河南省焦作市2024屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷(含答案)

這是一份河南省焦作市2024屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷(含答案)，共21頁。試卷主要包含了選擇題，多項選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

一、選擇題
1．已知集合，，則( )
A.或B.
C.或D.
2．已知復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點分別為，，則( )
A.B.1C.D.2
3．已知，則“”是“”的( )
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
4．已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，.若，，則( )
A.B.C.2D.3
5．已知直四棱柱的底面為梯形，，，，若平面，則( )
A.B.C.D.
6．如圖所示，( )
A.B.C.D.
7．記橢圓：與圓：的公共點為M，N，其中M在N的左側(cè)，A是圓上異于M，N的點，連接交于B，若，則的離心率為( )
A.B.C.D.
8．若函數(shù)在定義域R上存在最小值b，則當取得最小值時，( )
A.B.C.D.
二、多項選擇題
9．在一次數(shù)學(xué)測試中，老師將班級60位同學(xué)的成績按照從小到大的順序進行排列后得到的原始數(shù)據(jù)為，，，…，（數(shù)據(jù)互不相同），其極差為m，平均數(shù)為a，則下列結(jié)論中正確的是( )
A.，，，…，的平均數(shù)為
B.，，，…，的第25百分位數(shù)與原始數(shù)據(jù)的相同
C.若，，，…，，的極差為，則
D.，，，…，，的平均數(shù)大于a
10．已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是( )
A.函數(shù)的圖象不可能關(guān)于y軸對稱
B.若且，在上恰有4個零點，則
C.若，，則的最小值為
D.若，，且在上的值域為，則m的取值范圍是
11．費馬原理是幾何光學(xué)中的一條重要定理，由此定理可以推導(dǎo)出圓錐曲線的一些性質(zhì)，例如，若點A是雙曲線C（，為C的兩個焦點）上的一點，則C在點A處的切線平分.已知雙曲線的左?右焦點分別為，，直線l為C在其上一點處的切線，則下列結(jié)論中正確的是( )
A.C的一條漸近線與直線相互垂直
B.若點B在直線l上，且，則（O為坐標原點）
C.直線l的方程為
D.延長交C于點P，則的內(nèi)切圓圓心在直線上
三、填空題
12．大約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作注時介紹了“勾股圓方圖”，即“趙爽弦圖”.如圖是某同學(xué)繪制的趙爽弦圖，其中四邊形，均為正方形，，則____________.
13．已知數(shù)列的前n項和，，若是的等差中項，則____________.
14．已知函數(shù)的定義域為R，且的圖象關(guān)于點中心對稱，若，則____________.
四、解答題
15．已知等比數(shù)列的首項為2，公比q為整數(shù)，且.
（1）求的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列的前n項和為，比較與4的大小關(guān)系，并說明理由.
16．如圖，在四棱柱中，二面角，均為直二面角.
（1）求證：平面；
（2）若，，二面角的正弦值為，求的值.
17．在某公司舉辦的職業(yè)技能競賽中，只有甲?乙兩人晉級決賽，已知決賽第一天采用五場三勝制，即先贏三場者獲勝，當天的比賽結(jié)束，決賽第二天的賽制與第一天相同.在兩天的比賽中，若某位選手連勝兩天，則他獲得最終冠軍，決賽結(jié)束，若兩位選手各勝一天，則需進行第三天的比賽，第三天的比賽為三場兩勝制，即先贏兩場者獲勝，并獲得最終冠軍，決賽結(jié)束.每天每場的比賽只有甲勝與乙勝兩種結(jié)果，每場比賽的結(jié)果相互獨立，且每場比賽甲獲勝的概率均為.
（1）若，求第一天比賽的總場數(shù)為4的概率；
（2）若，求決出最終冠軍時比賽的總場數(shù)至多為8的概率.
