湖南省耒陽市第一中學等多校聯(lián)考2023-2024學年高一下學期期中考試數(shù)學試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習網(wǎng)

1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上．
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
4．本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第二冊第六章至第八章8.4．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 若復數(shù)z滿足，則z的虛部為（）
A. 14B. ―8C. D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)復數(shù)的加減運算得，由復數(shù)的概念可得結(jié)果.
【詳解】由題意得，則z的虛部為5．
故選：D.
2. （）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量的加法減法運算即可求解.
【詳解】原式．
故選：A.
3. 下列命題是真命題的是（）
A. 兩個四棱錐可以拼成一個四棱柱B. 正三棱錐的底面和側(cè)面都是等邊三角形
C. 經(jīng)過不共線的三個點的球有且只有一個D. 直棱柱的側(cè)面是矩形
【答案】D
【解析】
【分析】利用空間幾何體的結(jié)構(gòu)，依次分析選項即可得到答案.
【詳解】對于A，兩個四棱錐不一定可以拼成一個四棱柱，A錯誤．
對于B，正三棱錐的底面是等邊三角形，側(cè)面是等腰三角形，不一定是等邊三角形，B錯誤．
對于C，經(jīng)過不共線的三個點只能確定一個平面，經(jīng)過不共線的三個點的球有無數(shù)個，C錯誤．
對于D，直棱柱的側(cè)面是矩形，D正確．
故選：D
4. 下列向量組中，能作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的基底的是（）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】由平面向量基底的條件：不共線的非零向量，然后結(jié)合向量平行的坐標表示檢驗各選項.
【詳解】因為零向量不能作為基底，所以A錯誤．
因為，所以與共線，B錯誤．
因為，所以與不共線，可以作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的基底，C正確．
因為，所以與共線，D錯誤．
故選：C
5. 在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若，，，則（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析】先求角，再利用余弦定理可得答案.
【詳解】根據(jù)題意可得，
則，．
故選：B
6. 已知向量，滿足，，且在上的投影向量為，則向量與向量的夾角為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用給定的投影向量求出，再利用夾角公式計算即得.
【詳解】由在上的投影向量為，得，即，則，
由，得，因此，而，
所以．
故選：B
7. 用斜二測畫法畫梯形的直觀圖，如圖所示．已知，，則梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周形成的空間幾何體的側(cè)面積為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意，在直觀圖中，由梯形的性質(zhì)可得的長，將直觀圖還原為原圖，利用圓臺的側(cè)面積公式計算即可得答案.
【詳解】畫出梯形的原圖，如圖所示．
在直觀圖中，，，得，
則在原圖中，，，四邊形是直角梯形，
則四邊形OABC繞軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的空間幾何體是一個圓臺，
該圓臺的上底面半徑為2，下底面半徑為4，高為，
故該圓臺的母線長為，側(cè)面積為．
故選：A
8. 莫利定理，也稱為莫雷角三分線定理，是由英國數(shù)學家法蘭克·莫利于1899年左右發(fā)現(xiàn)的一個幾何定理．該定理的內(nèi)容如下：將任意三角形的三個內(nèi)角三等分，則靠近某邊的兩條三分角線相交得到3個交點，這樣的三個交點可以構(gòu)成一個等邊三角形．這個三角形常被稱作莫利正三角形．如圖，在等腰直角中，，，是的莫利正三角形，則的邊長為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查正弦定理的運用，首先在中，由正弦定理得，再求出，最后解出即可.
【詳解】由題意可得，
在中，，，，
由正弦定理得，
同理可得，，，
所以.
故選：C.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 在中，角A，B，C對邊分別為a，b，c．若，則A的大小可能為（）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用余弦定理和倍角公式得出或，結(jié)合角的范圍及函數(shù)值可得答案.
【詳解】依題可得，即，則或，
因，所以或或．
故選：ACD
10. 若復數(shù)，則下列命題是真命題的是（）
A.
B.
C.
D. 若z是關(guān)于x的方程（m，）的根，則
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)共軛復數(shù)的定義及復數(shù)乘法運算可判定A，根據(jù)復數(shù)乘法和除法運算可判定B，根據(jù)復數(shù)的模可判定C，根據(jù)方程的根及復數(shù)相等的條件可判定D.
【詳解】選項A：，，故A正確．
選項B：因為，所以，故B錯誤．
選項C：因為，，所以，故C正確．
選項D：若z是關(guān)于x的方程（m，）的根，則，
即，則，所以，故D正確．
故選：ACD.
11. 正方體的棱長為4，P，Q分別為棱，的中點，F(xiàn)為棱上的動點．設(shè)過點P，Q，F(xiàn)的平面截該正方體所得的截面為，則下列命題是真命題的是（）
A. 當時，為四邊形B. 當F與D重合時，為五邊形
C. 當時，的面積為D. 當時，為六邊形
【答案】AB
【解析】
【分析】通過作圖，找出截面，根據(jù)截面形狀可判定選項.
【詳解】當時，F(xiàn)與重合，如圖①所示，延長交的延長線于M，
連接PM交于N，連接QN，則為四邊形，A正確．
當F與D重合時，如圖②所示，延長DP交的延長線于G，連接GQ交于H，
延長GQ交延長線于T，連接DT交于I，連接QI，PH，則為五邊形PHQID，B正確．
當時，F(xiàn)為的中點，如圖③所示，連接，，
易得為矩形，，則的面積為，C錯誤．
當時，如圖④所示，延長PF交的延長線于R，連接RQ交于V，
延長RQ交的延長線于S，連接PS交于K，連接QK，F(xiàn)V，則為五邊形PFVQK，D錯誤．
故選：AB
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡中的橫線上．
12. 若（）在復平面內(nèi)所對應(yīng)的點在第一象限，則整數(shù)______．
【答案】1
【解析】
【分析】根據(jù)對應(yīng)的點所在象限列出限制條件得出答案.
【詳解】由題意可得解得．因為，所以．
故答案為: 1
13. 如圖，在正四棱錐中，，，一小蟲從頂點A出發(fā)，沿該棱錐的側(cè)面爬一圈回到點A，則小蟲走過的最短路線的長為______．
【答案】2
【解析】
【分析】畫出正四棱錐的側(cè)面展開圖，得到A，M，N，E共線時，小蟲走過的路線最短，最長最短距離.
【詳解】畫出正四棱錐的側(cè)面展開圖，如圖所示．
當A，M，N，E共線時，小蟲走過的路線最短，最短為的長．
因為，，所以，
則是邊長為2的等邊三角形，則，即小蟲走過的最短路線的長為2．
故答案為：2.
14. 在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．點M是的內(nèi)心．若，則的最小值為______，的最小值為______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】先由平面向量的數(shù)量積得，再結(jié)合余弦定理即可求出，于是由結(jié)合半角公式和誘導公式即可推出.
【詳解】由題可得，
則由余弦定理得，
整理得，
所以由余弦定理，當且僅當時，等號成立，
又，，，
因為點M是的內(nèi)心，故BM，CM分別為，的角平分線，
所以，
則，
因為，所以，即的最小值為.
故答案為：，.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 已知向量，滿足，，且與的夾角為．
（1）求及的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1），；
（2）．
【解析】
【分析】（1）由數(shù)量積的定義和模長的計算求出結(jié)果即可；
（2）由向量垂直時數(shù)量積為零和數(shù)量積的運算律求出結(jié)果即可.
【小問1詳解】
因為，，與的夾角為，
所以，
則
．
【小問2詳解】
由，得，
即，
得，
解得．
16. 在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，，．
（1）求a，c；
（2）若，求AD的長．
【答案】（1），；
（2）．
【解析】
【分析】（1）由同角的三角函數(shù)關(guān)系，正弦定理，余弦定理解出即可；
（2）方法一直接用余弦定理解出即可；方法二先由向量的線性運算得到，然后利用模長的計算結(jié)合數(shù)量積的定義式求出AD的長.
【小問1詳解】
在中，，
則．
由正弦定理得，解得．
由，解得或（舍去）．
【小問2詳解】

