題型11 綜合探究題類型2 與動點有關(guān)的探究題（專題訓練）-2024年中考數(shù)學二輪題型突破（全國通用）-試卷下載-教習網(wǎng)

(1)如圖1，求邊上的高的長．
(2)是邊上的一動點，點同時繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得點．
①如圖2，當點落在射線上時，求的長．
②當是直角三角形時，求的長．
2.在數(shù)學興趣小組活動中，小亮進行數(shù)學探究活動．
（1）是邊長為3的等邊三角形，E是邊上的一點，且，小亮以為邊作等邊三角形，如圖1，求的長；
（2）是邊長為3的等邊三角形，E是邊上的一個動點，小亮以為邊作等邊三角形，如圖2，在點E從點C到點A的運動過程中，求點F所經(jīng)過的路徑長；
（3）是邊長為3的等邊三角形，M是高上的一個動點，小亮以為邊作等邊三角形，如圖3，在點M從點C到點D的運動過程中，求點N所經(jīng)過的路徑長；
（4）正方形的邊長為3，E是邊上的一個動點，在點E從點C到點B的運動過程中，小亮以B為頂點作正方形，其中點F、G都在直線上，如圖4，當點E到達點B時，點F、G、H與點B重合．則點H所經(jīng)過的路徑長為______，點G所經(jīng)過的路徑長為______．
3．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）已知是等邊三角形，點是射線上的一個動點，延長至點，使，連接交射線于點．

(1)如圖1，當點在線段上時，猜測線段與的數(shù)量關(guān)系并說明理由；
(2)如圖2，當點在線段的延長線上時，
①線段與的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？請說明理由；
②如圖3，連接．設(shè)，若，求四邊形的面積．
4.（2021·浙江中考真題）已知在中，是的中點，是延長線上的一點，連結(jié)．
（1）如圖1，若，求的長．
（2）過點作，交延長線于點，如圖2所示．若，求證：．
（3）如圖3，若，是否存在實數(shù)，當時，？若存在，請直接寫出的值；若不存在，請說明理由．
5．（2023·遼寧大連·統(tǒng)考中考真題）綜合與實踐
問題情境：數(shù)學活動課上，王老師給同學們每人發(fā)了一張等腰三角形紙片探究折疊的性質(zhì)．
已知，點為上一動點，將以為對稱軸翻折．同學們經(jīng)過思考后進行如下探究：
獨立思考：小明：“當點落在上時，．”
小紅：“若點為中點，給出與的長，就可求出的長．”
實踐探究：奮進小組的同學們經(jīng)過探究后提出問題1，請你回答：

問題1：在等腰中，由翻折得到．
（1）如圖1，當點落在上時，求證：；
（2）如圖2，若點為中點，，求的長．
問題解決：小明經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：若將問題1中的等腰三角形換成的等腰三角形，可以將問題進一步拓展．
問題2：如圖3，在等腰中，．若，則求的長．
6.（2021·浙江中考真題）問題：如圖，在中，，，，的平分線AE，BF分別與直線CD交于點E，F(xiàn)，求EF的長．
答案：．
探究：（1）把“問題”中的條件“”去掉，其余條件不變．
①當點E與點F重合時，求AB的長；
②當點E與點C重合時，求EF的長．
（2）把“問題”中的條件“，”去掉，其余條件不變，當點C，D，E，F(xiàn)相鄰兩點間的距離相等時，求的值．
7．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）在中，，，點為線段上一動點，連接．

(1)如圖1，若，，求線段的長．
(2)如圖2，以為邊在上方作等邊，點是的中點，連接并延長，交的延長線于點．若，求證：．
(3)在取得最小值的條件下，以為邊在右側(cè)作等邊．點為所在直線上一點，將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)得到．連接，點為的中點，連接，當取最大值時，連接，將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)得到，請直接寫出此時的值．
8.如圖1，在矩形紙片ABCD中，AB＝3cm，AD＝5cm，折疊紙片使B點落在邊AD上的E處，折痕為PQ，過點E作EFAB交PQ于F，連接BF．
（1）求證：四邊形BFEP為菱形；
（2）當點E在AD邊上移動時，折痕的端點P、Q也隨之移動；
①當點Q與點C重合時（如圖2），求菱形BFEP的邊長；
②若限定P、Q分別在邊BA、BC上移動，求出點E在邊AD上移動的最大距離．
9．（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）探究式學習是新課程倡導的重要學習方式，某興趣小組擬做以下探究．
在中，，D是邊上一點，且（n為正整數(shù)），E是邊上的動點，過點D作的垂線交直線于點F．

