數學（理科）試題
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，其中第Ⅱ卷解答題又分必考題和選考題兩部分，選考題為二選一．考生作答時，將所有答案寫在答題卡上，在本試卷上答題無效、本試卷滿分150分，考試時間120分鐘．
注意事項：
1．答題前，務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡規(guī)定的位置上．
2．選擇題答案使用2B鉛筆填涂，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號；非選擇題答案使用0.5毫米的黑色中性（簽字）筆或碳素筆書寫，書寫要工整、筆跡清楚，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上．
3．所有題目必須在答題卡上作答，在試卷上答題無效．
第Ⅰ卷（選擇題共60分）
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的．
1．設集合，則（）
A．B．C．D．
2．已知復數是的共軛復數，則（）
A．2B．3C．D．
3．已知向量與共線，則（）
A．B．C．D．
4．某單位職工參加某APP推出的“二十大知識問答競賽”活動，參與者每人每天可以作答三次，每次作答20題，每題答對得5分，答錯得0分，該單位從職工中隨機抽取了10位，他們一天中三次作答的得分情況如圖：根據圖，估計該單位職工答題情況，則下列說法正確的是（）（從上到下分別為第三、二、一次作答得分情況）
A．該單位職工一天中各次作答的平均分保持一致
B．該單位職工一天中各次作答的正確率保持一致
C．該單位職工一天中第三次作答得分的標準差小于第一次的標準差
D．該單位職工一天中第三次作答得分的極差小于第二次的極差
5．已知函數為偶函數，則（）
A．B．C．D．1
6．過點作圓的兩條切線，切點分別為，，則（）
A．B．C．D．
7．一個邊長為的正方形鐵片，把圖中所示的陰影部分截下，然后用余下的四個全等的等腰三角形加工成一個叫正四棱錐形容器，則這個容器側棱與底面的夾角正切值為（）
A．B．C．D．
8．若函數有兩個不同的極值點，則實數的取值范圍是（）
A．B．C．D．
9．已知雙曲線的左、右頂點分別為A、B，點在上，是等腰三角形，且外接圓面積為，則雙曲線的離心率為（）
A．B．2C．D．
10．與都是邊長為2的正三角形，沿公共邊AB折疊成的二面角，若點A，B，C，D在同一球的球面上，則球的表面積為（）
A．B．C．D．
11．已知函數，則下列結論正確的是（）
A．在區(qū)間單調遞增
B．的圖象關于直線對稱
C．的值域為
D．若關于的方程在區(qū)間有實數根，則所有根之和組成的集合為
12．數學中的數形結合可以組成世間萬物的絢麗畫面，優(yōu)美的曲線是數學形象美、對稱美、和諧美的產物，曲線為四葉玫瑰線，下列結論正確的是（）
（1）方程，表示的曲線在第二和第四象限；
（2）曲線上任一點到坐標原點的距離都不超過1；
（3）曲線構成的四葉玫瑰線面積大于；
（4）曲線上有5個整點（橫、縱坐標均為整數的點）．
A．（1）（2）（3）B．（1）（2）（4）C．（1）（3）（4）D．（1）（2）
第Ⅱ卷（非選擇題共90分）
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，滿分20分．
13．圍棋起源于中國，據先秦典籍《世本》記載：“堯造圍棋，丹朱善之”，圍棋至今已有四千多年歷史，蘊含著中華文化的豐富內涵．在某次國際比賽中，中國派出包含甲、乙在內的5位棋手參加比賽，他們分成三個小組，則甲和乙在同一個小組的概率為______．
14．拋物線過點，則點到拋物線準線的距離為______．
15．在中，角，，所對的邊分別為，，，其中為銳角，的外接圓半徑為，且滿足，則邊等于______．
16．已知函數在上只有兩個零點，則實數的取值范圍為______．
三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據要求作答．
（一）必考題：共60分，每題滿分12分．
17．某學校為增強實力與影響力，大力招攬名師、建設校園硬件設施，近5年該校招生人數的數據如下表：
（1）由表中數據可看出，可用線性回歸模型擬合與的關系，請用相關系數加以證明；
（2）求關于的回歸直線方程，并預測當年份序號為7時該校的招生人數．
參考數據：．
參考公式：相關系數，回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為．
18．已知數列是公差不為0的等差數列，，且成等比數列．
（1）求數列的通項公式；
（2）設，求數列的前2024項和．
19．如圖，在三棱柱中，與的距離為，．
