數(shù)學(xué)（理科）試題
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，其中第Ⅱ卷解答題又分必考題和選考題兩部分，選考題為二選一．考生作答時(shí)，將所有答案寫在答題卡上，在本試卷上答題無(wú)效、本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．
注意事項(xiàng)：
1．答題前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡規(guī)定的位置上．
2．選擇題答案使用2B鉛筆填涂，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)；非選擇題答案使用0.5毫米的黑色中性（簽字）筆或碳素筆書寫，書寫要工整、筆跡清楚，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上．
3．所有題目必須在答題卡上作答，在試卷上答題無(wú)效．
第Ⅰ卷（選擇題共60分）
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的．
1．設(shè)集合，則（ ）
A．B．C．D．
2．已知復(fù)數(shù)是的共軛復(fù)數(shù)，則（ ）
A．2B．3C．D．
3．已知向量與共線，則（ ）
A．B．C．D．
4．某單位職工參加某APP推出的“二十大知識(shí)問(wèn)答競(jìng)賽”活動(dòng)，參與者每人每天可以作答三次，每次作答20題，每題答對(duì)得5分，答錯(cuò)得0分，該單位從職工中隨機(jī)抽取了10位，他們一天中三次作答的得分情況如圖：根據(jù)圖，估計(jì)該單位職工答題情況，則下列說(shuō)法正確的是（ ）（從上到下分別為第三、二、一次作答得分情況）
A．該單位職工一天中各次作答的平均分保持一致
B．該單位職工一天中各次作答的正確率保持一致
C．該單位職工一天中第三次作答得分的標(biāo)準(zhǔn)差小于第一次的標(biāo)準(zhǔn)差
D．該單位職工一天中第三次作答得分的極差小于第二次的極差
5．已知函數(shù)為偶函數(shù)，則（ ）
A．B．C．D．1
6．過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則（ ）
A．B．C．D．
7．一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形鐵片，把圖中所示的陰影部分截下，然后用余下的四個(gè)全等的等腰三角形加工成一個(gè)叫正四棱錐形容器，則這個(gè)容器側(cè)棱與底面的夾角正切值為（ ）
A．B．C．D．
8．若函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
9．已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，點(diǎn)在上，是等腰三角形，且外接圓面積為，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．2C．D．
10．與都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，沿公共邊AB折疊成的二面角，若點(diǎn)A，B，C，D在同一球的球面上，則球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
11．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．在區(qū)間單調(diào)遞增
B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
C．的值域?yàn)?br>D．若關(guān)于的方程在區(qū)間有實(shí)數(shù)根，則所有根之和組成的集合為
12．?dāng)?shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合可以組成世間萬(wàn)物的絢麗畫面，優(yōu)美的曲線是數(shù)學(xué)形象美、對(duì)稱美、和諧美的產(chǎn)物，曲線為四葉玫瑰線，下列結(jié)論正確的是（ ）
（1）方程，表示的曲線在第二和第四象限；
（2）曲線上任一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離都不超過(guò)1；
（3）曲線構(gòu)成的四葉玫瑰線面積大于；
（4）曲線上有5個(gè)整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）．
A．（1）（2）（3）B．（1）（2）（4）C．（1）（3）（4）D．（1）（2）
第Ⅱ卷（非選擇題共90分）
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，滿分20分．
13．圍棋起源于中國(guó)，據(jù)先秦典籍《世本》記載：“堯造圍棋，丹朱善之”，圍棋至今已有四千多年歷史，蘊(yùn)含著中華文化的豐富內(nèi)涵．在某次國(guó)際比賽中，中國(guó)派出包含甲、乙在內(nèi)的5位棋手參加比賽，他們分成三個(gè)小組，則甲和乙在同一個(gè)小組的概率為______．
14．拋物線過(guò)點(diǎn)，則點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為______．
15．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，其中為銳角，的外接圓半徑為，且滿足，則邊等于______．
16．已知函數(shù)在上只有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______．
三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．
（一）必考題：共60分，每題滿分12分．
17．某學(xué)校為增強(qiáng)實(shí)力與影響力，大力招攬名師、建設(shè)校園硬件設(shè)施，近5年該校招生人數(shù)的數(shù)據(jù)如下表：
（1）由表中數(shù)據(jù)可看出，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以證明；
（2）求關(guān)于的回歸直線方程，并預(yù)測(cè)當(dāng)年份序號(hào)為7時(shí)該校的招生人數(shù)．
參考數(shù)據(jù)：．
參考公式：相關(guān)系數(shù)，回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為．
18．已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，，且成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前2024項(xiàng)和．
