貴州省凱里市第一中學(xué)2024屆高三模擬考試（二模）數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

注意事項：
1.答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號在答題卡上填寫清楚.
2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.在試題卷上作答無效.
3.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回.滿分150分，考試用時120分鐘.
一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1. 若對任意，，則稱A為“影子關(guān)系”集合，下列集合為“影子關(guān)系”集合的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】對于ABC：舉反例說明即可；對于D：分局題意分析即可.
【詳解】對于選項A：因為，但，不符合題意，故A錯誤；
對于選項B：因為，但無意義，不符合題意，故B錯誤；
對于選項C：例如，但，不符合題意，故C錯誤，
對于選項D：對任意，均有，符合題意，故D正確；
故選：D.
2. 已知向量，，在方向上的投影向量為，則（）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合向量的數(shù)量積的運算，以及投影向量的計算方法，列出方程，即可求解.
【詳解】由向量，，可得且，
因為向量在方向上的投影向量為，可得，所以.
故選：B.
3. 直線與圓交于，兩點，若，則（）
A. 2B. 1C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先將圓的方程配成標準式，即可得到圓心坐標與半徑，由弦長可知直線過圓心，代入方程求出.
詳解】圓，
則圓的標準方程為，所以圓心，半徑，
，故直線過圓心，所以，解得.
故選：C.
4. 已知等比數(shù)列的前項和為，若，，則（）
A. 201B. 121C. 61D. 61或121
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)等比數(shù)列的基本量求解公比，再根據(jù)等比數(shù)列的前項和公式確定的取值.
【詳解】設(shè)的公比為，則，故；
當時，；
當時，，故排除A，B，C排除.
故選：D.
5. 平面過直三棱柱的頂點，平面平面，平面平面，且，，則與所成角的正弦值為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】將直三棱柱向上補一個直三棱柱，證得平面平面，得到平面即為平面，得出交線即為直線，結(jié)合為等邊三角形，即可求解.
【詳解】如圖所示，將直三棱柱向上補一個全等的直三棱柱，
則，，
因為平面，平面，且平面，平面，
所以平面，且平面，
又因為，且平面，
所以平面平面，且平面，故平面即平面，
所以交線即為直線，
因為，則與所成角為，
設(shè)，則，，可得，
所以為等邊三角形，所以，所以
即與所成角的正弦值為.
故選：A.

6. 貴州有很多旅游景點，值得推薦的景區(qū)是“黃小西吃晚飯”.“黃小西”分別指黃果樹、荔波小七孔和西江千戶苗寨，“吃晚飯”分別代表其諧音對應(yīng)的三個景區(qū)：赤水國家級風(fēng)景名勝區(qū)、萬峰林和梵凈山.現(xiàn)有甲、乙兩位游客慕名來到貴州，都準備從上面6個著名旅游景點中隨機選擇一個游玩.設(shè)事件為“甲和乙至少一人選擇黃果樹”，事件為“甲和乙選擇的景點不同”，則（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)條件概率公式結(jié)合古典概型運算公式求解即可得結(jié)論.
【詳解】由題意，兩位游客從6個著名旅游景點中隨機選擇一個游玩，共有種，
其中事件的情況有種，事件和事件共同發(fā)生的情況有種，
所以，，
所以.
故選：D.
7. 已知，且，，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】找出和的關(guān)系，求出和即可求解.
【詳解】，
，
①，，，
②，由①②解得或，
，，
，.
故選：C.
8. 已知正實數(shù)，滿足，則的最大值為（）
A. 0B. C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)等式關(guān)系構(gòu)造函數(shù)，由其單調(diào)性可得，于是結(jié)合基本不等式可得的最大值.
【詳解】由題，構(gòu)造函數(shù)，則，
顯然在上單調(diào)遞增，所以，即，
所以，當且僅當，時等號成立.
所以的最大值為0.
故選：A.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，它的應(yīng)用貫穿于整個高中數(shù)學(xué)的教學(xué)之中.某些數(shù)學(xué)問題從表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān)，但如果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，那么運用函數(shù)的單調(diào)性解題，能起到化難為易、化繁為簡的作用.因此對函數(shù)的單調(diào)性進行全面、準確的認識，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的.根據(jù)題目的特點，構(gòu)造一個適當?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.