18．已知拋物線的焦點為F，在x軸上的截距為正數(shù)的直線l與C交于P，Q兩點，直線與C的另一個交點為R.
（1）若，求；
（2）過點R作C的切線，若，則當?shù)拿娣e取得最小值時，求直線l的斜率.
19．已知函數(shù).
（1）若，討論的零點個數(shù)；
（2）若，是函數(shù)（為的導(dǎo)函數(shù)）的兩個不同的零點，且，求證：.
參考答案
1．答案：C
解析：由或，
所以或.
故選：C.
2．答案：A
解析：由復(fù)數(shù)的幾何意義可得，，
所以.
故選：A.
3．答案：B
解析：由題意得，解得，
故時，不一定推出，而時，必有，
故“”是“”的必要不充分條件，
故選：B.
4．答案：D
解析：由題意知中，，，故，
故，（R為外接圓半徑），
故，
故選：D.
5．答案：C
解析：因為四棱柱為直四棱柱，，
故平面平面，而平面平面，
平面平面，故，
又，則，故，
故，又，，則，
則，故，則，
故選：C.
6．答案：C
解析：由題意知，，
則，，，，
故
，
故，
故選：C.
7．答案：D
解析：由題意可知點M，N分別為橢圓的左右頂點，所以，，
設(shè)點A在第一象限，設(shè)點，所以，
，
所以，.
故選：D.
8．答案：A
解析：因為，所以，
當時，恒成立，則在定義域上單調(diào)遞增，不存在最小值，故舍去；
當時，若，則，
又在上單調(diào)遞增，
則當時，所以無最小值，故舍去；
所以，又，易知在定義域上單調(diào)遞增，
且，所以存在唯一零點，即，且，
當時，當時，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以在處取得最小值，即，
又，所以，
令，，
所以，
所以當時，當時，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以當時取得極小值，即最小值，
所以，所以.
故選：A.
9．答案：AC
解析：對于A，由平均數(shù)的性質(zhì)知，，，…，的平均數(shù)為，故A正確；
對于B，，，，…，的第25百分位數(shù)比原始數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)大2，故B錯誤；
對于C，，，，…，，的極差為：
，故C正確；
對于D，
，故D錯誤.
故選：AC.
10．答案：AC
解析：對于A，，，
故，
當，時，為偶函數(shù)，
此時函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，A錯誤；
對于B，，則，
由于在上恰有4個零點，故，即，
而，故，B正確；
對于C，由于，則的圖象關(guān)于點對稱，
即，則，即，，
又，故時，的最小值為，C正確；
對于D，，時，，
由于，故，
而在上的值域為，故，，D錯誤，
故選：AC.
11．答案：ABD
解析：選項A：雙曲線的一條漸近線方程為與相互垂直，故A正確；
選項BC：因為，，所以，，，
所以，，
又，所以，所以，
直線l：，即，故C錯誤，
設(shè)，則，化簡得：，
所以，則，故B正確；
選項D：，直線，
聯(lián)立，化簡得：，解得，，
所以，，
所以直線，
因為的內(nèi)切圓圓心在直線l：上，若又在直線上，
則內(nèi)切圓圓心為，圓心到直線的距離為：
，
圓心到直線的距離為：
，即，
所以點也在的角平分線上，即點為的內(nèi)切圓圓心，圓心在直線上，故D正確；
故選：ABD.
12．答案：16
解析：以D為坐標原點，建立如圖所示的直角坐標系，因為，
所以，，，，
所以，，所以.
故答案為：16.
13．答案：3
解析：當時，，
當時，，
顯然也滿足，故，，
則，
因為是，的等差中項，即，
即，則，解得：.
故答案為：3.
14．答案：
解析：對任意，由于，且函數(shù)的定義域為R，
故點在曲線上，且曲線關(guān)于點中心對稱，
故點也在曲線上，從而，
從而對任意有.
從而對任意，由知，即.
根據(jù)條件又有，即.
