數(shù)學(xué)因運(yùn)動而充滿活力，數(shù)學(xué)因變化而精彩紛呈，動態(tài)幾何問題是近年來中考的熱點問題，以運(yùn)動的觀點來探究幾何圖形的變化規(guī)律問題，動態(tài)問題的解答，一般要將動態(tài)問題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)問題，抓住運(yùn)動過程中的不變量，利用不變的關(guān)系和幾何性質(zhì)建立關(guān)于方程（組）、函數(shù)關(guān)系問題，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題。
在動態(tài)問題中，動點形成的等腰三角形問題是常見的一類題型，可以與旋轉(zhuǎn)、平移、對稱等幾何變化相結(jié)合，也可以與一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖象相結(jié)合，從而產(chǎn)生數(shù)與形的完美結(jié)合.解決動點產(chǎn)生的等腰三角形問題的重點和難點在于應(yīng)用分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行準(zhǔn)確的分類.

在討論等腰三角形的存在性問題時，一般都要先分類．
如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三種情況．
解等腰三角形的存在性問題，有幾何法和代數(shù)法，把幾何法和代數(shù)法相結(jié)合，可以使得解題又好又快．
幾何法一般分三步：分類、畫圖、計算．哪些題目適合用幾何法呢？
如果△ABC的∠A（的余弦值）是確定的，夾∠A的兩邊AB和AC可以用含x的式子表示出來，那么就用幾何法．
①如圖1，如果AB＝AC，直接列方程；②如圖2，如果BA＝BC，那么；③如圖3，如果CA＝CB，那么．
圖1 圖2 圖3
代數(shù)法一般也分三步：羅列三邊長，分類列方程，解方程并檢驗．
如果三角形的三個角都是不確定的，而三個頂點的坐標(biāo)可以用含x的式子表示出來，那么根據(jù)兩點間的距離公式，三邊長（的平方）就可以羅列出來．
，
然后根據(jù)分類：AB=AC，BA=BC，CA=CB列方程進(jìn)行計算.
【例1】（2022?百色）已知拋物線經(jīng)過A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）三點，O為坐標(biāo)原點，拋物線交正方形OBDC的邊BD于點E，點M為射線BD上一動點，連接OM，交BC于點F．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）求證：∠BOF＝∠BDF；
（3）是否存在點M，使△MDF為等腰三角形？若不存在，請說明理由；若存在，求ME的長．
【例2】（2022?河池）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線L1：y＝ax2+2x+b與x軸交于兩點A，B（3，0），與y軸交于點C（0，3）．
（1）求拋物線L1的函數(shù)解析式，并直接寫出頂點D的坐標(biāo)；
（2）如圖，連接BD，若點E在線段BD上運(yùn)動（不與B，D重合），過點E作EF⊥x軸于點F，設(shè)EF＝m，問：當(dāng)m為何值時，△BFE與△DEC的面積之和最??；
（3）若將拋物線L1繞點B旋轉(zhuǎn)180°得拋物線L2，其中C，D兩點的對稱點分別記作M，N．問：在拋物線L2的對稱軸上是否存在點P，使得以B，M，P為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【例3】（2022?山西）綜合與探究
如圖，二次函數(shù)y＝﹣x2+x+4的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C．點P是第一象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上的一個動點，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m．過點P作直線PD⊥x軸于點D，作直線BC交PD于點E．
（1）求A，B，C三點的坐標(biāo)，并直接寫出直線BC的函數(shù)表達(dá)式；
（2）當(dāng)△CEP是以PE為底邊的等腰三角形時，求點P的坐標(biāo)；
（3）連接AC，過點P作直線l∥AC，交y軸于點F，連接DF．試探究：在點P運(yùn)動的過程中，是否存在點P，使得CE＝FD，若存在，請直接寫出m的值；若不存在，請說明理由．
【例4】（2022?賀州）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c過點A（﹣1，0），B（3，0），與y軸交于點C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點P為拋物線對稱軸上一動點，當(dāng)△PCB是以BC為底邊的等腰三角形時，求點P的坐標(biāo)；
