(1)如圖1，當(dāng)點E在線段 SKIPIF 1 < 0 上時，求證：D是 SKIPIF 1 < 0 的中點；
(2)如圖2，若在線段 SKIPIF 1 < 0 上存在點F（不與點B，M重合）滿足 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直接寫出 SKIPIF 1 < 0 的大小，并證明．
2.(2022·重慶市B卷)在中，，，為的中點，，分別為，上任意一點，連接，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，．
如圖，點與點重合，且的延長線過點，若點為的中點，連接，求的長；
如圖，的延長線交于點，點在上，且，求證：；
如圖，為線段上一動點，為的中點，連接，為直線上一動點，連接，將沿翻折至所在平面內(nèi)，得到，連接，直接寫出線段的長度的最小值．
3.（2023·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）如圖1，一大一小兩個等腰直角三角形疊放在一起， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分別是斜邊 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中點， SKIPIF 1 < 0 ．

(1)將 SKIPIF 1 < 0 繞頂點 SKIPIF 1 < 0 旋轉(zhuǎn)一周，請直接寫出點 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 距離的最大值和最小值；
(2)將 SKIPIF 1 < 0 繞頂點 SKIPIF 1 < 0 逆時針旋轉(zhuǎn) SKIPIF 1 < 0 （如圖 SKIPIF 1 < 0 ），求 SKIPIF 1 < 0 的長．
4.（湖南省郴州市2021年中考數(shù)學(xué)試卷）如圖1，在等腰直角三角形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ．點 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中點， SKIPIF 1 < 0 為線段 SKIPIF 1 < 0 上一動點（不與點 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 重合），將線段 SKIPIF 1 < 0 繞點 SKIPIF 1 < 0 逆時針方向旋轉(zhuǎn) SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）證明： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）如圖2，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點 SKIPIF 1 < 0 ．
①證明：在點 SKIPIF 1 < 0 的運動過程中，總有 SKIPIF 1 < 0 ；
②若 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 的長度為多少時， SKIPIF 1 < 0 為等腰三角形？
5．（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，點 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中點，點 SKIPIF 1 < 0 在直線 SKIPIF 1 < 0 上（不與點 SKIPIF 1 < 0 重合），連接 SKIPIF 1 < 0 ，線段 SKIPIF 1 < 0 繞點 SKIPIF 1 < 0 逆時針旋轉(zhuǎn) SKIPIF 1 < 0 ，得到線段 SKIPIF 1 < 0 ，過點 SKIPIF 1 < 0 作直線 SKIPIF 1 < 0 ，過點 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足為點 SKIPIF 1 < 0 ，直線 SKIPIF 1 < 0 交直線 SKIPIF 1 < 0 于點 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)如圖，當(dāng)點 SKIPIF 1 < 0 與點 SKIPIF 1 < 0 重合時，請直接寫出線段 SKIPIF 1 < 0 與線段 SKIPIF 1 < 0 的數(shù)量關(guān)系；
(2)如圖，當(dāng)點 SKIPIF 1 < 0 在線段 SKIPIF 1 < 0 上時，求證： SKIPIF 1 < 0 ；
(3)連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的面積記為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的面積記為 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，請直接寫出 SKIPIF 1 < 0 的值．
6.（2021·四川中考真題）在等腰 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，點 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 邊上一點（不與點 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 重合），連結(jié) SKIPIF 1 < 0 ．
（1）如圖1，若 SKIPIF 1 < 0 ，點 SKIPIF 1 < 0 關(guān)于直線 SKIPIF 1 < 0 的對稱點為點 SKIPIF 1 < 0 ，結(jié) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ________；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，將線段 SKIPIF 1 < 0 繞點 SKIPIF 1 < 0 順時針旋轉(zhuǎn) SKIPIF 1 < 0 得到線段 SKIPIF 1 < 0 ，連結(jié) SKIPIF 1 < 0 ．
①在圖2中補全圖形；
②探究 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（3）如圖3，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，試探究 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明．
7．（2023·四川樂山·統(tǒng)考中考真題）在學(xué)習(xí)完《圖形的旋轉(zhuǎn)》后，劉老師帶領(lǐng)學(xué)生開展了一次數(shù)學(xué)探究活動
【問題情境】
劉老師先引導(dǎo)學(xué)生回顧了華東師大版教材七年級下冊第 SKIPIF 1 < 0 頁“探索”部分內(nèi)容：
如圖，將一個三角形紙板 SKIPIF 1 < 0 繞點 SKIPIF 1 < 0 逆時針旋轉(zhuǎn) SKIPIF 1 < 0 到達(dá) SKIPIF 1 < 0 的位置，那么可以得到： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （ ）

