2024年中考數(shù)學(xué)二輪題型突破練習(xí)題型11 綜合探究題類型1 非動(dòng)態(tài)探究題（專題訓(xùn)練）（2份打包，原卷版+教師版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

(1)若正方形 SKIPIF 1 < 0 的邊長為2，E是 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)．
①如圖1，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，求證： SKIPIF 1 < 0 ；
②如圖2，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，求 SKIPIF 1 < 0 的長；
(2)如圖3，延長 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交于點(diǎn)G，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，求證： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1)①詳見解析；② SKIPIF 1 < 0
(2)詳見解析
【分析】（1）①由 SKIPIF 1 < 0 ，證明 SKIPIF 1 < 0 ，可得結(jié)論；②如圖，延長 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交于點(diǎn)G作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足為H，證明 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，證明 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，從而可得答案；
（2）如圖，延長 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足為H，證明 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，證明 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，從而可得答案．
【詳解】（1）解：如圖，

正方形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
① SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
②如圖，

延長 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交于點(diǎn)G，
作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足為H，
SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
方法一：設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
方法二：在 SKIPIF 1 < 0 中，由 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
（2）如圖

延長 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足為H，
SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，本題計(jì)算量大，對(duì)學(xué)生的要求高，熟練的利用參數(shù)建立方程是解本題的關(guān)鍵．
2.(2021·四川省達(dá)州市)某數(shù)學(xué)興趣小組在數(shù)學(xué)課外活動(dòng)中，對(duì)多邊形內(nèi)兩條互相垂直的線段做了如下探究：
【觀察與猜想】
如圖，在正方形中，點(diǎn)，分別是，上的兩點(diǎn)，連接，，，則的值為______ ；
如圖，在矩形中，，，點(diǎn)是上的一點(diǎn)，連接，，且，則的值為______ ；
【類比探究】
如圖，在四邊形中，，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作的垂線交的延長線于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)，求證：；
【拓展延伸】
如圖，在中，，，，將沿翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)處得，點(diǎn)，分別在邊，上，連接，，．
求的值；
連接，若，直接寫出的長度．
解：如圖，設(shè)與交于點(diǎn)，
四邊形是正方形，
，，
，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
；
如圖，設(shè)與交于點(diǎn)，
四邊形是矩形，
，
，
，
，，
，
，
∽，
，
故答案為：．
證明：如圖，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，
，
，
四邊形為矩形，
，，
，，
∽，
，
，
；
如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，
，，
，
，，
∽，
，
在中，，，
，
在中，，
，
設(shè)，則，
，
，
負(fù)值舍去，
，，
，
，
，
，
；
，，，
，
由得：∽，
，
又，，
，
，
．
3．（2023·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）【模型建立】
（1）如圖1， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都是等邊三角形，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 的對(duì)稱點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 邊上．
①求證： SKIPIF 1 < 0 ；
②用等式寫出線段 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【模型應(yīng)用】
（2）如圖2， SKIPIF 1 < 0 是直角三角形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，垂足為 SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 的對(duì)稱點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 邊上．用等式寫出線段 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【模型遷移】
（3）在（2）的條件下，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．

【答案】（1）①見解析；② SKIPIF 1 < 0 ，理由見解析；（2） SKIPIF 1 < 0 ，理由見解析；（3） SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）①證明： SKIPIF 1 < 0 ，再證明 SKIPIF 1 < 0 即可；②由 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 對(duì)稱，可得 SKIPIF 1 < 0 ．證明 SKIPIF 1 < 0 ，從而可得結(jié)論；
（2）如圖，過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，證明 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．可得 SKIPIF 1 < 0 ，證明 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，從而可得結(jié)論；
（3）由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，結(jié)合 SKIPIF 1 < 0 ，求解 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，如圖，過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ．可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，再利用余弦的定義可得答案．
【詳解】（1）①證明：∵ SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都是等邊三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．

② SKIPIF 1 < 0 ．理由如下：
∵ SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 對(duì)稱，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
（2） SKIPIF 1 < 0 ．理由如下：
如圖，過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．

∵ SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 對(duì)稱，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 是直角三角形， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
（3）∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
如圖，過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ．

∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，軸對(duì)稱的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的靈活應(yīng)用，本題難度較高，屬于中考?jí)狠S題，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．
4.（2021·湖北中考真題）問題提出如圖（1），在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)部，直線 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，線段 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？
問題探究（1）先將問題特殊化．如圖（2），當(dāng)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 重合時(shí)，直接寫出一個(gè)等式，表示 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 之間的數(shù)量關(guān)系；
（2）再探究一般情形．如圖（1），當(dāng)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不重合時(shí)，證明（1）中的結(jié)論仍然成立．
問題拓展如圖（3），在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 是常數(shù)），點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)部，直線 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，直接寫出一個(gè)等式，表示線段 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 之間的數(shù)量關(guān)系．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ．（2）見解析；問題拓展： SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】
（1）先證明△BCE≌△ACD,得到AF=BE，BF-BE=BF-AF=EF= SKIPIF 1 < 0 ；
（2）過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，證明 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形即可；利用前面的方法變?nèi)葹橄嗨谱C明即可．
【詳解】
問題探究（1） SKIPIF 1 < 0 ．理由如下：如圖（2），
∵∠BCA=∠ECF=90°，
∴∠BCE=∠ACF，
∵BC=AC，EC=CF，
△BCE≌△ACF，
∴BE=AF，
∴BF-BE=BF-AF=EF= SKIPIF 1 < 0 ；
（2）證明：過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
又∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
問題拓展 SKIPIF 1 < 0 ．理由如下：
∵∠BCA=∠ECD=90°，
∴∠BCE=∠ACD，
∵BC=kAC，EC=kCD，
∴△BCE∽△ACD，
∴∠EBC=∠FAC，
過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn)M，則 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴△BCM∽△ACF，
∴BM:AF=BC:AC=MC:CF=k，
∴BM=kAF,MC=kCF，
∴BF-BM=MF，MF= SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0
∴BF- kAF = SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】
本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握三角形全等的判定，三角形相似的判定，勾股定理是解題的關(guān)鍵．
5．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）問題提出：如圖（1）， SKIPIF 1 < 0 是菱形 SKIPIF 1 < 0 邊 SKIPIF 1 < 0 上一點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 是等腰三角形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，探究 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的數(shù)量關(guān)系．

問題探究：
(1)先將問題特殊化，如圖（2），當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，直接寫出 SKIPIF 1 < 0 的大??；
(2)再探究一般情形，如圖（1），求 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的數(shù)量關(guān)系．
問題拓展：
(3)將圖（1）特殊化，如圖（3），當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）延長 SKIPIF 1 < 0 過點(diǎn)F作 SKIPIF 1 < 0 ，證明 SKIPIF 1 < 0 即可得出結(jié)論．
（2）在 SKIPIF 1 < 0 上截取 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，證明 SKIPIF 1 < 0 ，通過邊和角的關(guān)系即可證明．
（3）過點(diǎn)A作 SKIPIF 1 < 0 的垂線交 SKIPIF 1 < 0 的延長線于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，設(shè)菱形的邊長為 SKIPIF 1 < 0 ，由（2）知， SKIPIF 1 < 0 ，通過相似求出 SKIPIF 1 < 0 ，即可解出．
【詳解】（1）延長 SKIPIF 1 < 0 過點(diǎn)F作 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中
SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．

故答案為： SKIPIF 1 < 0 ．
（2）解：在 SKIPIF 1 < 0 上截取 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．

（3）解：過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 的垂線交 SKIPIF 1 < 0 的延長線于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，設(shè)菱形的邊長為 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ，由（2）知， SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 上截取 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn)O．
由（2）知， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．

【點(diǎn)睛】此題考查菱形性質(zhì)、三角形全等、三角形相似，解題的關(guān)鍵是熟悉菱形性質(zhì)、三角形全等、三角形相似．
6.（2021·浙江中考真題）（證明體驗(yàn)）
（1）如圖1， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的角平分線， SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn)E在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ．求證： SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ．
（思考探究）
（2）如圖2，在（1）的條件下，F(xiàn)為 SKIPIF 1 < 0 上一點(diǎn)，連結(jié) SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn)G．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的長．
（拓展延伸）
（3）如圖3，在四邊形 SKIPIF 1 < 0 中，對(duì)角線 SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn)E在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的長．
【答案】（1）見解析；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3） SKIPIF 1 < 0
【分析】
（1）根據(jù)SAS證明 SKIPIF 1 < 0 ，進(jìn)而即可得到結(jié)論；
（2）先證明 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，進(jìn)而即可求解；
（3）在 SKIPIF 1 < 0 上取一點(diǎn)F，使得 SKIPIF 1 < 0 ，連結(jié) SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，從而得 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，最后證明 SKIPIF 1 < 0 ，即可求解．
【詳解】
解：（1）∵ SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（3）如圖，在 SKIPIF 1 < 0 上取一點(diǎn)F，使得 SKIPIF 1 < 0 ，連結(jié) SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，添加輔助線，構(gòu)造全等三角形和相似三角形，是解題的關(guān)鍵．
7．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）（1）如圖1，在矩形 SKIPIF 1 < 0 中，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分別在邊 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ，垂足為點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ．求證： SKIPIF 1 < 0 ．

