一、選擇題
1．已知集合，，則( )
A.B.C.D.
2．已知復(fù)數(shù)z滿足，則z的虛部為( )
A.5B.C.D.
3．若圓與x軸相切，則( )
A.1B.C.2D.4
4．“”是“”的( )
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
5．已知所在平面內(nèi)一點D滿足，則的面積是的面積的( )
A.5倍B.4倍C.3倍D.2倍
6．小明將1，4，0，3，2，2這六個數(shù)字的一種排列設(shè)為自己的六位數(shù)字的銀行卡密碼，若兩個2之間只有一個數(shù)字，且1與4相鄰，則可以設(shè)置的密碼種數(shù)為( )
A.48B.32C.24D.16
7．已知函數(shù)有兩個極值點p，q，若，則( )
A.B.C.D.
8．已知雙曲線（，）的右焦點為F，過F且與一條漸近線平行的直線與C的右支及另一條漸近線分別交于B，D兩點，若，則C的漸近線方程為( )
A.B.C.D.
二、多項選擇題
9．已知函數(shù)，則( )
A.為的一個周期B.的圖象關(guān)于直線對稱
C.為偶函數(shù)D.在上單調(diào)遞增
10．已知正三棱臺中，的面積為，的面積為，，棱的中點為M，則( )
A.該三棱臺的側(cè)面積為B.該三棱臺的高為
C.平面D.二面角的余弦值為
11．甲是某公司的技術(shù)研發(fā)人員，他所在的小組負(fù)責(zé)某個項目，該項目由A，B，C三個工序組成，甲只負(fù)責(zé)其中一個工序，且甲負(fù)責(zé)工序A，B，C的概率分別為0.5，0.3，0.2，當(dāng)他負(fù)責(zé)工序A，B，C時，該項目達(dá)標(biāo)的概率分別為0.6，0.8，0.7，則下列結(jié)論正確的是( )
A.該項目達(dá)標(biāo)的概率為0.68
B.若甲不負(fù)責(zé)工序C，則該項目達(dá)標(biāo)的概率為0.54
C.若該項目達(dá)標(biāo)，則甲負(fù)責(zé)工序A的概率為
D.若該項目未達(dá)標(biāo)，則甲負(fù)責(zé)工序A的概率為
12．已知拋物線的準(zhǔn)線，直線與拋物線C交于M，N兩點，P為線段的中點，則下列結(jié)論正確的是( )
A.若，則以為直徑的圓與l相交
B.若，則（為坐標(biāo)原點）
C.過點M，N分別作拋物線C的切線，，若，交于點A，則
D.若，則點P到直線l的距離大于等于
三、填空題
13．已知圓錐的底面半徑為1，體積為，則該圓錐的側(cè)面展開圖對應(yīng)的扇形的圓心角為___________.
14．已知數(shù)列中，，且，則的前12項和為___________.
15．已知正實數(shù)m，n滿足，則的最大值為___________.
16．若函數(shù)在上沒有零點，則實數(shù)的取值范圍為___________.
四、解答題
17．已知中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.
（1）證明：；
（2）若，求的值.
18．如圖所示，在三棱錐中，，，.
（1）求證：平面平面；
（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.
19．已知數(shù)列中，，.
（1）求的通項公式；
（2）若，求數(shù)列的前n項和.
20．為了驗證某種新能源汽車電池的安全性，小王在實驗室中進(jìn)行了次試驗，假設(shè)小王每次試驗成功的概率為，且每次試驗相互獨(dú)立.
（1）若小王某天進(jìn)行了4次試驗，且，求小王這一天試驗成功次數(shù)X的分布列以及期望；
（2）若恰好成功2次后停止試驗，，以Y表示停止試驗時試驗的總次數(shù)，求.（結(jié)果用含有n的式子表示）
21．（1）求函數(shù)的極值；
（2）若，證明：當(dāng)時，.
22．已知橢圓的離心率為，直線l過C的上頂點與右頂點且與圓相切.
（1）求C的方程.
（2）過C上一點作圓O的兩條切線，（均不與坐標(biāo)軸垂直），，與C的另一個交點分別為，.證明：
①直線，的斜率之積為定值；
②.
參考答案
1．答案：A
解析：依題意，，，所以，.
故選：A.
2．答案：B
解析：由題意可得：，
所以z的虛部為.
故選：B.
3．答案：D
解析：的圓心為，半徑為，
因為圓C與x軸相切，所以且，解得
故選：D.
4．答案：B
解析：
，
顯然，則，解得或.
所以“”是“”的必要不充分條件.
故選：B.
5．答案：A
解析：設(shè)的中點為M，因為，
所以，所以，
所以點D是線段的五等分點，
所以，
所以的面積是的面積的5倍.
故選：A.
6．答案：C
解析：1與4相鄰，共有種排法，
兩個2之間插入1個數(shù)，
共有種排法，再把組合好的數(shù)全排列，共有種排法，
則總共有種密碼.
故選：C.
7．答案：D
解析：依題意，，則，
因為，所以，
顯然，，兩式相除得，則，
代入中，解得，則.
故選：D.
8．答案：C
解析：易知C的漸近線方程為，不妨設(shè)直線，，，
聯(lián)立方程得，解得，，所以，
又，而，，得到，
解得，，故，代入中，
得，得到，又，得到，解得，
故所求C的漸近線方程為，
故選：C.
9．答案：AB
解析：因為的最小正周期，所以為的一個周期，故A正確；
因為，故B正確；
因為，不具有奇偶性，故C錯誤；
因為，則，且在內(nèi)單調(diào)遞減，
所以在上單調(diào)遞減，故D錯誤.
故選：AB.
