數(shù)倍即可)
【解析】
【分析】根據(jù)二項式通項公式即可求出結(jié)果.
【詳解】的展開式的通項為，
的展開式中含有常數(shù)項需要滿足，
即，所以只要是3正整數(shù)倍即可.
故答案為：3(只要是3正整數(shù)倍即可).
14. 大氣壓強，它的單位是“帕斯卡”(Pa，)，已知大氣壓強隨高度的變化規(guī)律是，其中是海平面大氣壓強，.當?shù)馗呱缴弦惶幋髿鈮簭娛呛Ｆ矫嫣幋髿鈮簭姷?，則高山上該處的海拔為___________米.(答案保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù))
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意解方程即可得解.
【詳解】由題意可知：，解得，
所以.
故答案為：.
15. 設(shè)函數(shù)，若函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù)，則k的取值范圍是______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件得恒成立，運用分離參數(shù)求最值即可.
【詳解】解：∵定義域為，，在上是單調(diào)減函數(shù)，
∴恒成立；
∴，，
∵，，
，當且僅當時取等號.
∴，
∴，即：k的取值范圍是．
故答案為：.
16. 已知函數(shù)的兩個零點為，，函數(shù)的兩個零點為，，則________
【答案】2
【解析】
【分析】由題可得，進而可得，然后結(jié)合條件即得.
【詳解】因為函數(shù)的兩個零點為，，
則，即，
又，
則，即，
所以.
故答案為：2.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是利用同構(gòu)函數(shù)可得，可得，結(jié)合條件即得.
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17. 已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，.
(1)求的通項公式；
(2)數(shù)列滿足，求的前項和.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】(1)根據(jù)等比數(shù)列基本量的運算可得，，即可得數(shù)列的通項公式；
(2)由題可得，然后利用錯位相減法求解即可.
【小問1詳解】
設(shè)數(shù)列的公比為，
則，，解得，
所以，即通項公式為；
【小問2詳解】
由題可知，
則，
，
兩式相減得：
，
.
18. 設(shè)函數(shù).
(1)若在點處切線為，求a，b的值；
(2)求的單調(diào)區(qū)間.
【答案】(1)，；
(2)答案見解析.
【解析】
【分析】(1)已知切線求方程參數(shù)，第一步求導(dǎo)，切點在曲線，切點在切線，切點處導(dǎo)數(shù)值為切線斜率.
(2)第一步定義域，第二步求導(dǎo)，第三步令導(dǎo)數(shù)大于或小于0，求解析，即可得到答案.
【小問1詳解】
的定義域為，，
因為在點處的切線為，
所以，所以；所以
把點代入得：.
即a，b的值為：，.
【小問2詳解】
由(1)知：.
①當時，在上恒成立，所以在單調(diào)遞減；
②當時，令，解得：，
列表得：
所以，時，的遞減區(qū)間為，單增區(qū)間為.
綜上所述：當時，在單調(diào)遞減；
當時，的遞減區(qū)間為，單增區(qū)間為.
【點睛】導(dǎo)函數(shù)中得切線問題第一步求導(dǎo)，第二步列切點在曲線，切點在切線，切點處的導(dǎo)數(shù)值為切線斜率這三個方程，可解切線相關(guān)問題.
19. 為貫徹落實《健康中國行動(2019—2030年)》《關(guān)于全面加強和改進新時代學(xué)校體育工作的意見》等文件精神，確保2030年學(xué)生體質(zhì)達到規(guī)定要求，各地將認真做好學(xué)生的體制健康監(jiān)測.某市決定對某中學(xué)學(xué)生的身體健康狀況進行調(diào)查，現(xiàn)從該校抽取200名學(xué)生測量他們的體重，得到如下樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖.
(1)求這200名學(xué)生體重的平均數(shù)和方差(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表).
(2)由頻率分布直方圖可知，該校學(xué)生的體重服從正態(tài)分布，其中μ近似為平均數(shù)，近似為方差.
