一、選擇題
1．已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則( )
A.B.C.D.2
2．已知，p：“”，q：“”，則p是q的( )
A.充分但不必要條件B.必要但不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
3．已知向量，，若，則( )
A.B.4C.D.20
4．已知函數(shù)，則的最小值為( )
A.0B.2C.D.3
5．從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任取3個(gè)連接構(gòu)成三角形，則能構(gòu)成正三角形的概率為( )
A.B.C.D.
6．已知拋物線E：的焦點(diǎn)為F，以F為圓心的圓與E交于A，B兩點(diǎn)，與E的準(zhǔn)線交于C、D兩點(diǎn)，若，則( )
A.3B.4C.6D.8
7．已知球與圓臺(tái)的底面、側(cè)面都相切，且圓臺(tái)母線與底面所成角為，則球表面積與圓臺(tái)側(cè)面積之比為( )
A.B.C.D.
8．已知函數(shù)的最小正周期為，則( )
A.在單調(diào)遞增B.是的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心
C.在的值域?yàn)镈.是的一條對(duì)稱(chēng)軸
二、多項(xiàng)選擇題
9．已知樣本數(shù)據(jù)：1，2，3，4，5，6，7，8，9，則( )
A.極差為8B.方差為6C.平均數(shù)為5D.80百分位數(shù)為7
10．已知函數(shù)，則( )
A.直線是曲線的切線
B.有兩個(gè)極值點(diǎn)
C.有三個(gè)零點(diǎn)
D.存在等差數(shù)列，滿(mǎn)足
11．在透明的密閉正三棱柱容器內(nèi)灌進(jìn)一些水，已知.如圖，當(dāng)豎直放置時(shí)，水面與地面距離為3.固定容器底面一邊AC于地面上，再將容器按如圖方向傾斜，至側(cè)面與地面重合的過(guò)程中，設(shè)水面所在平面為，則( )
A.水面形狀的變化：三角形梯形矩形
B.當(dāng)時(shí)，水面的面積為
C.當(dāng)時(shí)，水面與地面的距離為
D.當(dāng)側(cè)面與地面重合時(shí)，水面的面積為12
三、填空題
12．在的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)__________.（用數(shù)字作答）
13．在中，，，，D是AB邊上一點(diǎn)，，則___________.
14．已知橢圓E：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線交E于A，B兩點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，且，則E的方程為_(kāi)__________.
四、解答題
15．已知數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，且，.
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）記的前n項(xiàng)和為，求滿(mǎn)足的最大整數(shù)n.
16．某項(xiàng)測(cè)試共有8道題，每道題答對(duì)5分，不答或答錯(cuò)得0分.某人答對(duì)每道題的概率都是，每道試題答對(duì)或答錯(cuò)互不影響，設(shè)某人答對(duì)題目的個(gè)數(shù)為X.
（1）求此人得分的期望；
（2）指出此人答對(duì)幾道題的可能性最大，并說(shuō)明理由.
17．如圖，三棱柱中，側(cè)面為矩形，底面ABC為等邊三角形.
（1）證明：；
（2）若，，
①證明：平面平面ABC；
②求平面ABC與平面的夾角的余弦值.
18．已知雙曲線：（，），，，直線與有唯一公共點(diǎn)A.
（1）求的方程；
（2）若雙曲線的離心率e不大于2，過(guò)B的直線l與交于不同的兩點(diǎn)M，N.求直線與直線的斜率之和.
19．已知函數(shù)，.
（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）當(dāng)時(shí)，求的值域.
參考答案
1．答案：D
解析：，所以，，.
故選：D.
2．答案：B
解析：由，即，解得或，
所以p：“或”，
故由p推不出q，即充分性不成立，
由q推得出p，即必要性成立，
所以p是q的必要但不充分條件.
故選：B.
3．答案：A
解析：，
因?yàn)椋裕?br>所以，所以，
故選：A.