【問題解決】
（2）如圖2，在正方形 SKIPIF 1 < 0 中，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分別在邊 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ，延長 SKIPIF 1 < 0 到點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ．求證： SKIPIF 1 < 0 ．
【類比遷移】
（3）如圖3，在菱形 SKIPIF 1 < 0 中，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分別在邊 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的長．
【答案】（1）見解析
（2）見解析
（3）3
【分析】（1）由矩形的性質(zhì)可得 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，再由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)等角的余角相等得 SKIPIF 1 < 0 ，即可得證；
（2）利用“ SKIPIF 1 < 0 ”證明 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，利用“ SKIPIF 1 < 0 ”證明 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，由正方形的性質(zhì)可得 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得證；
（3）延長 SKIPIF 1 < 0 到點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，由菱形的性質(zhì)可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，推出 SKIPIF 1 < 0 ，由全等的性質(zhì)可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，進(jìn)而推出 SKIPIF 1 < 0 是等邊三角形，再根據(jù)線段的和差關(guān)系計(jì)算求解即可．
【詳解】（1）證明： SKIPIF 1 < 0 四邊形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
（2）證明： SKIPIF 1 < 0 四邊形 SKIPIF 1 < 0 是正方形，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的延長線上，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
（3）解：如圖，延長 SKIPIF 1 < 0 到點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，

SKIPIF 1 < 0 四邊形 SKIPIF 1 < 0 是菱形，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 是等邊三角形，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握這些知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．
8.（2021·安徽中考真題）如圖1，在四邊形ABCD中， SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn)E在邊BC上，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 交線段AE于點(diǎn)F，連接BF．
（1）求證： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）如圖2，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求BE的長；
（3）如圖3，若BF的延長線經(jīng)過AD的中點(diǎn)M，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
【答案】（1）見解析；（2）6；（3） SKIPIF 1 < 0
【分析】
（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)及已知條件易證 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；再證四邊形AFCD是平行四邊形即可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)SAS即可證得 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）證明 SKIPIF 1 < 0 ，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解；
（3）延長BM、ED交于點(diǎn)G．易證 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ；設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由此可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；再證明 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得 SKIPIF 1 < 0 ．證明 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解方程求得x的值，繼而求得 SKIPIF 1 < 0 的值．
【詳解】
（1）證明： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四邊形AFCD是平行四邊形
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
在 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 中．
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 中．
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍）；
（3）延長BM、ED交于點(diǎn)G．
SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 均為等腰三角形， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
在 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 （舍）， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】
本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的性質(zhì)及判定、相似三角形的性質(zhì)及判定，熟練判定三角形全等及相似是解決問題的關(guān)鍵．
9．（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖①， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 是等邊三角形，連接 SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn)F，G，H分別是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，連接 SKIPIF 1 < 0 ．易證： SKIPIF 1 < 0 ．
若 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都是等腰直角三角形，且 SKIPIF 1 < 0 ，如圖②：若 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都是等腰三角形，且 SKIPIF 1 < 0 ，如圖③：其他條件不變，判斷 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 之間的數(shù)量關(guān)系，寫出你的猜想，并利用圖②或圖③進(jìn)行證明．

【答案】圖②中 SKIPIF 1 < 0 ，圖③中 SKIPIF 1 < 0 ，證明見解析
【分析】圖②：如圖②所示，連接 SKIPIF 1 < 0 ，先由三角形中位線定理得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再證明 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，進(jìn)一步證明 SKIPIF 1 < 0 ，即可證明 SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形，則 SKIPIF 1 < 0 ；
圖③：仿照?qǐng)D②證明 SKIPIF 1 < 0 是等邊三角形，則 SKIPIF 1 < 0 ．
【詳解】解：圖②中 SKIPIF 1 < 0 ，圖③中 SKIPIF 1 < 0 ，
圖②證明如下：
如圖②所示，連接 SKIPIF 1 < 0 ，
∵點(diǎn)F，G分別是 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，
∴ SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中位線，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都是等腰直角三角形，且 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；

