數(shù)學(xué)試題參考答案
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．5 13． 14．
8. [解析]
為的零點
為圖象的對稱軸
，

又
當(dāng)時,
,
當(dāng)時，，故有2個零點,不符合，舍去.
當(dāng)時，

當(dāng)時，，此時有且僅有1個零點，
符合，選B.
[解析]
因為拋物線C：與圓O：交于A，B兩點，且，
則第一象限內(nèi)的交點A的縱坐標(biāo)為，代入圓方程得橫坐標(biāo)為2，即，
所以，，即拋物線方程為，焦點為.
設(shè)，對選項A，由得，
則，又因為，解得，
所以直線l的斜率為，故A選項錯誤；
對選項B，由拋物線定義得，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，
因此的最小值為，B正確；
對選項C，如圖，不妨設(shè)在第一象限，
設(shè)
設(shè)直線，聯(lián)立拋物線的方程消，
得，
又，
所以，
，為鈍角.
故C選項正確；
對選項D，
，，設(shè)，則，
由拋物線的定義可得，
，
又，
則，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最小值為，
故D選項正確.
故選：BCD.
14.[解析]依題意得與只有一個交點，即兩曲線相切，
則只有一個解，
，化簡得，將其代入，
得，
，即，.
，
則，設(shè)，
則，
在單調(diào)遞減，,
的取值范圍是.
四、解答題：本題共5小題，共77分．
15．（本題滿分13分）
解：（1）由得，，3分
點在函數(shù)的圖象上，
5分
顯然數(shù)列為等比數(shù)列，首項為1，公比為3，則，
7分
10分
. 13分
16．（本題滿分15分）
解：（1）在四棱臺中, 延長后必交于一點，
故四點共面， 1分
因為平面,平面,故, 2分
連接，因為底面四邊形為菱形，故,3分
平面,
故平面,5分
因為平面,所以. 6分
（2）過點A作的垂線，交與點N，以所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）,
設(shè)，則，
由于，故,9分
則,，
則，，，
記平面的法向量為,
則,即，令，
則，即，
平面的法向量可取為，
則. 14分
所以二面角的余弦值為. 15分
17．（本題滿分15分）
解：（1）由題意，估計從該品牌芯片的生產(chǎn)線中隨機抽取100件的平均數(shù)為：
．
即 2分
，所以，
因為質(zhì)量指標(biāo)值近似服從正態(tài)分布，
所以
，4分
所以從生產(chǎn)線中任取一件芯片，該芯片為等品的概率約為．
5分
（2）（i），所以所取樣本的個數(shù)為20件，質(zhì)量指標(biāo)值在的芯片件數(shù)為10件，故可能取的值為0，1，2，3，相應(yīng)的概率為：
，，
，，
隨機變量的分布列為：
9分
所以的數(shù)學(xué)期望. 10分
（ii）設(shè)每箱產(chǎn)品中A等品有件，則每箱產(chǎn)品中等品有件，
設(shè)每箱產(chǎn)品的利潤為元，
由題意知：，
由（1）知：每箱零件中A等品的概率為，
所以， 所以，
所以


. 12分
令
得，，
又，
所以當(dāng)時，取得最大值. 14分
所以當(dāng)時，每箱產(chǎn)品利潤最大. 15分
18．（本題滿分17分）
（1）設(shè)動圓的半徑為，由題意得圓和圓的半徑分別為，，
因為與，都內(nèi)切，所以，，
所以，2分
又，，故，
所以圓心的軌跡是以，為焦點的橢圓，
設(shè)的方程為：，則，，
即所以，
故的方程為：.4分
（2）（i）證明：設(shè)，，，
由題意中的性質(zhì)可得，切線方程為，
切線方程為，……………………5分
因為兩條切線都經(jīng)過點，所以，，
故直線的方程為：，7分
所以，.
又，，所以直線. 9分
（ii）由（i）知直線的方程為：，過定點，
設(shè)直線的方程為：，
聯(lián)立，整理得，
由韋達定理得，11分
又，所以直線的方程為，12分
令得，
，14分
所以，設(shè),同理得.
不妨設(shè).
所以
，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時取等號.
16分
所以， 17分
19．（本題滿分17分）
解：（1）設(shè)函數(shù)為恒切函數(shù)，則有，
使且，即，
解得，故函數(shù)是恒切函數(shù). 4分
（2）（i）由函數(shù)為恒切函數(shù)可知，
存在，使得且，
即解得，，6分
設(shè)，，
當(dāng)時，遞增；當(dāng)時，遞減. 8分
，即實數(shù)的取值范圍是. 9分
（ii）當(dāng)時，，10分
函數(shù)為恒切函數(shù). 又，
所以存在，使得，即. 11分
令,則，
當(dāng)時，遞減；當(dāng)時，遞增.
所以當(dāng)時，
，，
故在上存在唯一，
使得，即. 13分
又由
得
由得，所以. 15分
又，所以當(dāng)時，有唯一零點，
故由得，即. 16分
17分
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
選項
B
C
A
C
B
D
D
B
題號
9
10
11
選項
BC
ACD
BCD
0
1
2
3

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