劉老師進(jìn)一步談到：圖形的旋轉(zhuǎn)蘊含于自然界的運動變化規(guī)律中，即“變”中蘊含著“不變”，這是我們解決圖形旋轉(zhuǎn)的關(guān)鍵；故數(shù)學(xué)就是一門哲學(xué)．
【問題解決】
（1）上述問題情境中“（ ）”處應(yīng)填理由：____________________；
（2）如圖，小王將一個半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，圓心角為 SKIPIF 1 < 0 的扇形紙板 SKIPIF 1 < 0 繞點 SKIPIF 1 < 0 逆時針旋轉(zhuǎn) SKIPIF 1 < 0 到達(dá)扇形紙板 SKIPIF 1 < 0 的位置．

①請在圖中作出點 SKIPIF 1 < 0 ；
②如果 SKIPIF 1 < 0 ，則在旋轉(zhuǎn)過程中，點 SKIPIF 1 < 0 經(jīng)過的路徑長為__________；
【問題拓展】
小李突發(fā)奇想，將與（2）中完全相同的兩個扇形紙板重疊，一個固定在墻上，使得一邊位于水平位置，另一個在弧的中點處固定，然后放開紙板，使其擺動到豎直位置時靜止，此時，兩個紙板重疊部分的面積是多少呢？如圖所示，請你幫助小李解決這個問題．

8.（2021·浙江嘉興市·中考真題）小王在學(xué)習(xí)浙教版九上課本第72頁例2后，進(jìn)一步開展探究活動：將一個矩形 SKIPIF 1 < 0 繞點 SKIPIF 1 < 0 順時針旋轉(zhuǎn) SKIPIF 1 < 0 ，得到矩形 SKIPIF 1 < 0
[探究1]如圖1，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，點 SKIPIF 1 < 0 恰好在 SKIPIF 1 < 0 延長線上．若 SKIPIF 1 < 0 ，求BC的長．
[探究2]如圖2，連結(jié) SKIPIF 1 < 0 ，過點 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點 SKIPIF 1 < 0 ．線段 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 相等嗎？請說明理由．
[探究3]在探究2的條件下，射線 SKIPIF 1 < 0 分別交 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于點 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （如圖3）， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 存在一定的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．
9．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考中考真題）在平行四邊形 SKIPIF 1 < 0 中（頂點 SKIPIF 1 < 0 按逆時針方向排列）， SKIPIF 1 < 0 為銳角，且 SKIPIF 1 < 0 ．

(1)如圖1，求 SKIPIF 1 < 0 邊上的高 SKIPIF 1 < 0 的長．
(2) SKIPIF 1 < 0 是邊 SKIPIF 1 < 0 上的一動點，點 SKIPIF 1 < 0 同時繞點 SKIPIF 1 < 0 按逆時針方向旋轉(zhuǎn) SKIPIF 1 < 0 得點 SKIPIF 1 < 0 ．
①如圖2，當(dāng)點 SKIPIF 1 < 0 落在射線 SKIPIF 1 < 0 上時，求 SKIPIF 1 < 0 的長．
②當(dāng) SKIPIF 1 < 0 是直角三角形時，求 SKIPIF 1 < 0 的長．
10.（2021·浙江中考真題）如圖，在菱形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是銳角，E是 SKIPIF 1 < 0 邊上的動點，將射線 SKIPIF 1 < 0 繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，交直線 SKIPIF 1 < 0 于點F．
（1）當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，
①求證： SKIPIF 1 < 0 ；
②連結(jié) SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，延長 SKIPIF 1 < 0 交射線 SKIPIF 1 < 0 于點M，延長 SKIPIF 1 < 0 交射線 SKIPIF 1 < 0 于點N，連結(jié) SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，則當(dāng) SKIPIF 1 < 0 為何值時， SKIPIF 1 < 0 是等腰三角形．
11.（2023·四川南充·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形 SKIPIF 1 < 0 中，點 SKIPIF 1 < 0 在邊 SKIPIF 1 < 0 上，點 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中點，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．

