一、單選題
1．已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則=（ ）
A．B．C．D．2
2．已知，：“”，：“”，則是的（ ）
A．充分但不必要條件B．必要但不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
3．已知向量，，若，則（ ）
A．B．4C．D．20
4．已知函數(shù)，則的最小值為（ ）
A．0B．2C．D．3
5．從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任取3個(gè)連接構(gòu)成三角形，則能構(gòu)成正三角形的概率為（ ）
A．B．C．D．
6．已知拋物線E：的焦點(diǎn)為F，以F為圓心的圓與E交于A，B兩點(diǎn)，與E的準(zhǔn)線交于C、D兩點(diǎn)，若，則（ ）
A．3B．4C．6D．8
7．已知球與圓臺(tái)的底面、側(cè)面都相切，且圓臺(tái)母線與底面所成角為，則球表面積與圓臺(tái)側(cè)面積之比為（ ）
A．2：3B．3：4C．7：8D．6：13
8．已知函數(shù)的最小正周期為π，則（ ）
A．在單調(diào)遞增B．是的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心
C．在的值域?yàn)镈．是的一條對(duì)稱(chēng)軸
二、多選題
9．已知樣本數(shù)據(jù)：1，2，3，4，5，6，7，8，9，則（ ）
A．極差為8B．方差為6C．平均數(shù)為5D．80百分位數(shù)為7
10．已知函數(shù)，則（ ）
A．直線是曲線的切線
B．有兩個(gè)極值點(diǎn)
C．有三個(gè)零點(diǎn)
D．存在等差數(shù)列，滿(mǎn)足
11．在透明的密閉正三棱柱容器內(nèi)灌進(jìn)一些水，已知．如圖，當(dāng)豎直放置時(shí)，水面與地面距離為3．固定容器底面一邊AC于地面上，再將容器按如圖方向傾斜，至側(cè)面與地面重合的過(guò)程中，設(shè)水面所在平面為α，則（ ）

A．水面形狀的變化：三角形?梯形?矩形
B．當(dāng)時(shí)，水面的面積為
C．當(dāng)時(shí)，水面與地面的距離為
D．當(dāng)側(cè)面與地面重合時(shí)，水面的面積為12
三、填空題
12．在的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為 ．（用數(shù)字作答）
13．在中，，D是AB邊上一點(diǎn)，，則 ．
14．已知橢圓E：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線交E于A，B兩點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，且，則E的方程為 ．
四、解答題
15．已知數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，且，．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)記的前n項(xiàng)和為，求滿(mǎn)足的最大整數(shù)n．
16．某項(xiàng)測(cè)試共有8道題，每道題答對(duì)5分，不答或答錯(cuò)得0分．某人答對(duì)每道題的概率都是，每道試題答對(duì)或答錯(cuò)互不影響，設(shè)某人答對(duì)題目的個(gè)數(shù)為X．
(1)求此人得分的期望；
(2)指出此人答對(duì)幾道題的可能性最大，并說(shuō)明理由．
17．如圖，三棱柱中，側(cè)面為矩形，底面ABC為等邊三角形．
(1)證明：；
(2)若，，
①證明：平面平面ABC；
②求平面ABC與平面的夾角的余弦值．
18．已知雙曲線：，，，直線與有唯一公共點(diǎn)．
(1)求的方程：
(2)若雙曲線的離心率不大于，過(guò)的直線與交于不同的兩點(diǎn)，．求直線與直線的斜率之和．
19．已知函數(shù)，，
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程：
(2)當(dāng)時(shí)，求的值域．
參考答案：
1．D
【分析】
根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則求出，，復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算即可求解.
【詳解】,所以，，.
故選：D
2．B
【分析】
首先解一元二次方程，再根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.
【詳解】由，即，解得或，
所以：“或”，
故由推不出，即充分性不成立，
由推得出，即必要性成立，
所以是的必要但不充分條件.
故選：B
3．A
【分析】
由向量垂直的性質(zhì)和向量的模長(zhǎng)計(jì)算可得.
【詳解】，
因?yàn)椋裕?br>所以，所以，
故選：A
4．C
【分析】利用基本不等式可得答案.
【詳解】由已知得，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)即等號(hào)成立，
則的最小值為.
故選：C.
5．A
【分析】利用排列組合以及古典概型的概率公式，即可解出．
【詳解】從八個(gè)頂點(diǎn)中任選三個(gè)構(gòu)成三角形的有種結(jié)果；
其中能構(gòu)成正三角形的有8種結(jié)果：
故概率為：，
故選：A．
.
6．D
【分析】設(shè)點(diǎn)在第一象限，由，可確定圓的半徑，利用拋物線的定義求出，即可求得結(jié)果.
【詳解】由拋物線方程知：，，
不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，如圖所示，直線與軸交于點(diǎn)，