二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多個選項是符合題目要求的，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）
9. 在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知，且，則（）
A. ，，成等比數(shù)列B.
C. ，，成等差數(shù)列D. 若，則
【答案】AD
【解析】
【分析】根據(jù)正弦定理角化邊化簡已知，并結(jié)合等比數(shù)列的定義可判斷A；由正弦定理的邊角轉(zhuǎn)化與三角形角度關(guān)系即可判斷B；假設(shè)，，成等差數(shù)列，得，結(jié)合余弦定理可判斷C；由邊之間的關(guān)系確定三邊長度，再利用平方關(guān)系求，利用面積公式可得三角形面積，即可判斷D.
【詳解】，由正弦定理可得，且，則，，成等比數(shù)列，故正確；
將，利用正弦定理化簡得：，即，
，利用正弦定理化簡得：，，，
，故B錯誤；
若，，成等差數(shù)列，則，且，可得，
則由余弦定理可得，故C錯誤；
若，可得，，則，由，可得，所以，故D正確.
故選：AD.
10. 某學(xué)校為了解學(xué)生身高（單位：cm）情況，采用分層隨機抽樣的方法從4000名學(xué)生（該校男女生人數(shù)之比為）中抽取了一個容量為100的樣本.其中，男生平均身高為175，方差為184，女生平均身高為160，方差為179.則下列說法正確的是參考公式：總體分為2層，各層抽取的樣本量、樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：，，，，，.記總的樣本平均數(shù)為，樣本方差為，則（）
參考公式：
A. 抽取的樣本里男生有60人
B. 每一位學(xué)生被抽中的可能性為
C. 估計該學(xué)校學(xué)生身高的平均值為170
D. 估計該學(xué)校學(xué)生身高的方差為236
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)分層抽樣的公式，以及利用每層樣本的平均數(shù)和方差公式，代入總體的均值和方差公式，即可判斷選項.
【詳解】對于項，抽取的樣本里男生有人，所以A項正確；
對于B項，由題可知，每一位學(xué)生被抽中的可能性為，所以B項正確；
對于C項，估計該學(xué)校學(xué)生身高的平均值為，所以C項錯誤；
對于D，估計該學(xué)校學(xué)生身高的方差為，所以D項正確.
故選：ABD
11. 定義在上的函數(shù)滿足，且函數(shù)關(guān)于點對稱，則下列說法正確的是（）
A. 函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱B. 4是函數(shù)的一個周期
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的對稱性、周期性逐項判斷即可得結(jié)論.
【詳解】函數(shù)關(guān)于點對稱，
，即，
函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，A正確：
，令，則，
，故，B錯誤：
設(shè)，則，
的圖象關(guān)于點對稱，
①，
，
的圖象關(guān)于直線對稱，
②，
由①②可得：，則，，
的一個周期為4，
又可得，，即，
，C正確；
，
，則D正確.
故選：ACD.
【點睛】結(jié)論點睛：本題考查抽象函數(shù)的對稱性與周期性，一般可根據(jù)如下規(guī)則判斷：
（1）若對任意的實數(shù)，滿足，則函數(shù)的周期為；
（2）若對任意的實數(shù)，滿足，則函數(shù)關(guān)于直線對稱；
（3）若對任意的實數(shù)，滿足，則函數(shù)關(guān)于點對稱．
三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）
12. 已知復(fù)數(shù)，則________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算化簡復(fù)數(shù)，可得共軛復(fù)數(shù)，從而求得其模長.
【詳解】由，則，則，
所以.
故答案為：.
13. 已知一個圓錐的底面半徑為4，用一個平行于該圓錐底面的平面截圓錐，若截得的小圓錐的底面半徑為2，則截得的小圓錐的側(cè)面積與截得的圓臺的側(cè)面積之比為________.
【答案】##
【解析】
【分析】設(shè)出小圓錐的母線長，利用三角形的相似確定大圓錐的母線長，利用圓錐的側(cè)面積公式，即可求得答案.