19．如圖，在三棱柱中，與的距離為，．
（1）證明：平面平面；
（2）若點(diǎn)在棱上，求直線與平面所成角的正弦值的最大值．
20．已知橢圓和圓經(jīng)過(guò)的右焦點(diǎn)，點(diǎn)，為的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，原點(diǎn)到直線的距離為．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)，是橢圓的左、右頂點(diǎn)，過(guò)的直線交于，兩點(diǎn)（其中點(diǎn)在軸上方），求與的面積之比的取值范圍．
21．已知函數(shù)，
（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）令函數(shù)，求證：．
（二）選考題：共10分，請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答．若多做，則按所做的第一題計(jì)分，作答時(shí)請(qǐng)先涂題號(hào)．
22．在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．
（1）求曲線的普通方程，和曲線的直角坐標(biāo)方程；
（2）若曲線和共有四個(gè)不同交點(diǎn)，求的取值范圍．
23．已知函數(shù)．
（1）若，求不等式的解集；
（2）若關(guān)于的不等式在在[1，2]上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
2024年寶雞市高考模擬檢測(cè)（三）
數(shù)學(xué)（理科）參考答案
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，滿分60分．
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，滿分20分．
13．14．15．16．
三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．第17-21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．
（一）必考題：共60分．
17．【詳解】（1）由題意知，，
所以
因?yàn)榕cl非常接近，故可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系．
（2），
，
所以關(guān)于的回歸直線方程為．
當(dāng)時(shí)，，由此預(yù)測(cè)當(dāng)年份序號(hào)為7時(shí)該校的招生人數(shù)為2.8千人。
18．【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可知，
．解得，所以；
（2）由（1）可知，，
對(duì)于任意，有，
所以，
故數(shù)列的前2024項(xiàng)和為．
19．【詳解】（1）
（1）取棱中點(diǎn)D，連接，因?yàn)?，所?br>因?yàn)槿庵?，所以，所以，所?br>因?yàn)椋?，?br>因?yàn)椋?，所以，同理?br>因?yàn)?，且平面，所以平面?br>因?yàn)槠矫?，所以平面平面?br>（2）
取中點(diǎn)，連接，取中點(diǎn)，連接，則，
由（1）知平面，所以平面因?yàn)槠矫?，平面，所以?br>因?yàn)?，則
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在的直線為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，
可設(shè)點(diǎn)，
，
設(shè)面的法向量為，得，
取，則，所以
設(shè)直線與平面所成角為，
則
若，則，
若，則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以直線與平面所成角的正弦值的最大值．
20．【詳解】（1）設(shè)橢圓焦距為，
由題意可得，有①
又因?yàn)橹本€方程為
所以②
聯(lián)立①②解得：，
故橢圓方程為
（2）①當(dāng)斜率不存在時(shí)，易知；
（2）當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)，，
由，得，顯然，
所以，
因?yàn)?，?br>所以，
因?yàn)?，又，設(shè)，則，解得且，
所以，
綜上可得的取值范圍為．
21．【詳解】：（1）由得
當(dāng)，時(shí)，，
所以，的單調(diào)遞增區(qū)間是
（2）不等式恒成立等價(jià)于在上恒成立，
令，則由可得，
可以看作是關(guān)于的一次函數(shù)，單調(diào)遞增，
令，對(duì)于，恒成立．
只需證明即可．
①當(dāng)，
則，在上單調(diào)遞減，又，
所以此時(shí)恒成立．
②當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，又，所以此時(shí)恒成立．
③當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
，所以在上存在唯一的，使得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在時(shí)單調(diào)遞減，在時(shí)單調(diào)遞增．
恒成立，故恒成立，
．
（3）由（2）可知
令，，，
可得到，
從而，
即得證．
22．【詳解】（1）曲線的普通方程為，表示一個(gè)以為圓心，2為半徑的圓：
曲線的極坐標(biāo)方程可化為，故對(duì)應(yīng)的直角坐標(biāo)方程為．
（2）將兩方程聯(lián)立得得，
由于兩方程表示的曲線均關(guān)于軸對(duì)稱，所以只要關(guān)于的方程有兩個(gè)大于0的不等實(shí)根，
即代表兩個(gè)曲線有4個(gè)不同交點(diǎn)，因此有
解得．
23．【詳解】（1）因?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，可化為，解得，
當(dāng)時(shí)，可化為，無(wú)解，
當(dāng)時(shí)，可化為，解得，
綜上：不等式解集為；
（2）因?yàn)樵赱1，2]上恒成立，即在[1，2]上恒成立，因?yàn)?，所以?br>故原不等式可化為，
即或，即或，所以只需或，
因?yàn)?，所，所以．年份序?hào)x
1
2
3
4
5
招生人數(shù)y/千人
0.8
1
1.3
1.7
2.2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A
D
B
C
B
C
D
A
A
C
B
D

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