一、單選題
1．已知集合，，則（ ）
A．?B．?C．D．
2．已知復數(shù)滿足，則的虛部為（ ）
A．5B．C．D．
3．若圓與軸相切，則（ ）
A．1B．C．2D．4
4．“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
5．已知所在平面內(nèi)一點滿足，則的面積是的面積的（ ）
A．5倍B．4倍C．3倍D．2倍
6．小明將1，4，0，3，2，2這六個數(shù)字的一種排列設(shè)為自己的六位數(shù)字的銀行卡密碼，若兩個2之間只有一個數(shù)字，且1與4相鄰，則可以設(shè)置的密碼種數(shù)為（ ）
A．48B．32C．24D．16
7．已知函數(shù)有兩個極值點p，q，若，則（ ）
A．B．C．D．
8．已知雙曲線的右焦點為，過且與一條漸近線平行的直線與的右支及另一條漸近線分別交于兩點，若，則的漸近線方程為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
9．已知函數(shù)，則（ ）
A．為的一個周期B．的圖象關(guān)于直線對稱
C．為偶函數(shù)D．在上單調(diào)遞增
10．已知正三棱臺中，的面積為，的面積為，，棱的中點為，則（ ）
A．該三棱臺的側(cè)面積為B．該三棱臺的高為
C．平面D．二面角的余弦值為
11．甲是某公司的技術(shù)研發(fā)人員，他所在的小組負責某個項目，該項目由三個工序組成，甲只負責其中一個工序，且甲負責工序的概率分別為，當他負責工序時，該項目達標的概率分別為,則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．該項目達標的概率為0.68
B．若甲不負責工序C，則該項目達標的概率為0.54
C．若該項目達標，則甲負責工序A的概率為
D．若該項目未達標，則甲負責工序A的概率為
12．已知拋物線的準線，直線與拋物線交于兩點，為線段的中點，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則以為直徑的圓與相交
B．若，則為坐標原點
C．過點分別作拋物線的切線，，若，交于點A，則
D．若，則點到直線的距離大于等于
三、填空題
13．已知圓錐的底面半徑為1，體積為，則該圓錐的側(cè)面展開圖對應(yīng)的扇形的圓心角為 ．
14．已知數(shù)列中，，且，則的前12項和為 ．
15．已知正實數(shù)m，n滿足，則的最大值為 ．
16．若函數(shù)在上沒有零點，則實數(shù)的取值范圍為 ．
四、解答題
17．已知中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．
(1)證明：；
(2)若，求的值．
18．如圖所示，在三棱錐中，，，．