(1)求證： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)將 SKIPIF 1 < 0 繞點 SKIPIF 1 < 0 逆時針旋轉(zhuǎn)，使點 SKIPIF 1 < 0 的對應(yīng)點 SKIPIF 1 < 0 落在 SKIPIF 1 < 0 上，連接 SKIPIF 1 < 0 ．當(dāng)點 SKIPIF 1 < 0 在邊 SKIPIF 1 < 0 上運動時（點 SKIPIF 1 < 0 不與 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 重合），判斷 SKIPIF 1 < 0 的形狀，并說明理由．
(3)在（2）的條件下，已知 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，求 SKIPIF 1 < 0 的長．
12.在等腰△ABC中，AC＝BC， SKIPIF 1 < 0 是直角三角形，∠DAE＝90°，∠ADE＝ SKIPIF 1 < 0 ∠ACB，連接BD，BE，點F是BD的中點，連接CF．
（1）當(dāng)∠CAB＝45°時．
①如圖1，當(dāng)頂點D在邊AC上時，請直接寫出∠EAB與∠CBA的數(shù)量關(guān)系是 ．線段BE與線段CF的數(shù)量關(guān)系是 ；
②如圖2，當(dāng)頂點D在邊AB上時，（1）中線段BE與線段CF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請給予證明，若不成立，請說明理由；
學(xué)生經(jīng)過討論，探究出以下解決問題的思路，僅供大家參考：
思路一：作等腰△ABC底邊上的高CM，并取BE的中點N，再利用三角形全等或相似有關(guān)知識來解決問題；
思路二：取DE的中點G，連接AG，CG，并把 SKIPIF 1 < 0 繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°，再利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、三角形全等或相似有關(guān)知識來解快問題．
（2）當(dāng)∠CAB＝30°時，如圖3，當(dāng)頂點D在邊AC上時，寫出線段BE與線段CF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
13．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考中考真題）【問題情境】
在綜合實踐活動課上，李老師讓同桌兩位同學(xué)用相同的兩塊含 SKIPIF 1 < 0 的三角板開展數(shù)學(xué)探究活動，兩塊三角板分別記作 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ．
【操作探究】
如圖1，先將 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的邊 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 重合，再將 SKIPIF 1 < 0 繞著點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為 SKIPIF 1 < 0 ，旋轉(zhuǎn)過程中 SKIPIF 1 < 0 保持不動，連接 SKIPIF 1 < 0 ．

(1)當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ________；當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ________ SKIPIF 1 < 0 ；
(2)當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，畫出圖形，并求兩塊三角板重疊部分圖形的面積；
(3)如圖2，取 SKIPIF 1 < 0 的中點F，將 SKIPIF 1 < 0 繞著點A旋轉(zhuǎn)一周，點F的運動路徑長為________．
14.（2021·江蘇中考真題）已知正方形ABCD與正方形AEFG，正方形AEFG繞點A旋轉(zhuǎn)一周．
(1)如圖①，連接BG、CF，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)當(dāng)正方形AEFG旋轉(zhuǎn)至圖②位置時，連接CF、BE，分別去CF、BE的中點M、N，連接MN、試探究：MN與BE的關(guān)系，并說明理由；
(3)連接BE、BF，分別取BE、BF的中點N、Q，連接QN，AE=6，請直接寫出線段QN掃過的面積．
15.（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）（1）[問題探究]
如圖1，在正方形 SKIPIF 1 < 0 中，對角線 SKIPIF 1 < 0 相交于點O．在線段 SKIPIF 1 < 0 上任取一點P（端點除外），連接 SKIPIF 1 < 0 ．

①求證： SKIPIF 1 < 0 ；
②將線段 SKIPIF 1 < 0 繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，使點D落在 SKIPIF 1 < 0 的延長線上的點Q處．當(dāng)點P在線段 SKIPIF 1 < 0 上的位置發(fā)生變化時， SKIPIF 1 < 0 的大小是否發(fā)生變化？請說明理由；
③探究 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
（2）[遷移探究]
如圖2，將正方形 SKIPIF 1 < 0 換成菱形 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，其他條件不變．試探究 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

