凱里一中2018屆《黃金卷》第二套模擬考試文科數(shù)學試卷第I卷(選擇題 共60分)一、選擇題（本大題共12個小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知為虛數(shù)單位，則（  ）A.     B.     C.     D. 8【答案】A【解析】，故選A.2.已知，，則（  ）A.     B.     C.     D. 【答案】C【解析】 ， ，故選C.3.已知向量與的夾角為，且，，則（  ）A. 3    B. 4    C. 6    D. 8【答案】C【解析】，故選C.4.點到直線的距離是（  ）A. 1    B. 2    C.     D. 6【答案】B【解析】由得， ，故選B.5.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體中最短棱和最長棱所在直線所成角的余弦值為（  ）A.     B.     C.     D. 【答案】D【解析】如圖所示，該三視圖對應的直觀圖為四棱錐，由圖可知最長棱為，，都是最短棱，由兩條異面直線所成的角的定義知：與所成的角相等，與所成的角相等，均等于，且，在中，，故選D.【方法點睛】本題利用空間幾何體的三視圖重點考查學生的空間想象能力和抽象思維能力，屬于難題.三視圖問題是考查學生空間想象能力最常見題型，也是高考熱點.觀察三視圖并將其“翻譯”成直觀圖是解題的關(guān)鍵，不但要注意三視圖的三要素“高平齊，長對正，寬相等”，還要特別注意實線與虛線以及相同圖形的不同位置對幾何體直觀圖的影響，對簡單組合體三視圖問題，先看俯視圖確定底面的形狀，根據(jù)正視圖和側(cè)視圖，確定組合體的形狀.6.已知，，，則、、的大小關(guān)系是（  ）A.     B.     C.     D. 【答案】D【解析】因為冪函數(shù) 在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，故選D.【 方法點睛】本題主要考查冪函數(shù)單調(diào)性、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及比較大小問題，屬于中檔題. 解答比較大小問題，常見思路有兩個：一是判斷出各個數(shù)值所在區(qū)間（一般是看三個區(qū)間 ）；二是利用函數(shù)的單調(diào)性直接解答；數(shù)值比較多的比大小問題也可以兩種方法綜合應用.7.若函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，則的一個值為（  ）A.     B.     C.     D. 【答案】B【解析】 ，由于為偶函數(shù)，則，， ，故選B.8.已知拋物線的焦點是橢圓（）的一個焦點，且該拋物線的準線與橢圓相交于、兩點，若是正三角形，則橢圓的離心率為（  ）A.     B.     C.     D. 【答案】C【解析】由題知線段是橢圓的通徑，線段與軸的交點是橢圓的下焦點，且橢圓的，又，，由橢圓定義知，故選C.9.中國傳統(tǒng)數(shù)學中許多著名的“術(shù)”都是典型的算法.如南宋秦九韶的“大衍總數(shù)術(shù)”就是一次剩余定理問題的算法，是聞名中外的“中國剩余定理”.若正整數(shù)除以正整數(shù)后的余數(shù)為，則記為（），例如.我國南北朝時代名著《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問題：“今有物，不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩問物幾何?”就可以用源于“中國剩余定理”思想的算法解決.執(zhí)行如圖的程序框圖，則輸出的（  ）A. 16    B. 18    C. 23    D. 28【答案】D【解析】該程序框圖的功能是求滿足下列條件的正整數(shù)：①被除余數(shù)為；②被除余數(shù)為；③被除余數(shù)為，結(jié)合四個選項，符合題意的正整數(shù)只有，故選D.10.設、，已知，，且（，），則的最大值是（  ）A. 1    B. 2    C.     D. 【答案】A【解析】， ，當且僅當時取等號，故選A.11.圖是棱長為2的正八面體（八個面都是全等的等邊三角形），球是該正八面體的內(nèi)切球，則球的表面積為（  ）A.     B.     C.     D. 【答案】A【解析】如圖所示，設已知的正八面體為，可知平面于球心，且點為正方形的中心，設球與正四棱錐的側(cè)面相切于點，連接并延長，交于點，可知為的中點，連接，則 ，由，得，即正八面體內(nèi)切球的半徑為，所以內(nèi)切球的表面積為，故選A.12.已知函數(shù)，函數(shù)有4個零點，則實數(shù)的取值范圍是（  ）A.     B.     C.     D. 【答案】B【解析】令得，函數(shù)有個零點，即函數(shù)與函數(shù)圖象有個交點，當時，，設是的切線，切點為，，解之得，當時，，故函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，作出函數(shù)的圖象，如圖，由圖知，當時，函數(shù)與函數(shù)圖象有個交點，函數(shù)有個零點，，故選B.【方法點睛】本題主要考查分段函數(shù)的圖象與性質(zhì)、導數(shù)的幾何意義以及數(shù)形結(jié)合思想的應用，屬于難題. 