由，則，
圓的半徑，所以，
由拋物線的定義可得：，所以，
又因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，
．
故選：D.
7．B
【分析】
作出圓臺(tái)的軸截面，利用切線長(zhǎng)定理可得母線與半徑的關(guān)系；結(jié)合60°可得圓臺(tái)的上下半徑以及球的半徑的關(guān)系，即可利用面積公式求解.
【詳解】
設(shè)圓臺(tái)上下底面圓的半徑為，母線為球的半徑為
取圓臺(tái)的軸截面，則四邊形為等腰梯形，
圓臺(tái)的外接球球心為，則球心在截面內(nèi)，
在截面內(nèi)，設(shè)圓切梯形的邊、、、分別于點(diǎn)、、、，
由切線長(zhǎng)定理可得，，故，即；
由于,所以，解得
；
故選：B．

8．C
【分析】
由函數(shù)的最小正周期為π，求出，再代入化簡(jiǎn)，畫(huà)出的圖象，再對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為π，所以，
所以函數(shù)
即，作出函數(shù)的圖象，
如下圖所示：
對(duì)于A，由圖可知，在單調(diào)有增有減，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，由圖象可知，無(wú)對(duì)稱(chēng)中心，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，由圖象可知，為偶函數(shù)，當(dāng)，
，所以，
所以，所以在的值域?yàn)?，故C正確；
對(duì)于D，由圖象可知，的對(duì)稱(chēng)軸為，故D錯(cuò)誤.
故選：C.
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)睛：由函數(shù)的最小正周期求出，再代入化簡(jiǎn)，畫(huà)出的圖象，再由三角函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)稱(chēng)性，值域?qū)x項(xiàng)一一判斷即可得出答案.
9．AC
【分析】
由極差，方差，平均數(shù)，第百分位數(shù)的計(jì)算逐一判斷即可.
【詳解】A：極差等于最大值減去最小值，故，故A正確；
C：平均數(shù)為，故C正確；
B：由方差公式計(jì)算可得，故B錯(cuò)誤；
D：第80百分位數(shù)為，為，故D錯(cuò)誤；
故選：AC.
10．BCD
【分析】
由導(dǎo)數(shù)的意義可知斜率為時(shí)，求出切點(diǎn)，再由點(diǎn)斜式判斷A錯(cuò)誤；求導(dǎo)后由單調(diào)性可判斷B正確；代入極值點(diǎn)后可判斷C正確；由等差中項(xiàng)可判斷D正確.
【詳解】，
A：令，而，
由點(diǎn)斜式可知此時(shí)切線方程為；，
由點(diǎn)斜式可知此時(shí)切線方程為；所以直線不是曲線的切線，故A錯(cuò)誤；
B：令，解得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故時(shí)取得極大值，取得極小值；故B正確；
C：因?yàn)?，所以由單調(diào)性可知函數(shù)由三個(gè)極值點(diǎn)，故C正確；
D：假設(shè)存在，即，令，可得，方程有解，故D正確；
故選：BCD
11．ABC
【分析】根據(jù)題設(shè)條件得到，正三棱柱的體積，再結(jié)合各個(gè)選項(xiàng)的條件，逐一分析判斷，即可得出結(jié)果.
【詳解】由題知，正三棱柱的體積，
對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)容器按題設(shè)方向傾斜至?xí)r，水面形狀是三角形，再傾斜時(shí)，水面形狀是梯形，直到側(cè)面與地面重合時(shí)，水面形狀是矩形，所以選項(xiàng)A正確，
對(duì)于選項(xiàng)B，如圖1，當(dāng)容器按題設(shè)方向傾斜至?xí)r，設(shè)水面與棱的交點(diǎn)為，
設(shè)，又三棱柱為正三棱柱，取中點(diǎn)，連接，
易知，又，面，
所以面，所以到平面的距離為，
所以，解得，
此時(shí)水面圖形為，又，，
取中點(diǎn)，則，且，所以，故選項(xiàng)B正確，

