在Rt△ACB和Rt△BEF中，若∠A=∠EBF，則△ACB∽BFE，則=;
若Rt△ACB和Rt△BEF是等腰直角三角形，則==1.
【例1】（2022?棗莊）如圖①，已知拋物線L：y＝x2+bx+c經(jīng)過點A（0，3），B（1，0），過點A作AC∥x軸交拋物線于點C，∠AOB的平分線交線段AC于點E，點P是拋物線上的一個動點．
（1）求拋物線的關(guān)系式；
（2）若動點P在直線OE下方的拋物線上，連結(jié)PE、PO，當(dāng)△OPE面積最大時，求出P點坐標(biāo)；
（3）將拋物線L向上平移h個單位長度，使平移后所得拋物線的頂點落在△OAE內(nèi)（包括△OAE的邊界），求h的取值范圍；
（4）如圖②，F(xiàn)是拋物線的對稱軸l上的一點，在拋物線上是否存在點P，使△POF成為以點P為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【例2】（2022?東營）如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣3（a≠0）與x軸交于點A（﹣1，0），點B（3，0），與y軸交于點C．
（1）求拋物線的表達式；
（2）在對稱軸上找一點Q，使△ACQ的周長最小，求點Q的坐標(biāo)；
（3）點P是拋物線對稱軸上的一點，點M是對稱軸左側(cè)拋物線上的一點，當(dāng)△PMB是以PB為腰的等腰直角三角形時，請直接寫出所有點M的坐標(biāo)．
【例3】（2022?吉林）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2+bx+c（b，c是常數(shù)）經(jīng)過點A（1，0），點B（0，3）．點P在此拋物線上，其橫坐標(biāo)為m．
（1）求此拋物線的解析式．
（2）當(dāng)點P在x軸上方時，結(jié)合圖象，直接寫出m的取值范圍．
（3）若此拋物線在點P左側(cè)部分（包括點P）的最低點的縱坐標(biāo)為2﹣m．
①求m的值．
②以PA為邊作等腰直角三角形PAQ，當(dāng)點Q在此拋物線的對稱軸上時，直接寫出點Q的坐標(biāo)．
1．（2022?石獅市模擬）已知拋物線y＝ax2﹣2ax+a+2與x軸交于A，B兩點（A在B的左側(cè)），與y軸正半軸交于點C，點P為該拋物線在第一象限內(nèi)的點．當(dāng)點P為該拋物線頂點時，△ABP為等腰直角三角形．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）過點P作PD⊥x軸于點E，交△ABP的外接圓于點D，求點D的縱坐標(biāo)；
（3）直線AP，BP分別與y軸交于M，N兩點，求的值．
2．（2022?福建模擬）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c與x軸相交于A，B兩點，點C（2，﹣4）在拋物線上，且△ABC是等腰直角三角形．
（1）求拋物線的解析式；
（2）過點D（2，0）的直線與拋物線交于點M，N，試問：以線段MN為直徑的圓是否過定點？證明你的結(jié)論．
3．（2022?碑林區(qū)校級四模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝﹣x2+mx+n與x軸交于點A，B（A在B的左側(cè)）．
（1）若拋物線的對稱軸為直線x＝﹣3，AB＝4．求拋物線的表達式；
（2）平移（1）中的拋物線，使平移后的拋物線經(jīng)過點O，且與x軸正半軸交于點C，記平移后的拋物線頂點為P，若△OCP是等腰直角三角形，求點P的坐標(biāo)．
4．（2021秋?福清市期末）已知拋物線y＝ax2+bx﹣2經(jīng)過（2，2），且頂點在y軸上．
（1）求拋物線解析式；
（2）直線y＝kx+c與拋物線交于A，B兩點．
①點P在拋物線上，當(dāng)k＝0，且△ABP為等腰直角三角形時，求c的值；
②設(shè)直線y＝kx+c交x軸于點M（m，0），線段AB的垂直平分線交y軸于點N，當(dāng)c＝1，m＞6時，求點N縱坐標(biāo)n的取值范圍．
5．（2022?集美區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線T：y＝a（x+4）（x﹣m）與x軸交于A，B兩點，m＞﹣3，點B在點A的右側(cè)，拋物線T的頂點為記為P．
（1）求點A和點B的坐標(biāo)；（用含m的代數(shù)式表示）
（2）若a＝m+3，且△ABP為等腰直角三角形，求拋物線T的解析式；
（3）將拋物線T進行平移得到拋物線T'，拋物線T'與x軸交于點B，C（4，0），拋物線T'的頂點記為Q．若0＜a＜，且點C在點B的右側(cè)，是否存在直線AP與CQ垂直的情形？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請說明理由．
6．（2022?城廂區(qū)模擬）拋物線y＝x2﹣（m+3）x+3m與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C（不與點O重合）．
（1）若點A在x軸的負半軸上，且△OBC為等腰直角三角形．
①求拋物線的解析式；
②在拋物線上是否存在一點D，使得點O為△BCD的外心，若存在，請求出點D的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．
