一、選擇題
1．集合,,則( )
A.B.C.D.
2．過點和點的直線的斜率為( )
A.-2B.C.D.2
3．設m,n是不同的直線,、、是不同的平面,有以下四個命題：①;② ;③ ;④ .其中正確的命題是( )
A.①④B.②③C.①③D.②④
4．已知函數(shù)在區(qū)間上是單調函數(shù),則實數(shù)k的取值范圍是( )
A.B.
C.D.
5．已知某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為( )
A.B.C.D.2
6．設,,,則( )
A.B.C.D.
7．已知函數(shù)則的值為( )
A.B.C.-2D.3
8．若函數(shù)的定義域為,則的定義域是( )
A.B.C.D.
9．如圖,在長方體中,,,則與平面所成角的正弦值為( )
A.B.C.D.
10．若函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值的和為5,則函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值之差是( )
A.1B.3C.4D.5
11．若過定點且斜率為k的直線與圓在第一象限內(nèi)的部分有交點,則k的取值范圍是( )
A.B.C.D.
12．若定義在R上的偶函數(shù)滿足,且時,,則方程的零點個數(shù)是( )
A.2個B.3個C.4個D.6個
二、填空題
13．已知直線與直線互相平行,則____________.
14．已知冪函數(shù)的圖象過點,則___________．
15．已知函數(shù),在R上是增函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍是___________.
16．若三棱錐的所有頂點都在球O的球面上,平面ABC,,,且三棱錐的體積為,則球O的體積為___________.
三、解答題
17．回答下列問題.
（1）求值
（2）設,求函數(shù)的最大值和最小值.
18．如圖,在四棱錐中,平面平面ABCD,,,E、F分別是AP、AD的中點.
求證：（1）直線平面PCD;
（2）平面平面PAD.
19．已知函數(shù)滿足,且．
（1）求函數(shù)的解析式;
（2）若在上的最大值為2,求實數(shù)的值．
20．如圖所示,已知以點為圓心的圓與直線相切,過點斜率為k的直線l與圓A相交于M,N兩點,點Q是的中點.
（1）求圓A的方程;
（2）當時,求直線的方程.
21．已知函數(shù)
（1）當時,求的定義域、值域.
（2）當時,判斷的單調性,并用定義證明.
22．如下圖,在三棱錐中,O,E分別是,的中點,,.
（1）求證：平面;
（2）求異面直線與所成角的余弦值;
（3）求點E到平面的距離.
參考答案
1．答案：B
解析：,,,.
故選：B.
2．答案：A
解析：根據(jù)斜率公式可得：
過點和點的直線的斜率.
故選：A.
3．答案：C
解析：若,,則根據(jù)面面平行的性質定理和判定定理可得,故①正確;
若,,則或m與相交或m在平面內(nèi),故②不正確;
因為,所以內(nèi)有一直線l與m平行,而,則,根據(jù)面面垂直的判定定理可知：,故③正確;
若,,則或,故④不正確,
故選：C.
4．答案：A
解析：函數(shù)的對稱軸為.
要使函數(shù)在區(qū)間上是單調函數(shù),只需或,
解得：或.
故選：A.
5．答案：B
解析：由三視圖可知,該幾何體是底面是上底為,下底為,高為的直角梯形,
高為的四棱錐,
.
故選：B
6．答案：C
解析：依題意,,,
則,而,
因此,即選項C正確.
故選：C.
7．答案：A
解析：因為
所以,
所以.
故選：A.
8．答案：C
解析：由于函數(shù)的定義域為,
對于函數(shù),則有,解得.
因此,函數(shù)的定義域是.
故選：C.
9．答案：D
解析：以D點為坐標原點,以DA、DC、所在的直線為x軸、y軸、z軸,
建立空間直角坐標系則,,,
,,且為平面的一個法向量．
．與平面所成角的正弦值為.
10．答案：B
解析：依題意有,,所以在區(qū)間的值域為,
故最大值和最小值之差是3.
11．答案：A
解析：
12．答案：C
解析：由可知是周期為2的偶函數(shù),
作函數(shù)與函數(shù)的圖像如下：

方程的零點個數(shù)即函數(shù)與函數(shù)的交點個數(shù),
由圖像可知,有四個不同的交點,
故選：C.
13．答案：4
解析：由直線與直線互相平行,得,
解得.
故答案為：4.
14．答案：
解析：設冪函數(shù)為為常數(shù)),因為冪函數(shù)過點,
所以,則,
所以,
故答案：.
15．答案：
解析：由函數(shù)在R上是增函數(shù)可得,
解得.
故答案為：.
16．答案：
解析：平面ABC,,,且三棱錐的體積為,
即,解得,
由題可得,,兩兩互相垂直,
對幾何體補圖成如圖所示的長方體,不共面的四點確定一個球,
所以長方體與三棱錐有同一個外接球,球的直徑為長方體體對角線長,
即,
所以外接球半徑,
體積.
故答案為：.
17．答案：（1）19;
（2）最大值為5,最小值為3.
解析：（1）
（2）令,因為,所以.
則函數(shù)可化為.
因為在上單調遞減,在上單調遞增,所以
當,即時,最小;
當,即時,最大.
所以函數(shù)的最大值為5,最小值為3.
18．答案：（1）證明見解析;
（2）證明見解析.
解析：（1）因為E、F分別是AP、AD的中點,
,又平面,面,
直線平面PCD.
（2）,,F是AD的中點,
又平面平面ABCD,面面,面,
所以,平面平面PAD.
19．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）令利用換元法令,則,
由求得,所以;
根據(jù)（1）有,對稱軸為,函數(shù)左減右增,最大值在兩端取得,、,當時,,當時,,,.
,則,又,
,即.
（2）,
圖像對稱軸為,
在上是減函數(shù),在上是增函數(shù),
在上的最大值為或,
又,,
當時,,當時,,,
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）設圓A的半徑為r,
因為圓A與直線相切,所以,
所以圓A的方程為;
（2）設直線l的方程為,即,
連接,,如圖所示,則,
因為,,所以,
則由,得,所以直線的方程為;
綜上：圓A的標準方程為：,直線l的方程為.
21．答案：（1）的定義域為,值域為;
（2）在上為減函數(shù),證明見解析
解析：（1）要求函數(shù)的定義域,只需: ,即.
因為,由指數(shù)函數(shù)的性質可得：,∴函數(shù)的定義域為.
因為,并且,所以∴函數(shù)的值域為.
（2）在上為減函數(shù).
任取,且.
因為,則,所以,
所以,即.
故函數(shù)在上為減函數(shù).
22．答案：（1）證明見解析;
（2）;
（3）.
解析：（1）連接OC.
,O是的中點,
,且.
又,是的中點,
,且.
在中,,所以,即.
又,平面,平面, 平面.
（2）取的中點M,連接,,,
由E是的中點,知,所以直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成角.
在中, ,.
OM是直角三角形AOC斜邊上的中線, .
在中,由余弦定理可得：
,
所以異面直線AB與CD所成角的余弦值為.
（3）設點E到平面的距離為h.
,,
在中, ,,
.
,,
.
即點E到平面的距離為.

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