4．答案：C
解析：由已知得，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)即等號(hào)成立，
則的最小值為.
故選：C.
5．答案：A
解析：從八個(gè)頂點(diǎn)中任選三個(gè)構(gòu)成三角形的有種結(jié)果；
其中能構(gòu)成正三角形的有8種結(jié)果：
，，，，，，，，
故概率為：，
故選：A.
6．答案：D
解析：由拋物線方程知：，，
不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限，如圖所示，直線與x軸交于點(diǎn)E，
由，則，，
圓的半徑，所以，
由拋物線的定義可得：，所以，
又因?yàn)辄c(diǎn)A在拋物線上，所以，
.
故選：D.
7．答案：B
解析：設(shè)圓臺(tái)上下底面圓的半徑為，，母線為l，球的半徑為R，
取圓臺(tái)的軸截面，則四邊形為等腰梯形，
圓臺(tái)的外接球球心為O，則球心O在截面內(nèi)，
在截面內(nèi)，設(shè)圓O切梯形的邊、、、分別于點(diǎn)E、F、G、H，
由切線長(zhǎng)定理可得，，故，即；
由于，所以，，解得，，
；
故選：B.
8．答案：C
解析：因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，所以，
所以函數(shù)，
即，作出函數(shù)的圖象，
如下圖所示：
對(duì)于A，由圖可知，在單調(diào)有增有減，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，由圖象可知，無(wú)對(duì)稱(chēng)中心，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，由圖象可知，為偶函數(shù)，當(dāng)，
，所以，
所以，所以在的值域?yàn)椋蔆正確；
對(duì)于D，由圖象可知，的對(duì)稱(chēng)軸為，，故D錯(cuò)誤.
故選：C.
9．答案：AC
解析：A：極差等于最大值減去最小值，故，故A正確；
C：平均數(shù)為，故C正確；
B：由方差公式計(jì)算可得，故B錯(cuò)誤；
D：第80百分位數(shù)為，為8，故D錯(cuò)誤；
故選：AC.
10．答案：BCD
解析：，
A：令，而，
由點(diǎn)斜式可知此時(shí)切線方程為；
，由點(diǎn)斜式可知此時(shí)切線方程為；
所以直線不是曲線的切線，故A錯(cuò)誤；
B：令，解得，所以函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故時(shí)取得極大值，取得極小值；故B正確；
C：因?yàn)椋?，所以由單調(diào)性可知函數(shù)由三個(gè)零點(diǎn)，故C正確；
D：取，則，故D正確；
故選：BCD.
11．答案：ABC
解析：由題知，正三棱柱的體積，
對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)容器按題設(shè)方向傾斜至?xí)r，水面形狀是三角形，再傾斜時(shí)，水面形狀是梯形，直到側(cè)面與地面重合時(shí)，水面形狀是矩形，所以選項(xiàng)A正確，
對(duì)于選項(xiàng)B，如圖1，當(dāng)容器按題設(shè)方向傾斜至?xí)r，設(shè)水面與棱的交點(diǎn)為M，
設(shè)，又三棱柱為正三棱柱，取中點(diǎn)E，連接，
易知，，又，面，
所以面，所以到平面的距離為，
所以，解得，
此時(shí)水面圖形為，又，，
取中點(diǎn)，則，且，所以，故選項(xiàng)B正確，
對(duì)于選項(xiàng)C，如圖2，當(dāng)容器按題設(shè)方向傾斜至?xí)r，設(shè)水面與棱，的交點(diǎn)為F，G，
易知，設(shè)，由，得到，
因?yàn)樗媸冀K與地面平行，始終與水面平行，且始終在地面上，
所以水面與地面的距離，即到平面的距離，
取中點(diǎn)Q，連接，，設(shè)交于K，連接，
易知，，又，面，所以面，
又，所以面，過(guò)Q作于R，連接，
因?yàn)槊?，所以，又，面?br>所以，即為水平面到地面的距離，
如圖3，過(guò)K作于P，易知，所以，
得到，又，所以，
故選項(xiàng)C正確，
對(duì)于選項(xiàng)D，如圖4，當(dāng)側(cè)面與地面重合時(shí)，水面為矩形，設(shè)，
則由，解得，所以，
故，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤，
12．答案：
解析：因?yàn)檎归_(kāi)式的通項(xiàng)公式為：，，
令，解得，
所以常數(shù)項(xiàng)為：.