圖③證明如下：
如圖③所示，連接 SKIPIF 1 < 0 ，
∵點(diǎn)F，G分別是 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，
∴ SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中位線，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都是等腰三角形，且 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是等邊三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形中位線定理，等邊三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理等等，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
10.（2021·湖南中考真題）如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，N是 SKIPIF 1 < 0 邊上的一點(diǎn)，D為 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作 SKIPIF 1 < 0 的平行線交 SKIPIF 1 < 0 的延長線于T，且 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求證： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）在如圖中 SKIPIF 1 < 0 上取一點(diǎn)O，使 SKIPIF 1 < 0 ，作N關(guān)于邊 SKIPIF 1 < 0 的對(duì)稱點(diǎn)M，連接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 得如圖．
①求證： SKIPIF 1 < 0 ；
②設(shè) SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 相交于點(diǎn)P，求證： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1)見解析；(2)①見解析，②見解析．
【分析】
（1）先用 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 證明出四邊形ATBN是平行四邊形，得到△TAD≌△CND，用對(duì)應(yīng)邊相等與等量代換，從而得出結(jié)論．
（2）①連接AM、MN，利用矩形的性質(zhì)與等腰三角形的性質(zhì)，證明出△OCM是直角三角形，證明出Rt△OAT≌Rt△OCM，得到對(duì)應(yīng)角相等，則得到答案；
②連接OP，由①中 SKIPIF 1 < 0 ，得到∠OTM=∠OAP，點(diǎn)O、T、A、P共圓，由直徑所對(duì)的圓周角為直角，證明出∠OPT=90?，再根據(jù)等腰三角形的三線合一性得出結(jié)論．
【詳解】
證明：（1）∵ SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
∴四邊形ATBN是平行四邊形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴∠DTA=∠DCN，
∵∠ADT=∠NDC，
∵點(diǎn)D為AN的中點(diǎn)，
∴AD=ND，
∴△TAD≌△CND（AAS）
∴TA=CN，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴BN=CN，
（2）①如圖所示，連接AM、MN，
∵點(diǎn)N關(guān)于邊 SKIPIF 1 < 0 的對(duì)稱點(diǎn)為M，
∴△ANC≌△AMC，
∴∠ACN=∠ACM，
∵AB=AC，點(diǎn)N為AC的中點(diǎn)，
∴平行四邊形ATBN是矩形，
∴∠TAB=∠ABN=∠ACN=∠ACM，∠BAN=∠MAC=∠CAN，AT=BN=NC=MC，
∵OA=OC，
∴∠CAN=∠ACO，
∴∠TAB+∠BAN=∠ACM+∠ACO=90?，
∴∠OAT=∠OCM=90?，
在Rt△OAT和Rt△OCM中，
∵AT=CM，∠OAT=∠OCM ，OA=OC，
∴Rt△OAT≌Rt△OCM（SAS），
∴∠AOT=∠COM，OT=OM，
∴∠AOT+∠AOM=∠COM+∠AOM，
∴∠TOM=∠AOC
∵OA=OC，OT=OM，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
②如圖所示，連接OP，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴∠OTM=∠OAP，
∴點(diǎn)O、T、A、P共圓，
∵∠OAT=90?，
∴OT為圓的直徑，
∴∠OPT=90?，
∵OT=OM，
∴點(diǎn)P為TM的中點(diǎn)，
∵由（1）得△TAD≌△CND，
∴TD=CD，
∴點(diǎn)D為TC的中點(diǎn)，
∴DP為△TCM的中位線，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了矩形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、以及相似三角形的判定與性質(zhì)、圓中直徑的性質(zhì)，關(guān)鍵在于通過等量代換，換出角相等，證明出直角三角形全等，再證明三角形相似．
11．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）（1）如圖，在矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 邊上一點(diǎn)，連接 SKIPIF 1 < 0 ，
①若 SKIPIF 1 < 0 ，過 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，求證： SKIPIF 1 < 0 ；
②若 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，則 SKIPIF 1 < 0 ______．

（2）如圖，在菱形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，過 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 的延長線于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，過 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，求 SKIPIF 1 < 0 的值．

（3）如圖，在平行四邊形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 上一點(diǎn)，連接 SKIPIF 1 < 0 ，過 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交平行四邊形 SKIPIF 1 < 0 的邊于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，請(qǐng)直接寫出 SKIPIF 1 < 0 的長．

【答案】（1）①見解析；② SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3） SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）①根據(jù)矩形的性質(zhì)得出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，進(jìn)而證明 SKIPIF 1 < 0 結(jié)合已知條件，即可證明 SKIPIF 1 < 0 ；
②由①可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，證明 SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù) SKIPIF 1 < 0 ，即可求解；
（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)已知條件得出 SKIPIF 1 < 0 ，證明 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解；
（3）分三種情況討論，①當(dāng)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 邊上時(shí)，如圖所示，延長 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 的延長線于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，證明 SKIPIF 1 < 0 ，解 SKIPIF 1 < 0 ，進(jìn)而得出 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù) SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 ，建立方程解方程即可求解；②當(dāng) SKIPIF 1 < 0 點(diǎn)在 SKIPIF 1 < 0 邊上時(shí)，如圖所示，連接 SKIPIF 1 < 0 ，延長 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 的延長線于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，四邊形 SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形，同理證明 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù) SKIPIF 1 < 0 得出 SKIPIF 1 < 0 ，建立方程，解方程即可求解；③當(dāng) SKIPIF 1 < 0 點(diǎn)在 SKIPIF 1 < 0 邊上時(shí)，如圖所示，過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，求得 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，得出矛盾，則此情況不存在．
【詳解】解：（1）①∵四邊形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，則 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
②由①可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ．
（2）∵在菱形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）①當(dāng)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 邊上時(shí)，如圖所示，延長 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 的延長線于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，