16.如圖，正方形ABCD中，P是對角線AC上的一個動點（不與A、C重合），連結(jié)BP，將BP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°到BQ，連結(jié)QP交BC于點E，QP延長線與邊AD交于點F．
（1）連結(jié)CQ，求證：AP＝CQ；
（2）若APAC，求CE：BC的值；
（3）求證：PF＝EQ．
17．（2023·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）1643年，法國數(shù)學(xué)家費馬曾提出一個著名的幾何問題：給定不在同一條直線上的三個點A，B，C，求平面上到這三個點的距離之和最小的點的位置，意大利數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家托里拆利給出了分析和證明，該點也被稱為“費馬點”或“托里拆利點”，該問題也被稱為“將軍巡營”問題．
(1)下面是該問題的一種常見的解決方法，請補充以下推理過程：（其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空，②處從“兩點之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫角度數(shù)，④處填寫該三角形的某個頂點）
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 的三個內(nèi)角均小于 SKIPIF 1 < 0 時，
如圖1，將 SKIPIF 1 < 0 繞，點C順時針旋轉(zhuǎn) SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，

由 SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 為 三角形，故 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
由 ② 可知，當(dāng)B，P， SKIPIF 1 < 0 ，A在同一條直線上時， SKIPIF 1 < 0 取最小值，如圖2，最小值為 SKIPIF 1 < 0 ，此時的P點為該三角形的“費馬點”，且有 SKIPIF 1 < 0 ；
已知當(dāng) SKIPIF 1 < 0 有一個內(nèi)角大于或等于 SKIPIF 1 < 0 時，“費馬點”為該三角形的某個頂點．如圖3，若 SKIPIF 1 < 0 ，則該三角形的“費馬點”為 點．
(2)如圖4，在 SKIPIF 1 < 0 中，三個內(nèi)角均小于 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，已知點P為 SKIPIF 1 < 0 的“費馬點”，求 SKIPIF 1 < 0 的值；

(3)如圖5，設(shè)村莊A，B，C的連線構(gòu)成一個三角形，且已知 SKIPIF 1 < 0 ．現(xiàn)欲建一中轉(zhuǎn)站P沿直線向A，B，C三個村莊鋪設(shè)電纜，已知由中轉(zhuǎn)站P到村莊A，B，C的鋪設(shè)成本分別為a元/ SKIPIF 1 < 0 ，a元/ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 元/ SKIPIF 1 < 0 ，選取合適的P的位置，可以使總的鋪設(shè)成本最低為___________元．（結(jié)果用含a的式子表示）
18.如圖1，在等腰直角三角形ADC中，∠ADC＝90°，AD＝4．點E是AD的中點，以DE為邊作正方形DEFG，連接AG，CE．將正方形DEFG繞點D順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜90°）．
（1）如圖2，在旋轉(zhuǎn)過程中，
①判斷△AGD與△CED是否全等，并說明理由；
②當(dāng)CE＝CD時，AG與EF交于點H，求GH的長．
（2）如圖3，延長CE交直線AG于點P．
①求證：AG⊥CP；
②在旋轉(zhuǎn)過程中，線段PC的長度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由．
19．（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考中考真題）【問題呈現(xiàn)】
SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都是直角三角形， SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，探究 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的位置關(guān)系．

(1)如圖1，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，直接寫出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的位置關(guān)系：____________；
(2)如圖2，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，給出證明；若不成立，說明理由．
【拓展應(yīng)用】
(3)當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，將 SKIPIF 1 < 0 繞點C旋轉(zhuǎn)，使 SKIPIF 1 < 0 三點恰好在同一直線上，求 SKIPIF 1 < 0 的長．
20．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）數(shù)學(xué)興趣小組探究了以下幾何圖形．如圖①，把一個含有 SKIPIF 1 < 0 角的三角尺放在正方形 SKIPIF 1 < 0 中，使 SKIPIF 1 < 0 角的頂點始終與正方形的頂點 SKIPIF 1 < 0 重合，繞點 SKIPIF 1 < 0 旋轉(zhuǎn)三角尺時， SKIPIF 1 < 0 角的兩邊 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 始終與正方形的邊 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所在直線分別相交于點 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ．

【探究一】如圖②，把 SKIPIF 1 < 0 繞點C逆時針旋轉(zhuǎn) SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，同時得到點 SKIPIF 1 < 0 在直線 SKIPIF 1 < 0 上．求證： SKIPIF 1 < 0 ；
【探究二】在圖②中，連接 SKIPIF 1 < 0 ，分別交 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于點 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．求證： SKIPIF 1 < 0 ；
【探究三】把三角尺旋轉(zhuǎn)到如圖③所示位置，直線 SKIPIF 1 < 0 與三角尺 SKIPIF 1 < 0 角兩邊 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分別交于點 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．連接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．

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題型十一 綜合探究題 類型四 與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的探究題（專題訓(xùn)練）-中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講練測（全國通用）
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