（2）點P在拋物線對稱軸上，且點P的縱坐標(biāo)為﹣9，將直線PC向下平移n（1≤n≤4）個單位長度得到直線P′C′，若直線P′C′與拋物線有且只有一個交點，求△ABC面積的取值范圍．
7．（2022?將樂縣模擬）拋物線y＝ax2+bx+c與直線y＝﹣有唯一的公共點A，與直線y＝交于點B，C（C在B的右側(cè)），且△ABC是等腰直角三角形．過C作x軸的垂線，垂足為D（3，0）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）直線y＝2x與拋物線的交點為P，Q，且P在Q的左側(cè)．
（?。┣驪，Q兩點的坐標(biāo)；
（ⅱ）設(shè)直線y＝2x+m（m＞0）與拋物線的交點為M，N，求證：直線PM，QN，CD交于一點．
8．（2022?贛州模擬）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣3（x≤3）的圖象過點A（﹣1，0），B（3，0），C（0，c），記為L．將L沿直線x＝3翻折得到“部分拋物線”K，點A，C的對應(yīng)點分別為點A'，C'．
（1）求a，b，c的值；
（2）畫出“部分拋物線”K的圖象，并求出它的解析式；
（3）某同學(xué)把L和“部分拋物線”K看作一個整體，記為圖形“W”，若直線y＝m和圖形“W”只有兩個交點M，N（點M在點N的左側(cè)）．
①直接寫出m的取值范圍；
②若△MNB為等腰直角三角形，求m的值．
9．（2022?瓊海二模）如圖1，拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于點A（3，0）、B（﹣1，0），與y軸交于點C，點P為x軸上方拋物線上的動點，點F為y軸上的動點，連接PA，PF，AF．
（1）求該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)解析式；
（2）如圖1，當(dāng)點F的坐標(biāo)為（0，﹣4），求出此時△AFP面積的最大值；
（3）如圖2，是否存在點F，使得△AFP是以AP為腰的等腰直角三角形？若存在，求出所有點F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
10．（2022?虹口區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+6與x軸交于點A（﹣2，0）和點B（6，0），與y軸交于點C，頂點為D，聯(lián)結(jié)BC交拋物線的對稱軸l于點E．
（1）求拋物線的表達式；
（2）聯(lián)結(jié)CD、BD，點P是射線DE上的一點，如果S△PDB＝S△CDB，求點P的坐標(biāo)；
（3）點M是線段BE上的一點，點N是對稱軸l右側(cè)拋物線上的一點，如果△EMN是以EM為腰的等腰直角三角形，求點M的坐標(biāo)．
11．（2022?順城區(qū)模擬）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點A和B（5，0），與y軸交于點C（0，5）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）拋物線的對稱軸與x軸交于點M，與BC交于點F，點D是對稱軸上一點，當(dāng)點D關(guān)于直線BC的對稱點E在拋物線上時，求點E的坐標(biāo)；
（3）點P在拋物線的對稱軸上，點Q在直線BC上方的拋物線上，是否存在以O(shè)，P，Q為頂點的三角形是等腰直角三角形，若存在，請直接寫出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
12．（2022?襄城區(qū)模擬）拋物線y＝x2﹣（m+3）x+3m與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C．
（1）如圖1，若點A在x軸的負半軸上，△OBC為等腰直角三角形，求拋物線的解析式；
（2）在（1）的條件下，點D（﹣2，5）是拋物線上一點，點M為直線BC下方拋物線上一動點，令四邊形BDCM的面積為S，求S的最大值及此時點M的坐標(biāo)；
（3）若點P是拋物線對稱軸上一點，且點P的縱坐標(biāo)為﹣9，作直線PC，將直線PC向下平移n（n＞0）個單位長度得到直線P'C'，若直線P'C'與拋物線有且僅有一個交點．
①直接寫出n關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式；
②直接寫出當(dāng)1≤n≤5時m的取值范圍．
13．（2022?山西二模）綜合與探究
如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，且A，B兩點的坐標(biāo)分別是A（﹣2，0），B（8，0）．點P是拋物線上的一個動點，點P的橫坐標(biāo)為m，過點P作直線l⊥x軸，交直線AC于點G，交直線BC于點H．
（1）求拋物線的函數(shù)表達式及點C的坐標(biāo)．
（2）如果點D是拋物線的頂點，點P在點C和點D之間運動時，試判斷在拋物線的對稱軸上是否存在一點N，使得△NGH是等腰直角三角形，若存在，請求出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