數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對應關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學問題的一種重要思想方法，.函數(shù)圖象是函數(shù)的一種表達形式，它形象地揭示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究函數(shù)的數(shù)量關(guān)系提供了“形”的直觀性．歸納起來，圖象的應用常見的命題探究角度有：1、確定方程根的個數(shù)；2、求參數(shù)的取值范圍；3、求不等式的解集；4、研究函數(shù)性質(zhì)．第Ⅱ卷 二、填空題：（本題共4小題每題5分，共20分）13.已知、滿足約束條件，則目標函數(shù)的最大值與最小值之和為__________．【答案】 【解析】如圖所示，作出線性約束條件滿足的平面區(qū)域是三角形內(nèi)部包括邊界，當直線與直線重合時，目標函數(shù)取得最大值，當直線經(jīng)過可行域中的點時，目標函數(shù)取到最小值的最大值與最小值之和為，故答案為.【方法點晴】本題主要考查線性規(guī)劃中利用可行域求目標函數(shù)的最值，屬簡單題.求目標函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實線還是虛線）；（2）找到目標函數(shù)對應的最優(yōu)解對應點（在可行域內(nèi)平移變形后的目標函數(shù)，最先通過或最后通過的頂點就是最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐標代入目標函數(shù)求出最值.14.已知、、是的三個內(nèi)角，且，，則__________．【答案】【解析】，，得，因此，故答案為.15.過雙曲線的焦點與雙曲線實軸垂直的直線被雙曲線截得的線段的長稱為雙曲線的通徑，其長等于(、分別為雙曲線的實半軸長與虛半軸長).已知雙曲線（）的左、右焦點分別為、，若點是雙曲線上位于第四象限的任意一點，直線是雙曲線的經(jīng)過第二、四象限的漸近線，于點，且的最小值為3，則雙曲線的通徑為__________.【答案】【解析】如圖所示，連接，由雙曲線的定義知 ，當且僅當三點共線時取得最小值，此時，由到直線的距離，，由定義知通徑等于，故答案為.16.已知是定義在上的奇函數(shù)，是的導函數(shù)，當時，，若，則實數(shù)的取值范圍是__________．【答案】或【解析】時，，而，故在上為減函數(shù)，又在上為奇函數(shù)，故為偶函數(shù)，當時，為增函數(shù)，由，根據(jù)單調(diào)性和奇偶性可得，解得，或者取值范圍是或，故答案為或.三、解答題(共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.已知數(shù)列滿足，且.（Ⅰ）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（Ⅱ）數(shù)列滿足，判斷數(shù)列的前項和與的大小關(guān)系，并說明理由.【答案】（I）證明見解析；（II）.【解析】試題分析：（Ⅰ）由可得，所以數(shù)列是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，即.故,根據(jù)裂項相消法結(jié)合放縮法可得.試題解析：（Ⅰ）由題意可得，即，又，故數(shù)列是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列；           （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，即.故,∴，故.18.2018年中央電視臺春節(jié)聯(lián)歡晚會分會場之一落戶黔東南州黎平縣肇興侗寨，黔東南州某中學高二社會實踐小組就社區(qū)群眾春晚節(jié)目的關(guān)注度進行了調(diào)查，隨機抽取80名群眾進行調(diào)查，將他們的年齡分成6段：,,,，，，得到如圖所示的頻率分布直方圖.問：（Ⅰ）求這80名群眾年齡的中位數(shù)；（Ⅱ）若用分層抽樣的方法從年齡在中的群眾隨機抽取6名，并從這6名群眾中選派3人外出宣傳黔東南，求選派的3名群眾年齡在的概率.【答案】（I）；（II）.【解析】試題分析：（Ⅰ）設名群眾年齡的中位數(shù)為，則，解得，從而可得這名群眾年齡的中位數(shù)；（Ⅱ）按分層抽樣的方法隨機抽取年齡在的群眾人，年齡在的群眾人，利用列舉法可得人抽取三人的事件數(shù)為，其中選派的3名群眾年齡都在的基本事件有個，根據(jù)古典概型概率公式可得結(jié)果.試題解析：（Ⅰ）設80名群眾年齡的中位數(shù)為，則，解得，即80名群眾年齡的中位數(shù)55． （Ⅱ）由已知得，年齡在中的群眾有人， 年齡在的群眾有人， 按分層抽樣的方法隨機抽取年齡在的群眾人，記為1，2；隨機抽取年齡在的群眾人， 記為.則基本事件有：， 共20個，參加座談的導游中有3名群眾年齡都在的基本事件有： 共4個，設事件為“從這6名群眾中選派3人外出宣傳黔東南，選派的3名群眾年齡都在”，則.  【方法點睛】本題主要考查直方圖的應用以及古典概型概率公式的應用，屬于難題，利用古典概型概率公式求概率時，找準基本事件個數(shù)是解題的關(guān)鍵，基本亊件的探求方法有 (1)枚舉法：適合給定的基本事件個數(shù)較少且易一一列舉出的；(2)樹狀圖法：適合于較為復雜的問題中的基本亊件的探求.在找基本事件個數(shù)時，一定要按順序逐個寫出：先，…. ，再，…..