現(xiàn)在對任意的整數(shù)n，我們有：
，
所以，從而有：
.
故有：
.
故答案為：.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）由已知可得，
因為，所以，
即，則，解得或（舍去），
所以，.
（2）由（1）得，
令，設(shè)前n項和為，則，
所以，兩式相減得，
所以，
令，則，
設(shè)前n項和為，則，
所以.
16．答案：（1）證明見解析
（2）
解析：（1）證明：在平面內(nèi)取點E，過E作直線，由于二面角為直二面角，
即平面平面，平面平面，
平面，故平面，平面，故；
同理過E作直線，由于二面角為直二面角，
即平面平面，平面平面，
平面，故平面，平面，故；
由于，不平行，故a，b不重合，，平面，
故平面；
（2）由題意可得，可以A為坐標原點，以，，所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，
設(shè)，，，，，，
則，，，，
設(shè)平面的法向量為，則，
即，令，則，
設(shè)平面的法向量為，則，
即，令，則，
二面角的正弦值為，故其余弦值的絕對值為，
即，即，解得，
故.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）若第一天比賽的總場數(shù)為4，且甲獲勝，
故前3場甲贏了2場，第4場甲獲勝，則概率為，
若第一天比賽的總場數(shù)為4，且乙獲勝，
故前3場乙贏了2場，第4場乙獲勝，則概率為，
故第一天比賽的總場數(shù)為4的概率為；
（2）設(shè)決出最終冠軍時比賽的總場數(shù)為Y，
其中Y最小為6，即決賽第一天和第二天均比賽3場結(jié)束，且兩場均為甲勝或乙勝，
故，
當時，即決賽第一天和第二天均為甲勝或乙勝，且一天比賽了4場，另一天比賽了3場，
其中比賽了4場的概率為，比賽了3場的概率為，
結(jié)合可能第一天比賽了4場，可能第二天比賽了4場，且可能甲勝，可能乙勝，
則，
當時，分為三種情況，
第一種，決賽第一天和第二天均為甲勝或乙勝，且兩天均比賽了4場，
此時概率為，
第二種，決賽第一天和第二天均為甲勝或乙勝，且一天比賽了5場，另一天比賽了3場，
此時概率為，
第三種，決賽第一天和第二天，甲乙分別勝一場，且兩天均比賽了3場，
決賽第三天比賽了2場，甲勝或乙勝，
此時概率為
則，
故.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）由題意可知，因為，則直線的斜率為，
所以直線的方程為，
聯(lián)立，可得，即，
解得，，當時，，則，
故.
（2）設(shè)直線的方程為，并設(shè)，，
聯(lián)立，消x可得，
則，恒成立，
，
設(shè)過點的切線方程為：，
聯(lián)立，得，
因為，則有，
因為在拋物線上，所以，代入求解可得，
所以的直線方程為：，設(shè)，
聯(lián)立，消去x可得，
因為在拋物線上，所以，代入可得，
則有，所以，，
即，
點Q到直線的距離為
，
則
，
當且僅當，時，即時，等號成立，
所以當時，三角形面積最小，
因為，所以或，此時.
19．答案：（1）答案見解析
（2）證明見解析
解析：（1）由題意知的定義域為，
令，則，令，，
令，則，
當時，，當時，，
即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
而，，，
當或時，直線與函數(shù)的圖象無交點，即無零點；
當或時，直線與函數(shù)的圖象有1個交點，即有1個零點；
當時，直線與函數(shù)的圖象有2個交點，即有2個零點；
（2）由題意知，
由于，是函數(shù)的兩個不同的零點，
即，是的兩個不同的正實數(shù)根，
故，，則，，
要證，即，
由于在上有，
故在上滿足，
所以在上單調(diào)遞減，而，故，
故即證，
即證，
而
，
令，則，設(shè)，
則時，，
故在上單調(diào)遞增，
故，即成立，
故原不等式得證.