（3）在（2）條件下，是否存在點M為拋物線第一象限上的點，使得S△BCM＝S△BCP？若存在，求出點M的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
1．（2022春?豐城市校級期末）如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸相交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，與y軸相交于點C（0，﹣3）．
（1）求這個二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）若P是第四象限內(nèi)這個二次函數(shù)的圖象上任意一點，PH⊥x軸于點H，與BC交于點M，連接PC．
①求線段PM的最大值；
②當(dāng)△PCM是以PM為一腰的等腰三角形時，求點P的坐標(biāo)．
2．（2022?嵐山區(qū)一模）已知拋物線y＝ax2+bx+8與x軸交于A（﹣3，0），B（8，0）兩點，交y軸于點C，點P是拋物線上一個動點，且點P的橫坐標(biāo)為m．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，若點P在BC上方的拋物線上運(yùn)動（不與B、C重合），過點P作x軸的垂線，垂足為E，交BC于點D，過點P作BC的垂線，垂足為Q，若△PQD≌△BED，求m的值；
（3）如圖2，將直線BC沿y軸向下平移5個單位，交x軸于點M，交y軸于點N．過點P作x軸的垂線，交直線MN于點D，是否存在一點P，使△BMD是等腰三角形？若存在，請直接寫出符合條件的m的值；若不存在，請說明理由．
3．（2022?淮陰區(qū)校級一模）如圖，拋物線y＝2x2+bx+c過A（﹣1，0）、B（3，0）兩點，交y軸于點C，連接BC．
（1）求該拋物線的表達(dá)式和對稱軸；
（2）點D是拋物線對稱軸上一動點，當(dāng)△BCD是以BC為直角邊的直角三角形時，求所有符合條件的點D的坐標(biāo)；
（3）將拋物線在BC下方的圖象沿BC折疊后與y軸交于點E，求點E的坐標(biāo)；
（4）若點N是拋物線上位于對稱軸右側(cè)的一點，點M在拋物線的對稱軸上，當(dāng)△BMN為等邊三角形時，直接寫出直線AN的關(guān)系式．
4．（2022?仁壽縣模擬）如圖，直線y＝kx+n（k≠0）與x軸、y軸分別交于A、B兩點，過A，B兩點的拋物線y＝ax2+bx+4與x軸交于點C，且C（﹣1，0），A（4，0）．
（1）求拋物線和直線AB的解析式；
（2）若M點為x軸上一動點，當(dāng)△MAB是以AB為腰的等腰三角形時，求點M的坐標(biāo)．
（3）若點P是拋物線上A，B兩點之間的一個動點（不與A，B重合），則是否存在一點P，使△PAB的面積最大？若存在求出△PAB的最大面積；若不存在，試說明理由．
5．（2022?徐匯區(qū)模擬）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝kx+3分別交x軸、y軸于A，B兩點，經(jīng)過A，B兩點的拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸的正半軸相交于點C（1，0），點P為線段AB上的點，且點P的橫坐標(biāo)為m．
（1）求拋物線的解析式和直線AB的解析式；
（2）過P作y軸的平行線交拋物線于M，當(dāng)△PBM是MP為腰的等腰三角形時，求點P的坐標(biāo)；
（3）若頂點D在以PM、PB為鄰邊的平行四邊形的形內(nèi)（不含邊界），求m的取值范圍．
6．（2022?沭陽縣模擬）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝x2+2x﹣3與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C．
（1）求點A的坐標(biāo)；
（2）如圖2，連接AC，點D為線段AC下方拋物線上一動點，過點D作DE∥y軸交線段AC于E點，連接EO、AD，記△ADC的面積為S1，△AEO的面積為S2，求S1﹣S2的最大值及此時點D的坐標(biāo)；
（3）如圖3，連接CB，并將拋物線沿射線CB方向平移2個單位長度得到新拋物線，動點N在原拋物線的對稱軸上，點M為新拋物線與y軸的交點，當(dāng)△AMN為以AM為腰的等腰三角形時，請直接寫出點N的坐標(biāo)．
7．（2022春?北碚區(qū)校級期末）如圖，已知點（0，）在拋物線C1：y＝x2+bx+c上，且該拋物線與x軸正半軸有且只有一個交點A，與y軸交于點B，點O為坐標(biāo)原點．
（1）求拋物線C1的解析式；
（2）拋物線C1沿射線BA的方向平移個單位得到拋物線C2，如圖2，拋物線C2與x軸交于C，D兩點，與y軸交于點E，點M在拋物線C2上，且在線段ED的下方，作MN∥y軸交線段DE于點N，連接ON，記△EMD的面積為S1，△EON的面積為S2，求S1+2S2的最大值；