(1)求證：平面平面；
(2)若，求直線與平面所成角的正弦值．
19．已知數(shù)列中，，．
(1)求的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前n項和．
20．為了驗證某種新能源汽車電池的安全性，小王在實驗室中進行了次試驗，假設(shè)小王每次試驗成功的概率為，且每次試驗相互獨立．
(1)若小王某天進行了4次試驗，且，求小王這一天試驗成功次數(shù)的分布列以及期望；
(2)若恰好成功2次后停止試驗，，以表示停止試驗時試驗的總次數(shù)，求．（結(jié)果用含有的式子表示）
21．（1）求函數(shù)的極值；
（2）若，證明：當時，．
22．已知橢圓的離心率為，直線過的上頂點與右頂點且與圓相切．
(1)求的方程．
(2)過上一點作圓的兩條切線，（均不與坐標軸垂直），，與的另一個交點分別為，．證明：
①直線，的斜率之積為定值；
②．
參考答案：
1．A
【分析】解出集合，再判斷包含關(guān)系.
【詳解】依題意，，，所以?，
.
故選：A
2．B
【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算求，進而可得結(jié)果.
【詳解】由題意可得：，
所以的虛部為．
故選：B.
3．D
【分析】求出圓心和半徑，數(shù)形結(jié)合得到且，得到答案.
【詳解】的圓心為，半徑為，
因為圓與軸相切，所以且，解得
故選：D
4．B
【分析】利用三角恒等變換得到或，從而得到答案.
【詳解】
，
顯然，則，解得或．
所以“”是“”的必要不充分條件.
故選：B
5．A
【分析】利用平面向量的線性運算計算即可．
【詳解】設(shè)的中點為，因為，
所以，所以，
所以點是線段的五等分點，
所以,
所以的面積是的面積的5倍．
故選：A.
6．C
【分析】根據(jù)相鄰問題用捆綁法和不相鄰問題用插空法即可求解.
【詳解】1與4相鄰，共有種排法，
兩個2之間插入1個數(shù)，
共有種排法，再把組合好的數(shù)全排列，共有種排法，
則總共有種密碼．
故選：C
7．D
【分析】求導，得到方程組，求出，進而得到，得到答案.
【詳解】依題意，，則，
因為，所以，
顯然，，兩式相除得，則，
代入中，解得，則．
故選：D
8．C
【分析】設(shè)直線，，由得到，再根據(jù)條件得出，代入方程，即可求出結(jié)果.
【詳解】易知的漸近線方程為，不妨設(shè)直線，，
聯(lián)立方程得，解得，，所以，
又，而，，得到，
解得，故，代入中，
得，得到，又，得到，解得，
故所求的漸近線方程為，
故選：C.
9．AB
【分析】根據(jù)題意結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)逐項分析判斷.
【詳解】因為的最小正周期，所以為的一個周期，故A正確；
因為，故B正確；
因為，不具有奇偶性，故C錯誤；
因為，則，且在內(nèi)單調(diào)遞減，
所以在上單調(diào)遞減，故D錯誤．
故選：AB.
10．BCD
【分析】計算出正三棱臺側(cè)面上的高，結(jié)合梯形的面積公式可判斷A選項；利用梯形的幾何性質(zhì)求出該三棱臺的高，可判斷B選項；分別延長棱、、交于點，推導出三棱錐為正四面體，且為等邊的中心，結(jié)合正四面體的幾何性質(zhì)可判斷C選項；利用二面角的定義可判斷D選項.
【詳解】對于A，根據(jù)條件可得，，
分別過點、在平面內(nèi)作，，垂足分別為點、，
因為，，，
所以，，則，
因為，，，則四邊形為矩形，
所以，，所以，，
則，即等腰梯形的高為，
其面積為，
所以該三棱臺的側(cè)面積為，故A錯誤；
對于B，設(shè)的中心為，的中心為，可知是直角梯形，
過點在平面內(nèi)作，垂足為點，
因為，，，則四邊形為矩形，
因為，解得，同理可得，
所以，，，
所以，，則，
所以，，故B正確；
對于C，分別延長棱、、交于點，
因為，，則，可得，
則，同理可得，
所以，四面體為正四面體，
延長交于點，則，所以，，
且，即，則為的中點，
又因為，則為正的中心，故平面，故C正確；
對于D，二面角即正四面體相鄰側(cè)面的夾角，
因為為的中點，為等邊三角形，則，
且，
因為是邊長為的等邊三角形，則，且，
故二面角的平面角為，
因為平面，平面，則，
則，故二面角的余弦值為，故D正確．
故選：BCD.
【點睛】方法點睛：求二面角常用的方法：
（1）幾何法：二面角的大小常用它的平面角來度量，平面角的作法常見的有：
①定義法；②垂面法，注意利用等腰三角形的性質(zhì)；
（2）空間向量法：分別求出兩個平面的法向量，然后通過兩個平面法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實際圖形判斷所求二面角是銳角還是鈍角.
11．ACD
【分析】根據(jù)題設(shè)條件，逐一對各個選項分析判斷即可得出結(jié)果.
【詳解】記甲負責工序為事件，甲負責工序為事件，甲負責工序為事件，該項目達標為事件．
對于選項A，該項目達標的概率為
，故選項A正確；
對于選項B，
，故選項B錯誤；
對于選項C，，所選項C正確；
對于選項D，，所以選項D正確，
故選：ACD.
12．BCD
【分析】根據(jù)條件得到，再結(jié)合各個選項的條件，逐一分析判斷即可得出結(jié)果.
【詳解】由題可得拋物線，設(shè)，，
對于選項A，當時，直線過的焦點，
此時，
又的中點到準線的距離為，
則以為直徑的圓與相切，故選項A錯誤；
對于選項B，當時，直線，
將代入，得，則，
又易知，
所以，故選項B正確；
對于選項C，由題可設(shè)拋物線在點處的切線方程為，
由，消得到，
由，得到，
又，所以，得到，
所以在點處的切線方程為，整理得到，
同理可得拋物線在點處的切線方程為，
聯(lián)立，解得，故，故選項C正確；
對于選項D，由拋物線的對稱性，可知當軸時，點到直線的距離最小，
由，不妨取，代入，得到，
所以，點到直線的距離為，故選項正確．

故選：BCD.
【點睛】方法點睛：與弦端點相關(guān)問題的解法
解決與弦端點有關(guān)的向量關(guān)系、位置關(guān)系等問題的一般方法，就是將其轉(zhuǎn)化為端點的坐標關(guān)系，再根據(jù)聯(lián)立消元后的一元二次方程根與系數(shù)的大小關(guān)系，構(gòu)建方程(組)求解．
13．/
【分析】根據(jù)體積先計算出圓錐的高，再根據(jù)高計算出圓錐的母線，即展開圖扇形的半徑，最后在根據(jù)弧長公式求出圓心角.
【詳解】設(shè)圓錐（如圖所示）的高為．