（1）證明：平面平面；
（2）若點在棱上，求直線與平面所成角的正弦值的最大值．
20．已知橢圓和圓經過的右焦點，點，為的右頂點和上頂點，原點到直線的距離為．
（1）求橢圓的方程；
（2）設，是橢圓的左、右頂點，過的直線交于，兩點（其中點在軸上方），求與的面積之比的取值范圍．
21．已知函數，
（1）當時，求的單調遞增區(qū)間；
（2）若在上恒成立，求實數的取值范圍；
（3）令函數，求證：．
（二）選考題：共10分，請考生在第22、23題中任選一題作答．若多做，則按所做的第一題計分，作答時請先涂題號．
22．在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數）．以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．
（1）求曲線的普通方程，和曲線的直角坐標方程；
（2）若曲線和共有四個不同交點，求的取值范圍．
23．已知函數．
（1）若，求不等式的解集；
（2）若關于的不等式在在[1，2]上恒成立，求實數的取值范圍．
2024年寶雞市高考模擬檢測（三）
數學（理科）參考答案
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，滿分60分．
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，滿分20分．
13．14．15．16．
三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17-21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據要求作答．
（一）必考題：共60分．
17．【詳解】（1）由題意知，，
所以
因為與l非常接近，故可用線性回歸模型擬合與的關系．
（2），
，
所以關于的回歸直線方程為．
當時，，由此預測當年份序號為7時該校的招生人數為2.8千人。
18．【詳解】（1）設等差數列的公差為，由題意可知，
．解得，所以；
（2）由（1）可知，，
對于任意，有，
所以，
故數列的前2024項和為．
19．【詳解】（1）
（1）取棱中點D，連接，因為，所以
因為三棱柱，所以，所以，所以
因為，所以，；
因為，所以，所以，同理，
因為，且平面，所以平面，
因為平面，所以平面平面；
（2）
取中點，連接，取中點，連接，則，
由（1）知平面，所以平面因為平面，平面，所以，
因為，則
以為坐標原點，，，所在的直線為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，
可設點，
，
設面的法向量為，得，
取，則，所以
設直線與平面所成角為，
則
若，則，
若，則，
當且僅當，即時，等號成立，所以直線與平面所成角的正弦值的最大值．
20．【詳解】（1）設橢圓焦距為，
由題意可得，有①
又因為直線方程為
所以②
聯(lián)立①②解得：，
故橢圓方程為
（2）①當斜率不存在時，易知；
（2）當斜率存在時，設，，
由，得，顯然，
所以，
因為，，
所以，
因為，又，設，則，解得且，
所以，
綜上可得的取值范圍為．
21．【詳解】：（1）由得
當，時，，
所以，的單調遞增區(qū)間是
（2）不等式恒成立等價于在上恒成立，
令，則由可得，
可以看作是關于的一次函數，單調遞增，
令，對于，恒成立．
只需證明即可．
①當，
則，在上單調遞減，又，
所以此時恒成立．
②當時，恒成立，所以在上單調遞增，又，所以此時恒成立．
③當時，單調遞增，
，所以在上存在唯一的，使得，
當時，，當時，，
所以在時單調遞減，在時單調遞增．
恒成立，故恒成立，
．
（3）由（2）可知
令，，，
可得到，
從而，
即得證．
22．【詳解】（1）曲線的普通方程為，表示一個以為圓心，2為半徑的圓：
曲線的極坐標方程可化為，故對應的直角坐標方程為．
（2）將兩方程聯(lián)立得得，
由于兩方程表示的曲線均關于軸對稱，所以只要關于的方程有兩個大于0的不等實根，
即代表兩個曲線有4個不同交點，因此有
解得．
23．【詳解】（1）因為，所以
當時，可化為，解得，
當時，可化為，無解，
當時，可化為，解得，
綜上：不等式解集為；
（2）因為在[1，2]上恒成立，即在[1，2]上恒成立，因為，所以，
故原不等式可化為，
即或，即或，所以只需或，
因為，所，所以．年份序號x
1
2
3
4
5
招生人數y/千人
0.8
1
1.3
1.7
2.2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A
D
B
C
B
C
D
A
A
C
B
D

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