（3）如圖3，在（2）的條件下，拋物線C2的對稱軸與x軸交于點F，連接EF，點P在拋物線C2上且在對稱軸的右側(cè)，滿足∠PEC＝∠EFO．
①直接寫出P點坐標(biāo)；
②是否在拋物線C2的對稱軸上存在點H，使得△PDH為等腰三角形，若存在，請直接寫出H點的坐標(biāo)；若不存在請說明理由．
8．（2022?興寧區(qū)校級模擬）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c過點A、B，拋物線的對稱軸交x軸于點D，直線y＝﹣x+3與x軸交于點B，與y軸交于點C，且．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點M（t，0）是x軸上的一個動點，點N是拋物線對稱軸上的一個動點，當(dāng)DN＝2t，△MNB的面積為時，求出點M與點N的坐標(biāo)；
（3）在x軸上是否存在點P，使得△PDC為等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．
9．（2022?沈陽模擬）如圖1，拋物線y＝﹣x2+bx+3與y軸交于B點，與x軸交于A，C兩點，直線BC的解析式為y＝﹣x+m．
（1）求m與b的值；
（2）P是直線BC上方拋物線上一動點（不與點B，C重合），連接AP交BC于點E，交OB于點F．
①是否存在最大值？若存在，求出的最大值．并直接寫出此時點E的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
②當(dāng)△BEF為等腰三角形時，直接寫出點P的坐標(biāo)．
10．（2022?永昌縣一模）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A（1，0），B（﹣3，0）兩點，C是拋物線與y軸的交點，P是該拋物線上一動點．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）在（1）中拋物線的對稱軸上求一點M，使得△MAC是以AM為底的等腰三角形；求出點M的坐標(biāo)．
（3）設(shè)（1）中的拋物線頂點為D，對稱軸與直線BC交于點E，過拋物線上的動點P作x軸的垂線交線段BC于點Q，使得D、E、P、Q四點組成的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出P點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
11．（2021?無為市三模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2﹣4ax+3a（a＞0）與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），其頂點為C．
（1）求拋物線的對稱軸；
（2）當(dāng)△ABC為等邊三角形時，求a的值；
（3）直線l：y＝kx+b經(jīng)過點A，并與拋物線交于另一點D（4，3），點P為直線l下方拋物線上一點，過點P分別作PM∥y軸交直線l于點M，PN∥x軸交直線l于點N，記W＝PM+PN，求W的最大值．
12．（2021?廣東模擬）如圖，拋物線y＝x2+bx﹣1與x軸交于點A，B（點A在點B的左側(cè)），交y軸于點C，頂點為D，對稱軸為直線x＝﹣，連接AC，BC．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求△ABC的面積；
（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點E，使得△CDE為等腰三角形？如果存在，請直接寫出點E的坐標(biāo)，如果不存在，請說明理由．
13.（2021?建華區(qū)二模）綜合與探究
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣3x﹣3與x軸交于點A，與y軸交于點C．拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過A、C兩點，且與x軸交于另一點B（點B在點A右側(cè)）．
（1）求拋物線的解析式及點B坐標(biāo)；
（2）設(shè)該拋物線的頂點為點H，則S△BCH＝ ；
（3）若點M是線段BC上一動點，過點M的直線ED平行y軸交x軸于點D，交拋物線于點E，求ME長的最大值及點M的坐標(biāo)；
（4）在（3）的條件下：當(dāng)ME取得最大值時，在x軸上是否存在這樣的點P，使得以點M、點B、點P為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，請直接寫出所有點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
14．（2021?重慶模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2﹣x+c（a≠0）與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點，直線AC與y軸交于點C，與拋物線交于點D，OA＝OC．