因為，所以，母線．
將圓錐沿展開所得扇形的弧長為底面周長，根據(jù)弧長公式，
所以圓心角.
故答案為：.
14．
【分析】由已知可得，借助數(shù)列的周期性、分組求和即可得出結(jié)果.
【詳解】依題意，故，,
所以，，，…，
故的前12項和為．
故答案為：
15．2
【分析】依題意得，再利用基本不等式求解.
【詳解】依題意得，
則，
即，則，
解得，則的最大值為2．當且僅當時取得最大值.
故答案為：2.
16．
【分析】由可得出，令，，分析可知，直線與曲線沒有交點，利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可得出實數(shù)的取值范圍.
【詳解】因為，則，
令，顯然，則，
令，，
則，
令，得，，列表如下：
所以，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為、，
且極大值為，極小值為．
當時，，當時（從左邊趨于），；
當時（從右邊趨于），，
當時（從右邊趨于），.
由圖象可知，當時，直線與曲線沒有交點，
即在上沒有零點．
因此，實數(shù)的取值范圍是，
故答案為：.
【點睛】方法點睛：利用導數(shù)解決函數(shù)零點問題的方法：
（1）直接法：先對函數(shù)求導，根據(jù)導數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點問題，突出導數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；
（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點問題；
（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點問題
17．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）（2）由正余弦定理邊角互化，結(jié)合余弦定理化簡計算求解.
【詳解】（1）證明：由正弦定理及條件可得，
由余弦定理可得，化簡得．
（2）由得，
化簡得，又，故，
所以，故．
18．(1)證明見解析
(2)
【分析】(1)要證明面面垂直，只需證明平面，即只需證明，.
(2)建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，然后再求線面角.
【詳解】（1）證明：因為，所以，
同理可得，故，
因為，平面，所以平面
因為平面，故平面平面．
（2）以C為坐標原點，，所在直線分別為軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，因為

則，，，，，
所以，，．
設(shè)為平面的法向量，
則即令，得．
設(shè)直線與平面所成的角為，
則，
所以直線與平面所成角的正弦值為．
19．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)條件可得數(shù)列是以1為首項，為公差的等差數(shù)列，即可求出結(jié)果；
（2）由（1）可得，再利用裂項相消法即可求出結(jié)果.
【詳解】（1）由，可得，又，
故數(shù)列是以1為首項，為公差的等差數(shù)列，
所以，得到．
（2）由（1）可知，
故．
20．(1)分布列見解析；期望為
(2)
【分析】（1）利用二項分布求解；
（2）法一：先求次試驗中，成功了0次或1次的概率，再利用對立事件求解；法二：先求，再利用錯位相減求和.
【詳解】（1）依題意，，
則，，
，
，
故的分布列為：
故．
（2）方法一：設(shè)“停止試驗時試驗總次數(shù)不大于”，
則，
“次試驗中，成功了0次或1次”，
“次試驗中，成功了0次”的概率；
“次試驗中，成功了1次”的概率．
所以．
方法二：事件“”表示前次試驗只成功了1次，且第次試驗成功，
故，
所以，
令，
則，
兩式相減得：，
則．即
21．（1）極小值為0，無極大值；（2）證明見解析
【分析】（1）求導，得到單調(diào)性，從而得到極值情況；
（2）在（1）基礎(chǔ)上得到，構(gòu)造函數(shù)，求導得到其單調(diào)性，結(jié)合隱零點得到函數(shù)的最小值，證明出結(jié)論.
【詳解】（1）依題意，，令，解得，
所以當時，，當時，，
即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
而，故的極小值為0，無極大值．
（2）由（1）可知，當時，，則．
令，
則，易知在上單調(diào)遞增．
因為，所以，，
故，使得，即①．
當時，，當時，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故②．
由①可得，
代入②，得
，
而，故，故，即原命題得證．
【點睛】方法點睛：隱零點的處理思路：
第一步：用零點存在性定理判定導函數(shù)零點的存在性，其中難點是通過合理賦值，敏銳捕捉零點存在的區(qū)間，有時還需結(jié)合函數(shù)單調(diào)性明確零點的個數(shù)；
第二步：虛設(shè)零點并確定取范圍，抓住零點方程實施代換，如指數(shù)與對數(shù)互換，超越函數(shù)與簡單函數(shù)的替換，利用同構(gòu)思想等解決，需要注意的是，代換可能不止一次.
22．(1)
(2)① 證明見解析；②證明見解析
【分析】（1）利用已知求參數(shù)，得到橢圓方程即可.
（2）①利用點到直線的距離得到斜率滿足的方程，結(jié)合韋達定理得到斜率的乘積，簡單轉(zhuǎn)化得到定值即可. ②聯(lián)立方程，結(jié)合韋達定理用斜率表示所求式，化簡得到定值即可.
【詳解】（1）設(shè)橢圓的半焦距為．依題意，離心率，則，①．
直線，即，由題可知②．
聯(lián)立①②，解得，，故的方程為．
（2）
（i）設(shè)過點且與圓相切的直線的方程為，
則，整理得，
記直線，的斜率分別為，，則，為定值．
（ii）由（i）的過程可知直線，聯(lián)立方程得
則有，故．
直線，同理可得．
故
，
則．
增
極大值
減
減
極小值
增
X
0
1
2
3
4
P

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