對(duì)于選項(xiàng)C，如圖2，當(dāng)容器按題設(shè)方向傾斜至?xí)r，設(shè)水面與棱的交點(diǎn)為，
易知，設(shè)，由，得到，
因?yàn)樗媸冀K與地面平行，始終與水面平行，且始終在地面上，
所以水面與地面的距離，即到平面的距離，
取中點(diǎn)，連接，設(shè)交于，連接，
易知，又，面，所以面，
又，所以面，過(guò)作于，連接，
因?yàn)槊?，所以，又，面?br>所以，即為水平面到地面的距離，
如圖3，過(guò)作于，易知，所以，
得到，又，所以，
故選項(xiàng)C正確，

對(duì)于選項(xiàng)D，如圖4，當(dāng)側(cè)面與地面重合時(shí)，水面為矩形，設(shè)，
則由，解得，所以，
故，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤，

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴：本題的關(guān)鍵在于選項(xiàng)C，利用容器傾斜時(shí)始終與地面平行，邊始終與水面平行，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成到水面的距離，再利用幾何關(guān)系，即可求出結(jié)果.
12．
【分析】先由二項(xiàng)式定理求出的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，再求出常數(shù)項(xiàng)即可．
【詳解】因?yàn)檎归_(kāi)式的通項(xiàng)公式為：，
令，解得，
所以常數(shù)項(xiàng)為：.
故答案為：
13．
【分析】
由余弦定理求出，即可得，在中，所以，代入即可得出答案.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以由余弦定理可得：，
因?yàn)椋裕?br>所以在中，所以.
故答案為：
14．
【分析】
根據(jù)中點(diǎn)關(guān)系可得平行，進(jìn)而可得，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.
【詳解】由于是線段的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，
所以,故,
設(shè)橢圓焦距為，則，將代入橢圓方程可得，
故，因此,
是線段的中點(diǎn)，所以，故，
，
由得，
故，解得，
又，故，，
故橢圓方程為，
故答案為：