∵平行四邊形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
②當(dāng) SKIPIF 1 < 0 點(diǎn)在 SKIPIF 1 < 0 邊上時(shí)，如圖所示，

連接 SKIPIF 1 < 0 ，延長 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 的延長線于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，四邊形 SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0
解得： SKIPIF 1 < 0 （舍去）
即 SKIPIF 1 < 0 ；
③當(dāng) SKIPIF 1 < 0 點(diǎn)在 SKIPIF 1 < 0 邊上時(shí)，如圖所示，

過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 點(diǎn)不可能在 SKIPIF 1 < 0 邊上，
綜上所述， SKIPIF 1 < 0 的長為 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形，矩形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定，分類討論是解題的關(guān)鍵．
12.（2020?山西）綜合與實(shí)踐
問題情境：
如圖①，點(diǎn)E為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，∠AEB＝90°，將Rt△ABE繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到△CBE′（點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C）．延長AE交CE′于點(diǎn)F，連接DE．
猜想證明：
（1）試判斷四邊形BE'FE的形狀，并說明理由；
（2）如圖②，若DA＝DE，請(qǐng)猜想線段CF與FE'的數(shù)量關(guān)系并加以證明；
解決問題：
（3）如圖①，若AB＝15，CF＝3，請(qǐng)直接寫出DE的長．
【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠AEB＝∠CE'B＝90°，BE＝BE'，∠EBE'＝90°，由正方形的判定可證四邊形BE'FE是正方形；
（2）過點(diǎn)D作DH⊥AE于H，由等腰三角形的性質(zhì)可得AHAE，DH⊥AE，由“AAS”可得△ADH≌△BAE，可得AH＝BEAE，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AE＝CE'，可得結(jié)論；
（3）利用勾股定理可求BE＝BE'＝9，再利用勾股定理可求DE的長．
【解析】（1）四邊形BE'FE是正方形，
理由如下：
∵將Rt△ABE繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，
∴∠AEB＝∠CE'B＝90°，BE＝BE'，∠EBE'＝90°，
又∵∠BEF＝90°，
∴四邊形BE'FE是矩形，
又∵BE＝BE'，
∴四邊形BE'FE是正方形；
（2）CF＝E'F；
理由如下：如圖②，過點(diǎn)D作DH⊥AE于H，
∵DA＝DE，DH⊥AE，
∴AHAE，DH⊥AE，
∴∠ADH+∠DAH＝90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，
∴∠DAH+∠EAB＝90°，
∴∠ADH＝∠EAB，
又∵AD＝AB，∠AHD＝∠AEB＝90°，
∴△ADH≌△BAE（AAS），
∴AH＝BEAE，
∵將Rt△ABE繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，
∴AE＝CE'，
∵四邊形BE'FE是正方形，
∴BE＝E'F，
∴E'FCE'，
∴CF＝E'F；
（3）如圖①，過點(diǎn)D作DH⊥AE于H，
∵四邊形BE'FE是正方形，
∴BE'＝E'F＝BE，
∵AB＝BC＝15，CF＝3，BC2＝E'B2+E'C2，
∴225＝E'B2+（E'B+3）2，
∴E'B＝9＝BE，
∴CE'＝CF+E'F＝12，
由（2）可知：BE＝AH＝9，DH＝AE＝CE'＝12，
∴HE＝3，
∴DE3．
13.（2020?湘西州）問題背景：如圖1，在四邊形ABCD中，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，BA＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD、DC于E、F．探究圖中線段AE，CF，EF之間的數(shù)量關(guān)系．
小李同學(xué)探究此問題的方法是：延長FC到G，使CG＝AE，連接BG，先證明△BCG≌△BAE，再證明△BFG≌△BFE，可得出結(jié)論，他的結(jié)論就是；