【初步感知】
(1)如圖1，當時，興趣小組探究得出結(jié)論：，請寫出證明過程．
【深入探究】
(2)①如圖2，當，且點F在線段上時，試探究線段之間的數(shù)量關(guān)系，請寫出結(jié)論并證明；
②請通過類比、歸納、猜想，探究出線段之間數(shù)量關(guān)系的一般結(jié)論（直接寫出結(jié)論，不必證明）
【拓展運用】
(3)如圖3，連接，設(shè)的中點為M．若，求點E從點A運動到點C的過程中，點M運動的路徑長（用含n的代數(shù)式表示）．
10.（2021·山東中考真題）如圖，已知正方形ABCD，點E是BC邊上一點，將△ABE沿直線AE折疊，點B落在F處，連接BF并延長，與∠DAF的平分線相交于點H，與AE，CD分別相交于點G，M，連接HC
（1）求證：AG＝GH；
（2）若AB＝3，BE＝1，求點D到直線BH的距離；
（3）當點E在BC邊上（端點除外）運動時，∠BHC的大小是否變化？為什么？
11.（2021·湖南中考真題）如圖，在中，點為斜邊上一動點，將沿直線折疊，使得點的對應點為，連接，，，．
（1）如圖①，若，證明：．
（2）如圖②，若，，求的值．
（3）如圖③，若，是否存在點，使得．若存在，求此時的值；若不存在，請說明理由．
12.如圖1和圖2，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，tanC=34．點K在AC邊上，點M，N分別在AB，BC上，且AM＝CN＝2．點P從點M出發(fā)沿折線MB﹣BN勻速移動，到達點N時停止；而點Q在AC邊上隨P移動，且始終保持∠APQ＝∠B．
（1）當點P在BC上時，求點P與點A的最短距離；
（2）若點P在MB上，且PQ將△ABC的面積分成上下4：5兩部分時，求MP的長；
（3）設(shè)點P移動的路程為x，當0≤x≤3及3≤x≤9時，分別求點P到直線AC的距離（用含x的式子表示）；
（4）在點P處設(shè)計并安裝一掃描器，按定角∠APQ掃描△APQ區(qū)域（含邊界），掃描器隨點P從M到B再到N共用時36秒．若AK=94，請直接寫出點K被掃描到的總時長．
13.如圖，點P、Q分別是等邊△ABC邊AB、BC上的動點（端點除外），點P、點Q以相同的速度，同時從點A、點B出發(fā)．
（1）如圖1，連接AQ、CP．求證：△ABQ≌△CAP；
（2）如圖1，當點P、Q分別在AB、BC邊上運動時，AQ、CP相交于點M，∠QMC的大小是否變化？若變化，請說明理由；若不變，求出它的度數(shù)；
（3）如圖2，當點P、Q在AB、BC的延長線上運動時，直線AQ、CP相交于M，∠QMC的大小是否變化？若變化，請說明理由；若不變，求出它的度數(shù)．
14.如圖1，平面直角坐標系xOy中，等腰△ABC的底邊BC在x軸上，BC＝8，頂點A在y的正半軸上，OA＝2，一動點E從（3，0）出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿CB向左運動，到達OB的中點停止．另一動點F從點C出發(fā)，以相同的速度沿CB向左運動，到達點O停止．已知點E、F同時出發(fā)，以EF為邊作正方形EFGH，使正方形EFGH和△ABC在BC的同側(cè)，設(shè)運動的時間為t秒（t≥0）．
（1）當點H落在AC邊上時，求t的值；
（2）設(shè)正方形EFGH與△ABC重疊面積為S，請問是否存在t值，使得S=9136？若存在，求出t值；若不存在，請說明理由；
（3）如圖2，取AC的中點D，連結(jié)OD，當點E、F開始運動時，點M從點O出發(fā)，以每秒25個單位的速度沿OD﹣DC﹣CD﹣DO運動，到達點O停止運動．請問在點E的整個運動過程中，點M可能在正方形EFGH內(nèi)（含邊界）嗎？如果可能，求出點M在正方形EFGH內(nèi)（含邊界）的時長；若不可能，請說明理由．
15.已知：如圖，在四邊形ABCD和Rt△EBF中，AB∥CD，CD＞AB，點C在EB上，∠ABC＝∠EBF＝90°，AB＝BE＝8cm，BC＝BF＝6cm，延長DC交EF于點M．點P從點A出發(fā)，沿AC方向勻速運動，速度為2cm/s；同時，點Q從點M出發(fā)，沿MF方向勻速運動，速度為1cm/s．過點P作GH⊥AB于點H，交CD于點G．設(shè)運動時間為t（s）（0＜t＜5）．
解答下列問題：
（1）當t為何值時，點M在線段CQ的垂直平分線上？
（2）連接PQ，作QN⊥AF于點N，當四邊形PQNH為矩形時，求t的值；
（3）連接QC，QH，設(shè)四邊形QCGH的面積為S（cm2），求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（4）點P在運動過程中，是否存在某一時刻t，使點P在∠AFE的平分線上？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．
16.如圖，菱形ABCD的邊長為1，∠ABC＝60°，點E是邊AB上任意一點（端點除外），線段CE的垂直平分線交BD，CE分別于點F，G，AE，EF的中點分別為M，N．
（1）求證：AF＝EF；
（2）求MN+NG的最小值；
（3）當點E在AB上運動時，∠CEF的大小是否變化？為什么？
17.如圖1，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，動點P，Q分別從C點，A點同時以每秒1個單位長度的速度出發(fā)，且分別在邊CA，AB上沿C→A，A→B的方向運動，當點Q運動到點B時，P，Q兩點同時停止運動．設(shè)點P運動的時間為t（s），連接PQ，過點P作PE⊥PQ，PE與邊BC相交于點E，連接QE．
（1）如圖2，當t＝5s時，延長EP交邊AD于點F．求證：AF＝CE；
（2）在（1）的條件下，試探究線段AQ，QE，CE三者之間的等量關(guān)系，并加以證明；
（3）如圖3，當t＞94s時，延長EP交邊AD于點F，連接FQ，若FQ平分∠AFP，求AFCE的值．

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