15．(1)
(2)
【分析】
（1）直接利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式列方程組解出公比，從而可求出通項(xiàng)公式；
（2）由（1）得，然后用分組求和法即可求，分別計(jì)算和，即可確定的值.
【詳解】（1）設(shè)的公比為，則，
因?yàn)?，所以?br>依題意可得，即，
整理得，
解得或（舍去），
所以.
（2）由（1）可知，
故
顯然，隨著的增大而增大，
，
，
所以滿(mǎn)足的最大整數(shù).
16．(1)
(2)此人答對(duì)道題的可能性最大；理由見(jiàn)解析.
【分析】（1）根據(jù)已知條件，確定，得分為，求即可；
（2）根據(jù)二項(xiàng)分布概率公式有，通過(guò)作商法求出，與比較大小即可確定在時(shí)取最大值.
【詳解】（1）某人答對(duì)每道題的概率都是，則答對(duì)題目的個(gè)數(shù)服從二項(xiàng)分布，
即，，由于每道題答對(duì)得分，
所以此人答題得分為，因此，在此項(xiàng)測(cè)試中，
此人答題得分的期望為.
（2）設(shè)此人答對(duì)道題的可能性為，，
記，則
，
當(dāng)時(shí)，，隨的增加而增加，即；
當(dāng)時(shí)，，隨的增加而減小，即；
所以當(dāng)時(shí)，最大，因此此人答對(duì)道題的可能性最大.
17．(1)證明見(jiàn)解析
(2)證明見(jiàn)解析，平面ABC與平面的夾角的余弦值為
【分析】
（1）根據(jù)線線垂直可證明平面 ，即可結(jié)合中點(diǎn)求證，
（2）根據(jù)線線垂直可得二面角的平面角，即可根據(jù)長(zhǎng)度關(guān)系判斷二面角為直角，進(jìn)而可求證，
（3）建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量的夾角即可求解.
【詳解】（1）取的中點(diǎn)為，連接,
由于側(cè)面為矩形，所以,
由于底面ABC為等邊三角形,所以,
平面，
所以平面 ，
由于故四邊形為平行四邊形，
故平面 ，故，
又是中點(diǎn)，所以，
（2）①由于是中點(diǎn)，所以,
又且，所以，
由于，,故為的平面角，
由于,所以，
故平面平面ABC；
②由于兩兩垂直，故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
,
則
設(shè)平面的法向量為，
則，取，則，
由于平面ABC的法向量為,
故
故平面ABC與平面的夾角的余弦值為
18．(1)或
(2)
【分析】
（1）依題意可得，再求出直線的方程，聯(lián)立直線與曲線方程，消元，分和兩種情況討論，分別求出，，即可求出曲線方程；
（2）首先由離心率分析雙曲線的方程為，設(shè)，，直線為，聯(lián)立直線與曲線方程，消元、列出韋達(dá)定理，再利用斜率公式計(jì)算可得.
【詳解】（1）依題意可得，又直線的方程為，即，
由，消去整理得，
當(dāng)時(shí)，又，解得，，
所以雙曲線的方程為；
當(dāng)，所以，即，
又，所以，，此時(shí)，符合題意，
所以雙曲線的方程為；
綜上可得雙曲線的方程為或.
（2）
當(dāng)，時(shí)（舍去）；
當(dāng)，時(shí)，符合題意，
所以雙曲線的方程為，
設(shè)，，顯然直線的斜率存在，設(shè)直線為，
由，消去整理得，
由，可得，
所以，，
所以
，
所以直線與直線的斜率之和為.
【點(diǎn)睛】
方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為、；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；
（3）列出韋達(dá)定理；
（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、的形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.
19．(1)
(2)
【分析】
（1）求導(dǎo)即可根據(jù)點(diǎn)斜式求解直線方程，
（2）分類(lèi)討論和時(shí)，導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，構(gòu)造函數(shù)和，利用導(dǎo)數(shù)判斷導(dǎo)函數(shù)正負(fù)，進(jìn)而確定函數(shù)的單調(diào)性即可求解.
【詳解】（1）由得，所以，
所以所求切線方程為，即
（2）時(shí)，，
，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，故單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，
接下來(lái)證明：當(dāng)時(shí)，，
令又，
故當(dāng)單調(diào)遞減，
當(dāng)單調(diào)遞增，
故有最小值，因此，即，
，
令，
故單調(diào)遞增，即，
所以，故在單調(diào)遞增，
綜上可得在單調(diào)遞增，，
當(dāng)而，因此，
所以的值域?yàn)?br>【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的綜合問(wèn)題的求解策略：
1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；
2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題．
3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問(wèn)題，就要考慮利用分類(lèi)討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問(wèn)題的區(qū)別．

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