方法一．
因為，所以．
由余弦定理可得，
故，即AD的長為．
方法二．
因為，
所以，
所以
，
故，即AD的長為．
17. 如圖，在正四棱臺中，M，N，P，Q分別為棱AB，BC，，上的點．已知，，，，正四棱臺的高為6．

（1）證明：直線MQ，，NP相交于同一點．
（2）求正四棱臺挖去三棱臺后所得幾何體的體積．
【答案】（1）證明見解析；
（2）105.
【解析】
【分析】（1）作出輔助線，設(shè)MQ的延長線與的延長線交于點E，NP的延長線與的延長線交于點F．根據(jù)棱臺性質(zhì)得到，點E，F(xiàn)重合，從而證明出結(jié)論；
（2）求出正四棱臺的體積和三棱臺的體積，相減后得到答案.
【小問1詳解】
證明：在正四棱臺中，因為，，，，
所以四邊形，均為梯形，則直線MQ與必相交，NP與必相交．
延長MQ，，NP，設(shè)MQ的延長線與的延長線交于點E，NP的延長線與的延長線交于點F．
在正四棱臺中，，，

則，，
得，所以點E，F(xiàn)重合，
即直線MQ，，NP相交于同一點．
【小問2詳解】
正四棱臺的體積為．
由題意可得三棱臺的高為6，
則三棱臺的體積為．
故所求幾何體的體積為．
18. 如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，，，，，AD與BC交于點M．
（1）設(shè)，試用，表示，；
（2）E為線段BD上的一個動點，若的面積等于四邊形ABDC面積的一半，求此時的坐標．
【答案】（1），；
（2）．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)平面向量的基底運算及三點共線可求答案；
（2）先求四邊形的面積得出三角形的面積，得出，進而得到坐標.
【小問1詳解】
由題意可得，，
因為，，所以，
因為，，
所以，，，
所以．
．
設(shè)，，其中，．
因為，所以，
所以解得
故．
【小問2詳解】
因為四邊形ABDC的面積為，
所以的面積為3．
設(shè)，則，解得，
則．
19. 折紙是一項玩法多樣的活動．通過折疊紙張，可以創(chuàng)造出各種各樣的形狀和模型，如動物、花卉、船只等．折紙不僅是一種藝術(shù)形式，還蘊含了豐富的數(shù)學知識．在紙片中，A，B，C所對的邊分別為a，b，c，的面積為，．
（1）證明：．
（2）若，求的值．
（3）在（2）的條件下，若，D是AB的中點，現(xiàn)需要對紙片做一次折疊，使C點與D點重合，求折疊后紙片重疊部分的面積．
【答案】（1）證明見解析；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理和三角形面積公式可證結(jié)論；
（2）代入，利用和差角公式可得答案；
（3）先由余弦定理求出，再利用余弦定理求出，結(jié)合三角形面積公式可得答案.
【小問1詳解】
證明：由正弦定理可得，則．
【小問2詳解】
將代入，
得，
即，
所以，即．
【小問3詳解】
由余弦定理得，即，解得，
則．
設(shè)折痕為線段EF，其中E在BC上，F(xiàn)在AC上，設(shè)，，
則，，，．
在中，由余弦定理得，
解得．
在中，由余弦定理得，
解得．
重疊部分面積為的面積，．
因為，所以．
所以．

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