（1）求該拋物線與直線AC的解析式；
（2）若點E是x軸下方拋物線上一動點，連接AE、CE．求△ACE面積的最大值及此時點E的坐標(biāo)；
（3）將原拋物線沿射線AD方向平移2個單位長度，得到新拋物線：y1＝a1x2+b1x+c1（a≠0），新拋物線與原拋物線交于點F，在直線AD上是否存在點P，使以點P、D、F為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．x1
15．（2021?玄武區(qū)二模）已知二次函數(shù)y＝x2﹣（2m+2）x+m2+2m（m是常數(shù)）．
（1）求證：不論m為何值，該二次函數(shù)圖象與x軸總有兩個公共點；
（2）二次函數(shù)的圖象與y軸交于點A，頂點為B，將二次函數(shù)的圖象沿y軸翻折，所得圖象的頂點為B1，若△ABB1是等邊三角形，求m的值．
16.（2021?朝陽）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸分別交于點A（﹣1，0）和點B，與y軸交于點C（0，3）．
（1）求拋物線的解析式及對稱軸；
（2）如圖1，點D與點C關(guān)于對稱軸對稱，點P在對稱軸上，若∠BPD＝90°，求點P的坐標(biāo)；
（3）點M是拋物線上位于對稱軸右側(cè)的點，點N在拋物線的對稱軸上，當(dāng)△BMN為等邊三角形時，請直接寫出點M的橫坐標(biāo)．
17.（2021?綏化）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+5（a≠0）與x軸交于點A（﹣5，0），點B（1，0）（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，點D為拋物線的頂點，連接BD．直線y＝經(jīng)過點A，且與y軸交于點E．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點N是拋物線上的一點，當(dāng)△BDN是以DN為腰的等腰三角形時，求點N的坐標(biāo)；
（3）點F為線段AE上的一點，點G為線段OA上的一點，連接FG，并延長FG與線段BD交于點H（點H在第一象限），當(dāng)∠EFG＝3∠BAE且HG＝2FG時，求出點F的坐標(biāo)．
18.（2021?宿遷）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（4，0），與y軸交于點C．連接AC，BC，點P在拋物線上運(yùn)動．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）如圖①，若點P在第四象限，點Q在PA的延長線上，當(dāng)∠CAQ＝∠CBA+45°時，求點P的坐標(biāo)；
（3）如圖②，若點P在第一象限，直線AP交BC于點F，過點P作x軸的垂線交BC于點H，當(dāng)△PFH為等腰三角形時，求線段PH的長．
19.（2021?懷化）如圖所示，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，且OA＝2，OB＝4，OC＝8，拋物線的對稱軸與直線BC交于點M，與x軸交于點N．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點P是對稱軸上的一個動點，是否存在以P、C、M為頂點的三角形與△MNB相似？若存在，求出點P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；
（3）D為CO的中點，一個動點G從D點出發(fā)，先到達(dá)x軸上的點E，再走到拋物線對稱軸上的點F，最后返回到點C．要使動點G走過的路程最短，請找出點E、F的位置，寫出坐標(biāo)，并求出最短路程．
（4）點Q是拋物線上位于x軸上方的一點，點R在x軸上，是否存在以點Q為直角頂點的等腰Rt△CQR？若存在，求出點Q的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．
20.（2021?南充）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+4（a≠0）與x軸交于點A（1，0）和B，與y軸交于點C，對稱軸為直線x＝．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，若點P是線段BC上的一個動點（不與點B，C重合），過點P作y軸的平行線交拋物線于點Q，連接OQ，當(dāng)線段PQ長度最大時，判斷四邊形OCPQ的形狀并說明理由；
（3）如圖2，在（2）的條件下，D是OC的中點，過點Q的直線與拋物線交于點E，且∠DQE＝2∠ODQ．在y軸上是否存在點F，使得△BEF為等腰三角形？若存在，求點F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

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