10．答案：BCD
解析：對于A，根據(jù)條件可得，，
分別過點、在平面內(nèi)作，，垂足分別為點T、N，
因為，，，
所以，，則，
因為，，，則四邊形為矩形，
所以，，所以，，
則，即等腰梯形的高為，
其面積為，
所以該三棱臺的側(cè)面積為，故A錯誤；
對于B，設(shè)的中心為O，的中心為，可知是直角梯形，
過點在平面內(nèi)作，垂足為點E，
因為，，，則四邊形為矩形，
因為，解得，同理可得，
所以，，，
所以，，則，
所以，，故B正確；
對于C，分別延長棱、、交于點P，
因為，，則，可得，
則，同理可得，
所以，四面體為正四面體，
延長交于點F，則，所以，，
且，即，則F為的中點，
又因為，則M為正的中心，故平面，故C正確；
對于D，二面角即正四面體相鄰側(cè)面的夾角，
因為F為的中點，為等邊三角形，則，
且，
因為是邊長為6的等邊三角形，則，且，
故二面角的平面角為，
因為平面，平面，則，
則，故二面角的余弦值為，故D正確.
故選：BCD.
11．答案：ACD
解析：記甲負(fù)責(zé)工序A為事件，甲負(fù)責(zé)工序B為事件，甲負(fù)責(zé)工序C為事件，該項目達(dá)標(biāo)為事件N.
對于選項A，該項目達(dá)標(biāo)的概率為
，故選項A正確；
對于選項B，
，故選項B錯誤；
對于選項C，，所選項C正確；
對于選項D，，所以選項D正確，
故選：ACD.
12．答案：BCD
解析：由題可得拋物線，設(shè)，，
對于選項A，當(dāng)時，直線過C的焦點，
此時，
又的中點到準(zhǔn)線的距離為，
則以為直徑的圓與l相切，故選項A錯誤；
對于選項B，當(dāng)時，直線，
將代入，得，則，
又易知，，
所以，故選項B正確；
對于選項C，由題可設(shè)拋物線C在點M處的切線方程為，
由，消x得到，
由，得到，
又，所以，得到，
所以C在點M處的切線方程為，整理得到，
同理可得拋物線C在點N處的切線方程為，
聯(lián)立，解得，故，故選項C正確；
對于選項D，由拋物線的對稱性，可知當(dāng)軸時，點P到直線l的距離最小，
由，不妨取，代入，得到，
所以，點P到直線l的距離為，故選項D正確.
故選：BCD.
13．答案：/
解析：設(shè)圓錐（如圖所示）的高為h.
因為，所以，母線.
將圓錐沿展開所得扇形的弧長為底面周長，根據(jù)弧長公式，
所以圓心角.
故答案為：.
14．答案：
解析：依題意，故，，
所以，，，…，
故的前12項和為.
故答案為：.
15．答案：2
解析：依題意得，
則，
即，則，
解得，則的最大值為2.當(dāng)且僅當(dāng)時取得最大值.
故答案為：2.
16．答案：
解析：因為，則，
令，顯然，則，
令，，
則，
令，得，，列表如下：
所以，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為、，
且極大值為，極小值為.
當(dāng)時，，當(dāng)時（從左邊趨于），；
當(dāng)時（從右邊趨于），，
當(dāng)時（從右邊趨于），.
由圖象可知，當(dāng)時，直線與曲線沒有交點，
即在上沒有零點.
因此，實數(shù)的取值范圍是，
故答案為：.
17．答案：（1）證明見解析
（2）
解析：（1）證明：由正弦定理及條件可得，
由余弦定理可得，化簡得.
（2）由得，
化簡得，又，故，
所以，故.
18．答案：（1）證明見解析
（2）
解析：（1）證明：因為，所以，
同理可得，故，
因為，平面，所以平面
因為平面，故平面平面.
（2）以C為坐標(biāo)原點，，所在直線分別為x軸、y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因為
則，，，，，
所以，，.
設(shè)為平面的法向量，
則即令，得.
設(shè)直線與平面所成的角為，
則，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）由，可得，又，
故數(shù)列是以1為首項，為公差的等差數(shù)列，
所以，得到.
（2）由（1）可知，
故.
20．答案：（1）分布列見解析；期望為
（2）
解析：（1）依題意，，
則，，
，，
，
故X的分布列為：
故.
（2）方法一：設(shè)“停止試驗時試驗總次數(shù)不大于n”，
則，
“n次試驗中，成功了0次或1次”，
“n次試驗中，成功了0次”的概率；
“n次試驗中，成功了1次”的概率.
所以.
方法二：事件“”表示前次試驗只成功了1次，且第n次試驗成功，
故，
所以，
令，
則，
兩式相減得：
，
則.即.
21．答案：（1）極小值為0，無極大值
（2）證明見解析
解析：（1）依題意，，令，解得，
所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，
即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
而，故的極小值為0，無極大值.
（2）由（1）可知，當(dāng)時，，則.
令，
則，易知在上單調(diào)遞增.
因為，所以，，
故，使得，即①.
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故②.
由①可得，，
代入②，得
，
而，故，故，即原命題得證.
22．答案：（1）
（2）①證明見解析
②證明見解析
解析：（1）設(shè)橢圓的半焦距為.
依題意，離心率，則，①.
直線，即，由題可知②.
聯(lián)立①②，解得，，故C的方程為.
（2）①設(shè)過點A且與圓O相切的直線的方程為，
則，整理得，
記直線，的斜率分別為，，則，為定值.
②由①的過程可知直線，聯(lián)立方程得
則有，故.
直線，同理可得.
故
，
則.
x
1
4
+
0
-
-
0
+
增
極大值
減
減
極小值
增
X
0
1
2
3
4
P

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