【詳解】如圖所示，，，設(shè)，
由∽，得，
故截得的小圓錐的側(cè)面積為，
截得的圓臺的側(cè)面積為，
，故截得小圓錐的側(cè)面積與截得的圓臺的側(cè)面積之比為.
故答案為：
14. 已知雙曲線的左、右焦點分別為，，為坐標原點，雙曲線的離心率為2，過作直線的垂線，垂足為，與雙曲線右支和軸的交點分別為，，則________；的內(nèi)切圓在邊上的切點為，若雙曲線的虛軸長為，則________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由離心率可得直線為雙曲線的一條漸近線，作于，利用點到直線距離結(jié)合對稱性求出；利用圓的切線性質(zhì)，結(jié)合雙曲線定義推理計算得解.
【詳解】由，得，則直線是雙曲線的一條漸近線，
過作直線的垂線，垂足為，點，顯然直線方程為，
則，，而，則，
在中，；

設(shè)在邊，的切點分別為，，而，即，，
如圖，則，，，由雙曲線的對稱性知，
則，
由雙曲線的定義知：，
所以.

故答案為：；
【點睛】易錯點睛：雙曲線(a>0,b>0)的漸近線方程為，而雙曲線(a>0,b>0)的漸近線方程為(即)，應(yīng)注意其區(qū)別與聯(lián)系.
四、解答題（共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
15. 在科技飛速發(fā)展的今天，人工智能領(lǐng)域迎來革命性的突破.類似于OpenAI的人工智能大模型不僅具有高度智能化、自主化和自適應(yīng)的特點，它們的學(xué)習(xí)能力和信息儲存能力也遠遠超越人類，更是擁有強大的語音識別和語言理解能力.某機構(gòu)分別用，兩種人工智能大模型進行對比研究，檢驗這兩種大模型在答題時哪種更可靠，從某知識領(lǐng)域隨機選取180個問題進行分組回答，其中人工智能大模型回答100個問題，有90個正確；人工智能大模型回答剩下的80個問題，有65個正確.
（1）完成下列列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否判斷人工智能大模型的選擇和回答正確有關(guān)？
（2）將頻率視為概率，用人工智能大模型回答該知識領(lǐng)域的3道題目，且各題回答正確與否，相互之間沒有影響，設(shè)回答題目正確的個數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
參考公式及參考數(shù)據(jù)：，.
【答案】（1）列聯(lián)表見解析，可以判斷人工智能大模型選擇和回答正確有關(guān)
（2）分布列見解析，
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，得到的列聯(lián)表，利用公式求得，結(jié)合附表，即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)題意，得到隨機變量，求得相應(yīng)的概率，列出分布列，利用期望的公式，即可求解.
【小問1詳解】
解：根據(jù)題意可得列聯(lián)表如下表所示：
零假設(shè)：人工智能大模型的選擇和回答正確無關(guān).
故可得：，
故根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，
故可以判斷人工智能大模型的選擇和回答正確有關(guān).
【小問2詳解】
解：由題意知，人工智能大模型回答題目正確的概率為，
所以隨機變量，
所以，，
，.
故的分布列如下所示：
所以期望為.
16. 已知函數(shù)在處的切線為軸.
（1）求實數(shù)的值；
（2）若，證明：.
【答案】（1）2 （2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的幾何意義即可列方程求得的值；
（2）利用導(dǎo)函數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，由可得，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性即可證得結(jié)論.
【小問1詳解】
由題可得，，
，
.
【小問2詳解】
證明：由（1）可知：，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當時，，
，，，
，即，
，
.
17. 如圖，在四棱臺中，為的中點，.
（1）證明：平面；
（2）若平面平面，，當四棱錐的體積最大時，求與平面夾角的正弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)由棱臺定義和幾何結(jié)構(gòu)特征，證得四邊形為平行四邊形，得到，結(jié)合線面平行的判定定理，即可證得平面；
（2）根據(jù)題意，證得平面，得到為四棱錐的高，此時點與重合，四棱錐取最大值，建立空間直角坐標系，求得，以及平面的法向量，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.
小問1詳解】
由棱臺定義，可得的延長線必定交于一點，
在中，因為，所以為的中位線，所以.
又因為，則，且，
所以四邊形為平行四邊形，可得，
因為平面，且平面，所以平面.