（3）試探究在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得以點P，Q，B，C為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，請直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
14．（2022?長沙模擬）已知拋物線C1：y＝mx2+n與x軸于A，B兩點，與y軸交于點C，△ABC為等腰直角三角形，且n＝﹣1．
（1）求拋物線C1的解析式；
（2）將C1向上平移一個單位得到C2，點M、N為拋物線C2上的兩個動點，O為坐標(biāo)原點，且∠MON＝90°，連接點M、N，過點O作OE⊥MN于點E．求點E到y(tǒng)軸距離的最大值；
（3）如圖，若點F的坐標(biāo)為（0，﹣2），直線l分別交線段AF，BF（不含端點）于G，H兩點．若直線l與拋物線C1有且只有一個公共點，設(shè)點G的橫坐標(biāo)為b，點H的橫坐標(biāo)為a，則a﹣b是定值嗎？若是，請求出其定值，若不是，請說明理由．
15．（2022?永川區(qū)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y＝ax2+4x+c與直線AB相交于點A（0，1）和點B（3，4）．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）設(shè)C為直線AB上方的拋物線上一點，連接AC，BC，以AC，BC為鄰邊作平行四邊形ACBP，求四邊形ACBP面積的最大值；
（3）將該拋物線向左平移2個單位長度得到拋物線（a1≠0），平移后的拋物線與原拋物線相交于點D，是否存在點E使得△ADE是以AD為腰的等腰直角三角形？若存在，直接寫出點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
16．（2022?興城市一模）如圖，拋物線與x軸交于點A和點B（5，0），與y軸交于點C（0，﹣3），連接AC，BC，點E是對稱軸上的一個動點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)S△BCE＝2S△ABC時，求點E的坐標(biāo)；
（3）在拋物線上是否存在點P，使△BPE是以BE為斜邊的等腰直角三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
17．（2021?昆明模擬）已知拋物線：y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）過點（﹣1，0）與（0，﹣3）．直線y＝x﹣6交x軸、y軸分別于點A、B．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點P是拋物線上的任意一點．連接PA，PB，使得△PAB的面積最小，求△PAB的面積最小時，P的橫坐標(biāo)；
（3）作直線x＝t分別與拋物線y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）和直線y＝x﹣6交于點E，F(xiàn)，點C是拋物線對稱軸上的任意點，若△CEF是以點E或點F為直角頂點的等腰直角三角形，求點C的縱坐標(biāo)．
18（2021?新泰市一模）如圖，拋物線y＝ax2+bx+2交x軸于點A（﹣3，0）和點B（1，0），交y軸于點C．已知點D的坐標(biāo)為（﹣1，0），點P為第二象限內(nèi)拋物線上的一個動點，連接AP、PC、CD．
（1）求這個拋物線的表達式．
（2）點P為第二象限內(nèi)拋物線上的一個動點，求四邊形ADCP面積的最大值．
（3）①點M在平面內(nèi)，當(dāng)△CDM是以CM為斜邊的等腰直角三角形時，求出滿足條件的所有點M的坐標(biāo)；
②在①的條件下，點N在拋物線對稱軸上，當(dāng)∠MNC＝45°時，求出滿足條件的所有點N的坐標(biāo)．
19.（2021?廣安）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象與坐標(biāo)軸相交于A、B、C三點，其中A點坐標(biāo)為（3，0），B點坐標(biāo)為（﹣1，0），連接AC、BC．動點P從點A出發(fā)，在線段AC上以每秒個單位長度向點C做勻速運動；同時，動點Q從點B出發(fā)，在線段BA上以每秒1個單位長度向點A做勻速運動，當(dāng)其中一點到達終點時，另一點隨之停止運動，連接PQ，設(shè)運動時間為t秒．
（1）求b、c的值．
（2）在P、Q運動的過程中，當(dāng)t為何值時，四邊形BCPQ的面積最小，最小值為多少？
（3）在線段AC上方的拋物線上是否存在點M，使△MPQ是以點P為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，請求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
20.（2021?上海）已知拋物線y＝ax2+c（a≠0）經(jīng)過點P（3，0）、Q（1，4）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點A在直線PQ上，過點A作AB⊥x軸于點B，以AB為斜邊在其左側(cè)作等腰直角三角形ABC．
①當(dāng)Q與A重合時，求C到拋物線對稱軸的距離；
②若C在拋物線上，求C的坐標(biāo)．

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