①利用該正態(tài)分布，求；
②若從該校隨機抽取50名學(xué)生，記表示這50名學(xué)生的體重位于區(qū)間內(nèi)的人數(shù)，利用①的結(jié)果，求.參考數(shù)據(jù)：.若，則，，.
【答案】(1)，
(2)①；②
【解析】
【分析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖平均數(shù)的求法即可求出，利用方差公式計算即可求解；
(2)由(1)可知，，結(jié)合題意給的參照數(shù)據(jù)即可求出，進而得，利用二項分布求數(shù)學(xué)期望公式計算即可求解.
【小問1詳解】
由題意得，
；
.
所以這200名學(xué)生體重的平均數(shù)為60，方差為86；
【小問2詳解】
①由(1)可知，，
則；
②由①可知1名學(xué)生的體重位于的概率為0.6826.
則，
所以.
20. 已知正項數(shù)列的前n項和為，且 ，， ．
(1)求；
(2)在數(shù)列的每相鄰兩項之間依次插入，得到數(shù)列 ，求的前100項和.
【答案】(1)，
(2)186
【解析】
【分析】(1)根據(jù)的關(guān)系，即可求解，
(2)根據(jù)的形成規(guī)律，分組即可求解.
【小問1詳解】
因為，當時，
，
因為，所以，故．
當時，適合上式，
所以，.
【小問2詳解】
(方法1)因，，
所以當時，．
所以
所以數(shù)列：1，1，2，1，2，2，1，2，2，2，……，
設(shè)，則，
因為，所以.
所以的前100項是由14個1與86個2組成．
所以.
(方法2)設(shè)，則，
因為，所以.
根據(jù)數(shù)列的定義，知
.
21. 甲、乙兩人進行下象棋比賽(沒有平局)．采用“五局三勝”制．已知在每局比賽中，甲獲勝的概率為，．
(1)設(shè)甲以3：1獲勝的概率為，求的最大值；
(2)記(1)中，取得最大值時的值為，以作為的值，用表示甲、乙兩人比賽的局數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．
【答案】(1)
(2)分布列見解析，
【解析】
【分析】(1)根據(jù)題意列出的解析式，通過求導(dǎo)即可得到的最大值.
(2)由(1)得到的值，再根據(jù)的可能取值為3,4,5，分別求出其所對應(yīng)概率即可得出分布列，再由公式求得期望即可.
【小問1詳解】
甲以3：1獲勝，則前三局中甲勝兩局敗一局，第四局甲必須獲勝，
所以，，，
令，得；令，得；令，得．
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當時，取得最大值為．
【小問2詳解】
由(1)知，由題意，知X的所有可能取值為3、4、5，相應(yīng)的概率為
，
，
，
所以X的分布列為
X的數(shù)學(xué)期望．
22. 已知函數(shù).
(1)當時，證明：：
(2)若函數(shù)在上單調(diào)遞減，求的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【解析】
【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值，由此證明，再證明；
(2)由條件可得在上恒成立，化簡可得在上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求的最小值可得的取值范圍.
【小問1詳解】
當時，，
要證，即證，
設(shè)，
令，解得，
當時，，當時，，
所以在上遞增，在上遞減，
則，
所以，即成立，
所以成立.
【小問2詳解】
由已知可得，所以
因為對任意的在上單調(diào)遞減，所以在上恒成立，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
令，則，
令，則，
所以在上為增函數(shù)，
又因為，
所以，使得，即，
當時，，可得，所以在上單調(diào)遞減；
當時，，可得，所以在上單調(diào)遞增，
所以，
由，可得，
又由，所以在上單調(diào)遞增，
所以，可得，所以，即，
所以，
即得.
【點睛】導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．
x
y
P
y
x
x
-
0
+
單調(diào)遞減
極小值
單調(diào)遞增
X
3
4
5
P