【小問2詳解】
解：由平面平面，過點作，
因為平面平面，平面，
所以平面，即為四棱錐的高，
由，則在直角中，，
當且僅當時成立，
此時點與重合，此時，四棱錐取最大值
如圖所示，以為原點，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，
可得，，，，，
則，，，
設(shè)平面的一個法向量為，則，
取，可得，所以，
設(shè)直線與平面所成的角為，
則，
所以與平面夾角的正弦值為.
.
18. 已知拋物線的焦點為，，，為上不重合的三點.
（1）若，求的值；
（2）過，兩點分別作的切線，，與相交于點，過，兩點分別作，的垂線，，與相交于點.
（i）若，求面積的最大值；
（ii）若直線過點，求點的軌跡方程.
【答案】（1）3 （2）（i）8；（ii）
【解析】
【分析】（1）設(shè)，，，根據(jù)向量的坐標運算即可得，再根據(jù)拋物線的定義即可得結(jié)論；
（2）（i）設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立直線與拋物線得交點坐標關(guān)系，再求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線斜率，即可得切線方程，從而可得切線的交點坐標，根據(jù)三角形面積公式列關(guān)系求解即可；（ii）利用直線相交、直線過定點即可得點的軌跡方程.
【小問1詳解】
依題意，，
設(shè)，，，
由得，，
即，
由拋物線定義得，.
【小問2詳解】
（i）顯然，直線的斜率不為0，
可設(shè)直線的方程為，，，
由得：，
，，.
，則，，
切線的方程為，
同理，切線的方程為，
聯(lián)立兩直線方程，解得，即，
則點到直線的距離為，
由，
化簡得：，
，當且僅當時取等號，
面積的最大值為8.
（ii）若直線過點，由（i），可以設(shè)直線的方程為，
，.
直線的方程為，
同理，直線的方程為.
聯(lián)立兩直線方程，解得，
整理后可得消去得：，
點的軌跡方程為.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查了拋物線的定義、直線與拋物線的位置關(guān)系、三角形面積問題最值問題.解決問題的關(guān)鍵是確定直線與拋物線交點坐標關(guān)系，并將題中幾何性質(zhì)轉(zhuǎn)化為交點坐標關(guān)系，另外在求拋物線的切線可以考慮利用導(dǎo)數(shù)來求解切線斜率.
19. 一般地，個有序?qū)崝?shù)，，，組成的數(shù)組，稱為維向量，記為.類似二維向量，對于維向量，也可以定義向量的加法運算、減法運算、數(shù)乘運算、數(shù)量積運算、向量的長度（模）、兩點間的距離等，如，則；若存在不全為零的個實數(shù)，，，使得，則向量組，，，是線性相關(guān)的向量組，否則，說向量組，，，是線性無關(guān)的.
（1）判斷向量組，，是否線性相關(guān)？
（2）若，，，當且時，證明：.
【答案】（1）是線性相關(guān)
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）利用維向量的線性相關(guān)的判定方法，結(jié)合向量加法和向量相等的坐標運算法則就可作出判斷；
（2）利用維向量的模的計算公式，結(jié)合常用的對數(shù)函數(shù)不等式，令，就可以得到不等式，再結(jié)合平方放縮得到不等式，然后利用裂項相消法求和，從而問題就可以得到證.
【小問1詳解】
設(shè)存在不全為零的個實數(shù)，，使得
則，即，
由①②消去得:，由①③消去得:，
則該方程有無數(shù)組解，所以不妨取，則，，
，即向量組，，是線性相關(guān)的.
【小問2詳解】
證明：，，，
，
先證：，，
設(shè)，，則，
在上單調(diào)遞增，當時，，
即，
，.
同理可證：，.
，
，
.
當且時，
.
綜上可得，當且時，.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：
（1）第一問解決的關(guān)鍵是利用類比法，類比平面向量的坐標運算法則，運用到維向量的加法、數(shù)乘和模的運算；
（2）第二問解決的關(guān)鍵就是要熟悉運用對數(shù)函數(shù)不等式，結(jié)合數(shù)列不等式的放縮求和思想來進行證明.回答正確
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人工智能大模型
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