探究延伸1：如圖2，在四邊形ABCD中，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，BA＝BC，∠ABC＝2∠MBN，∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)．它的兩邊分別交AD、DC于E、F，上述結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)直接寫出結(jié)論（直接寫出“成立”或者“不成立”），不要說明理由；
探究延伸2：如圖3，在四邊形ABCD中，BA＝BC，∠BAD+∠BCD＝180°，∠ABC＝2∠MBN，∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)．它的兩邊分別交AD、DC于E、F．上述結(jié)論是否仍然成立？并說明理由；
實(shí)際應(yīng)用：如圖4，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處．艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以75海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，同時(shí)艦艇乙沿北偏東50°的方向以100海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，1.2小時(shí)后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E、F處．且指揮中心觀測兩艦艇視線之間的夾角為70°．試求此時(shí)兩艦艇之間的距離．
【分析】問題背景：延長FC到G，使CG＝AE，連接BG，先證明△BCG≌△BAE，再證明△BFG≌△BFE，即可得出結(jié)論：EF＝AE+CF；
探究延伸1：延長FC到G，使CG＝AE，連接BG，先證明△BCG≌△BAE，再證明△BFG≌△BFE，可得出結(jié)論：EF＝AE+CF；
探究延伸2：延長DC到H，使得CH＝AE，連接BH，先證明△BCH≌△BAE，即可得到BE＝HB，∠ABE＝∠HBC，再證明△HBF≌△EBF，即可得出EF＝HF＝HC+CF＝AE+CF；
實(shí)際應(yīng)用：連接EF，延長BF交AE的延長線于G，根據(jù)題意可轉(zhuǎn)化為如下的數(shù)學(xué)問題：在四邊形GAOB中，OA＝OB，∠A+∠B＝180°，∠AOB＝2∠EOF，∠EOF的兩邊分別交AG，BG于E，F(xiàn)，求EF的長．再根據(jù)探究延伸2的結(jié)論：EF＝AE+BF，即可得到兩艦艇之間的距離．
【解析】問題背景：
如圖1，延長FC到G，使CG＝AE，連接BG，先證明△BCG≌△BAE，再證明△BFG≌△BFE，可得出結(jié)論：EF＝AE+CF；
故答案為：EF＝AE+CF；
探究延伸1：
如圖2，延長FC到G，使CG＝AE，連接BG，先證明△BCG≌△BAE，再證明△BFG≌△BFE，可得出結(jié)論：EF＝AE+CF；
探究延伸2：
上述結(jié)論仍然成立，即EF＝AE+CF，理由：
如圖3，延長DC到H，使得CH＝AE，連接BH，
∵∠BAD+∠BCD＝180°，∠BCH+∠BCD＝180°，
∴∠BCH＝∠BAE，
∵BA＝BC，CH＝AE，
∴△BCH≌△BAE（SAS），
∴BE＝HB，∠ABE＝∠HBC，
∴∠HBE＝∠ABC，
又∵∠ABC＝2∠MBN，
∴∠EBF＝∠HBF，
∵BF＝BF，
∴△HBF≌△EBF（SAS），
∴EF＝HF＝HC+CF＝AE+CF；
實(shí)際應(yīng)用：
如圖4，連接EF，延長BF交AE的延長線于G，
因?yàn)榕炌Ъ自谥笓]中心（O處）北偏西30°的A處．艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，所以∠AOB＝140°，
因?yàn)橹笓]中心觀測兩艦艇視線之間的夾角為70°，所以∠EOF＝70°，所以∠AOB＝2∠EOF．
依題意得，OA＝OB，∠A＝60°，∠B＝120°，所以∠A+∠B＝180°，
因此本題的實(shí)際的應(yīng)用可轉(zhuǎn)化為如下的數(shù)學(xué)問題：
在四邊形GAOB中，OA＝OB，∠A+∠B＝180°，∠AOB＝2∠EOF，∠EOF的兩邊分別交AG，B于E，F(xiàn)，求EF的長．
根據(jù)探究延伸2的結(jié)論可得：EF＝AE+BF，
根據(jù)題意得，AE＝75×1.2＝90（海里），BF＝100×1.2＝120（海里），
所以EF＝90+120＝210（海里）．
答：此時(shí)兩艦艇之間的距離為210海里．
14.（2020?揚(yáng)州）如圖1，已知點(diǎn)O在四邊形ABCD的邊AB上，且OA＝OB＝OC＝OD＝2，OC平分∠BOD，與BD交于點(diǎn)G，AC分別與BD、OD交于點(diǎn)E、F．