故答案為：.
13．答案：
解析：因?yàn)?，，?br>所以由余弦定理可得：，
因?yàn)椋裕?br>所以在中，所以.
故答案為：.
14．答案：
解析：由于是線段的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，
所以，故，
設(shè)橢圓焦距為，則，，將代入橢圓方程可得，
故，因此，，
是線段的中點(diǎn)，所以，故，
，，
由得，
故，解得，
又，故，，
故橢圓方程為，
故答案為：.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）設(shè)的公比為q，則，
因?yàn)椋裕?br>依題意可得，即，
整理得，
解得或（舍去），
所以.
（2）由（1）可知，
故
，
顯然，隨著n的增大而增大，
，
，
所以滿(mǎn)足的最大整數(shù).
16．答案：（1）10
（2）此人答對(duì)2道題的可能性最大；理由見(jiàn)解析
解析：（1）某人答對(duì)每道題的概率都是，則答對(duì)題目的個(gè)數(shù)X服從二項(xiàng)分布，
即，，由于每道題答對(duì)得5分，
所以此人答題得分為，因此，在此項(xiàng)測(cè)試中，
此人答題得分的期望為.
（2）設(shè)此人答對(duì)k道題的可能性為，，
記，則
，，
當(dāng)時(shí)，，隨k的增加而增加，即；
當(dāng)時(shí)，，隨k的增加而減小，即；
所以當(dāng)時(shí)，最大，因此此人答對(duì)2道題的可能性最大.
17．答案：（1）證明見(jiàn)解析
（2）①證明見(jiàn)解析
②平面ABC與平面的夾角的余弦值為
解析：（1）取，的中點(diǎn)為O，M，連接，，，
由于側(cè)面為矩形，所以，，，
由于底面ABC為等邊三角形，所以，
，平面，
所以平面，
由于，，故四邊形為平行四邊形，
故平面，故，
又O是中點(diǎn)，所以；
（2）①由于，，O是中點(diǎn)，
所以，，
又且，所以，，
由于，，故為的平面角，
由于，所以，
故平面平面ABC；
②由于，，兩兩垂直，故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
，，，，
則，，，
設(shè)平面的法向量為，
則，取，則，
由于平面ABC的法向量為，
故
故平面ABC與平面的夾角的余弦值為.
18．答案：（1）或
（2）4
解析：（1）依題意可得，又直線的方程為，即，
由，消去y整理得，
當(dāng)時(shí)，又，解得，，
所以雙曲線的方程為；
當(dāng)，所以，即，
又，所以，，此時(shí)，符合題意，
所以雙曲線的方程為；
綜上可得雙曲線的方程為或.
（2）當(dāng)，時(shí)（舍去）；
當(dāng)，時(shí)，符合題意，
所以雙曲線的方程為，
設(shè)，，顯然直線l的斜率存在，設(shè)直線l為，
由，消去y整理得，
由，可得，
所以，，
所以
，
所以直線與直線的斜率之和為4.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）由得，所以，
所以所求切線方程為，即；
（2）時(shí)，，
，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，故，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，
接下來(lái)證明：當(dāng)時(shí)，，
令，，又，
故當(dāng)，，，單調(diào)遞減，
當(dāng)，，，單調(diào)遞增，
故有最小值，因此，即，
，
令，，
故單調(diào)遞增，即，
所以，故在單調(diào)遞增，
綜上可得在單調(diào)遞增，，
當(dāng)，，而，因此，
所以的值域?yàn)?

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