依次 ….… 這樣才能避免多寫、漏寫現(xiàn)象的發(fā)生.19.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，,. （Ⅰ）若是的中點，求證：平面；（Ⅱ）若，，求三棱錐的高.【答案】（1）見解析； （2） .【解析】試題分析：（Ⅰ）連接交于,連接.在三角形中,中位線 ,且平面,平面,∴平面；（Ⅱ）由,可得與底面垂直，在中，設的中點為，連接，則是三棱柱的高，計算出三角形與面積，利用可求得點到平面的距離為.試題解析：（Ⅰ）連接交于,連接.在三角形中,中位線 ,且平面,平面,∴平面.（Ⅱ）在中，設的中點為，連接，則，又，∴,又∵，∴，∴ ，解得.所以點到平面的距離為：.【方法點晴】本題主要考查線面平行的判定定理、利用等積變換求三棱錐的高，屬于中檔題.證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個定理的關(guān)鍵是設法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質(zhì)，即兩平面平行，在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面. 本題（1）是就是利用方法①證明的.20.已知拋物線的焦點曲線的一個焦點，為坐標原點，點為拋物線上任意一點，過點作軸的平行線交拋物線的準線于，直線交拋物線于點.（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）求證：直線過定點，并求出此定點的坐標.【答案】（I）；（II）證明見解析.【解析】試題分析：（Ⅰ）將曲線化為標準方程，可求得的焦點坐標分別為，可得，所以，即拋物線的方程為；（Ⅱ）結(jié)合（Ⅰ），可設，得，從而直線的方程為,聯(lián)立直線與拋物線方程得，解得，直線的方程為，整理得的方程為，此時直線恒過定點.試題解析：（Ⅰ）由曲線，化為標準方程可得， 所以曲線是焦點在軸上的雙曲線，其中，故， 的焦點坐標分別為，因為拋物線的焦點坐標為，由題意知，所以，即拋物線的方程為.（Ⅱ）由（Ⅰ）知拋物線的準線方程為，設，顯然.故，從而直線的方程為,聯(lián)立直線與拋物線方程得，解得①當，即時，直線的方程為， ②當，即時，直線的方程為，整理得的方程為，此時直線恒過定點，也在直線的方程為上，故直線的方程恒過定點.21.已知函數(shù)，（Ⅰ）當時，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（Ⅱ）若時，關(guān)于的不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（Ⅲ）若數(shù)列滿足，，記的前項和為，求證：.【答案】（I）；（II）；（III）證明見解析.【解析】試題分析：（Ⅰ）求出，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（Ⅱ）當時，因為，所以顯然不成立，先證明因此時，在上恒成立，再證明當時不滿足題意，從而可得結(jié)果；（III）先求出等差數(shù)列的前項和為，結(jié)合（II）可得，各式相加即可得結(jié)論.試題解析：（Ⅰ）由，得.所以 令，解得或（舍去），所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為 .（Ⅱ）由得，當時，因為，所以顯然不成立，因此.令，則，令，得.當時，，，∴，所以，即有.因此時，在上恒成立. ②當時，，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，∴，不滿足題意.綜上，不等式在上恒成立時，實數(shù)的取值范圍是.（III）證明：由知數(shù)列是的等差數(shù)列，所以所以由（Ⅱ）得，在上恒成立.所以.    將以上各式左右兩邊分別相加，得.因為所以所以.請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.選修4-4：坐標系與參數(shù)方程22.已知直線， (為參數(shù)，為傾斜角).以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的直角坐標方程為.（1）將曲線的直角坐標方程化為極坐標方程；（2）設點的直角坐標為，直線與曲線的交點為、，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】試題分析：（Ⅰ）將由代入，化簡即可得到曲線的極坐標方程；（Ⅱ）將的參數(shù)方程代入，得，根據(jù)直線參數(shù)方程的幾何意義，利用韋達定理結(jié)合輔助角公式，由三角函數(shù)的有界性可得結(jié)果.試題解析：（Ⅰ）由及，得，即所以曲線的極坐標方程為（II）將的參數(shù)方程代入，得∴,    所以，又，所以，且,所以,由，得，所以.故的取值范圍是.選修4-5：不等式選講23.已知、、均為正實數(shù).（Ⅰ）若，求證：（Ⅱ）若，求證：【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ)證明見解析.【解析】試題分析：（Ⅰ）先證明，再證明，從而可得結(jié)果；（Ⅱ）由，，∴， ∴.試題解析：（Ⅰ）∵，三式相加可得 ∴,.又均為正整數(shù)，∴成立． （Ⅱ）：，，∴， ∴,當且僅當，即時，“=”成立.

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