（1）求證：OC∥AD；
（2）如圖2，若DE＝DF，求的值；
（3）當(dāng)四邊形ABCD的周長取最大值時(shí)，求的值．
【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)及角平分線的定義證得∠ADO＝∠DOC，則可得出結(jié)論；
（2）過點(diǎn)E作EM∥FD交AD的延長線于點(diǎn)M，證得∠M＝∠ADF＝45°，由直角三角形的性質(zhì)得出EMDEDF，證明△AME∽△ADF，得出；
（3）設(shè)BC＝CD＝x，CG＝m，則OG＝2﹣m，由勾股定理得出4﹣（2﹣m）2＝x2﹣m2，解得：m，可用x表示四邊形ABCD的周長，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求出x＝2時(shí)，四邊形ABCD有最大值，得出∠ADF＝∠DOC＝60°，∠DAE＝30°，由直角三角形的性質(zhì)可得出答案．
【解答】（1）證明：∵AO＝OD，
∴∠OAD＝∠ADO，
∵OC平分∠BOD，
∴∠DOC＝∠COB，
又∵∠DOC+∠COB∠＝∠OAD+∠ADO，
∴∠ADO＝∠DOC，
∴CO∥AD；
（2）解：如圖1，過點(diǎn)E作EM∥FD交AD的延長線于點(diǎn)M，
設(shè)∠DAC＝α，
∵CO∥AD，
∴∠ACO＝∠DAC＝α，
∵AO＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝α，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD＝2α，
∵DE＝EF，
∴∠DFE＝∠DEF＝3α，
∵AO＝OB＝OD，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAE+∠AED＝90°，
即4α＝90°，
∴∠ADF＝2α＝45°，
∴∠FDE＝45°，
∴∠M＝∠ADF＝45°，
∴EMDEDF，
∵DF∥EM，
∴△AME∽△ADF，
∴；
（3）解：如圖2，
∵OD＝OB，∠BOC＝∠DOC，
∴△BOC≌△DOC（SAS），
∴BC＝CD，
設(shè)BC＝CD＝x，CG＝m，則OG＝2﹣m，
∵OB2﹣OG2＝BC2﹣CG2，
∴4﹣（2﹣m）2＝x2﹣m2，
解得：m，
∴OG＝2，
∵OD＝OB，∠DOG＝∠BOG，
∴G為BD的中點(diǎn)，
又∵O為AB的中點(diǎn)，
∴AD＝2OG＝4，
∴四邊形ABCD的周長為2BC+AD+AB＝2x+442x+810，
∵0，
∴x＝2時(shí)，四邊形ABCD的周長有最大值為10．
∴BC＝2，
∴△BCO為等邊三角形，
∴∠BOC＝60°，
∵OC∥AD，
∴∠DAC＝∠COB＝60°，
∴∠ADF＝∠DOC＝60°，∠DAE＝30°，
∴∠AFD＝90°，
∴，DFDA，
∴．
15.（2020?南京）如圖①，要在一條筆直的路邊l上建一個(gè)燃?xì)庹?，向l同側(cè)的A、B兩個(gè)城鎮(zhèn)分別鋪設(shè)管道輸送燃?xì)猓嚧_定燃?xì)庹镜奈恢茫逛佋O(shè)管道的路線最短．
（1）如圖②，作出點(diǎn)A關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)A'，線段A'B與直線l的交點(diǎn)C的位置即為所求，即在點(diǎn)C處建燃?xì)庹?，所得路線ACB是最短的．
為了證明點(diǎn)C的位置即為所求，不妨在直線1上另外任取一點(diǎn)C'，連接AC'、BC'，證明AC+CB＜AC′+C'B．請(qǐng)完成這個(gè)證明．
（2）如果在A、B兩個(gè)城鎮(zhèn)之間規(guī)劃一個(gè)生態(tài)保護(hù)區(qū)，燃?xì)夤艿啦荒艽┻^該區(qū)域．請(qǐng)分別給出下列兩種情形的鋪設(shè)管道的方案（不需說明理由）．
①生態(tài)保護(hù)區(qū)是正方形區(qū)域，位置如圖③所示；
②生態(tài)保護(hù)區(qū)是圓形區(qū)域，位置如圖④所示．
【分析】（1）由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得CA＝CA'，可得AC+BC＝A'C+BC＝A'B，AC'+C'B＝A'C'+BC'，由三角形的三邊關(guān)系可得A'B＜A'C'+C'B，可得結(jié)論；
（2）①由（1）的結(jié)論可求；
②由（1）的結(jié)論可求解．
【解答】證明：（1）如圖②，連接A'C'，
∵點(diǎn)A，點(diǎn)A'關(guān)于l對(duì)稱，點(diǎn)C在l上，
∴CA＝CA'，
∴AC+BC＝A'C+BC＝A'B，
同理可得AC'+C'B＝A'C'+BC'，
∵A'B＜A'C'+C'B，
∴AC+BC＜AC'+C'B；
（2）如圖③，
在點(diǎn)C出建燃?xì)庹?，鋪設(shè)管道的最短路線是ACDB，（其中點(diǎn)D是正方形的頂點(diǎn)）；
如圖④，
在點(diǎn)C出建燃?xì)庹荆佋O(shè)管道的最短路線是ACDEB，（其中CD，BE都與圓相切）
16.（2020?達(dá)州）（1）[閱讀與證明]
如圖1，在正△ABC的外角∠CAH內(nèi)引射線AM，作點(diǎn)C關(guān)于AM的對(duì)稱點(diǎn)E（點(diǎn)E在∠CAH內(nèi)），連接BE，BE、CE分別交AM于點(diǎn)F、G．
①完成證明：∵點(diǎn)E是點(diǎn)C關(guān)于AM的對(duì)稱點(diǎn)，
∴∠AGE＝90°，AE＝AC，∠1＝∠2．
∵正△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝AC，
∴AE＝AB，得∠3＝∠4．
在△ABE中，∠1+∠2+60°+∠3+∠4＝180°，∴∠1+∠3＝ °．
在△AEG中，∠FEG+∠3+∠1＝90°，∴∠FEG＝ °．
②求證：BF＝AF+2FG．
（2）[類比與探究]
把（1）中的“正△ABC”改為“正方形ABDC”，其余條件不變，如圖2．類比探究，可得：
①∠FEG＝ °；
②線段BF、AF、FG之間存在數(shù)量關(guān)系．
（3）[歸納與拓展]
如圖3，點(diǎn)A在射線BH上，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜180°），在∠CAH內(nèi)引射線AM，作點(diǎn)C關(guān)于AM的對(duì)稱點(diǎn)E（點(diǎn)E在∠CAH內(nèi)），連接BE，BE、CE分別交AM于點(diǎn)F、G．則線段BF、AF、GF之間的數(shù)量關(guān)系為．
【分析】（1）①利用等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理解決問題即可．
②如圖1中，連接CF，在FB上取一點(diǎn)T，使得FT＝CF，連接CT．證明△BCT≌△ACF（SAS可得結(jié)論．
（2）①如圖2中，利用圓周角定理解決問題即可．
②結(jié)論：BFAFFG．如圖2中，連接CF，在FB上取一點(diǎn)T，使得FT＝CF，連接CT．證明△BCT∽△ACF，推出，推出BTAF可得結(jié)論．
（3）如圖3中，連接CF，BC，在BF上取一點(diǎn)T，使得FT＝CF．構(gòu)造相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)解決問題即可．
【解答】（1）①解：如圖1中，∵點(diǎn)E是點(diǎn)C關(guān)于AM的對(duì)稱點(diǎn)，
∴∠AGE＝90°，AE＝AC，∠1＝∠2．
∵正△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝AC，
∴AE＝AB，得∠3＝∠4．
在△ABE中，∠1+∠2+60°+∠3+∠4＝180°，
∴∠1+∠3＝60°．
在△AEG中，∠FEG+∠3+∠1＝90°，
∴∠FEG＝30°．
故答案為60，30．
②證明：如圖1中，連接CF，在FB上取一點(diǎn)T，使得FT＝CF，連接CT．
∵C，E關(guān)于AM對(duì)稱，
∴AM垂直平分線段EC，
∴FE＝FC，
∴∠FEC＝∠FCE＝30°，EF＝2FG，
∴∠CFT＝∠FEC+∠FCE＝60°，
∵FC＝FT，
∴△CFT是等邊三角形，
∴∠ACB＝∠FCT＝60°，CF＝CT＝FT，
∴∠BCT＝∠ACF，
∵CB＝CA，
∴△BCT≌△ACF（SAS），
∴BT＝AF，
∴BF＝BT+FT＝AF+EF＝AF+2FG．
（2）解：①如圖2中，∵AB＝AC＝AE，
∴點(diǎn)A是△ECB的外接圓的圓心，
∴∠BEC∠BAC，
∵∠BAC＝90°，
∴∠FEG＝45°．
故答案為45．
②結(jié)論：BFAFFG．
理由：如圖2中，連接CF，在FB上取一點(diǎn)T，使得FT＝CF，連接CT．
∵AM⊥EC，CG＝CE，
∴FC＝EF，
∴∠FEC＝∠FCE＝45°，EFFG，
∴∠CFT＝∠FEC+∠FCE＝90°，
∵CF＝CT，
∴△CFT是等腰直角三角形，
∴CTCF，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BCAC，
∴，
∵∠BCA＝∠TCF＝45°，
∴∠BCT＝∠ACF，
∴△BCT∽△ACF，
∴，
∴BTAF，
∴BF＝BT+TFAFFG．．
（3）如圖3中，連接CF，BC，在BF上取一點(diǎn)T，使得FT＝CF．
∵AB＝AC，∠BAC＝α，
∴sinα，
∴2?sinα，
∵AB＝AC＝AE，
∴∠BEC∠BACα，EF，
∵FC＝FE，
∴∠FEC＝∠FCEα，
∴∠CFT＝∠FEC+∠FCE＝α，
同法可證，△BCT∽△ACF，
∴2?sinα，
∴BT＝2AF?sinα，
∴BF＝BT+FT＝2AF?sinα+EF．即BF＝2AF?sinα．
故答案為：BF＝2AF?sinα．

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