1.答題前,學(xué)生務(wù)必在練習(xí)卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的學(xué)校、準(zhǔn)考證號、姓名。學(xué)生要認(rèn)真核對答題卡上粘貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號、姓名”與學(xué)生本人準(zhǔn)考證號、姓名是否一致。
2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上。寫在本練習(xí)卷上無效。
3.答題結(jié)束后,學(xué)生必須將練習(xí)卷和答題卡一并交回。
一、選擇題:本題共8小題,每題5分,共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.樣本數(shù)據(jù)2,2,3,3,3,4,4,5,5,6的中位數(shù)和眾數(shù)分別為
A.3和3B.3.5和3C.4和3D.3.5和2,3,4,5
2.已知集合.若,則的取值范圍是
A.B.C.D.
3.設(shè)表示兩條不同的直線,表示平面,則以下結(jié)論正確的是
A.若,則B.若,則
C.若,則D.若,則
4.記為等比數(shù)列的前項(xiàng)積.設(shè)命題命題,則是的
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
5. 2024海峓兩岸各民族歡度“三月三”暨福籽同心愛中華福建省第十一屆“三月三”畬族文化節(jié)活動在寧德隆重開幕.海峽兩岸各民族同胞齊聚于此,與當(dāng)?shù)厝罕姽餐瑲g慶“三月三”,暢敘兩岸情.在活動現(xiàn)場,為了解不同時段的入口游客人流量,從上午10點(diǎn)開始第一次向指揮中心反饋入口人流量,以后每過一個小時反饋一次.指揮中心統(tǒng)計了前5次的數(shù)據(jù),其中為第次入口人流量數(shù)據(jù)(單位:百人),由此得到關(guān)于的回歸方程.已知,根據(jù)回歸方程(參考數(shù)據(jù):),可頂測下午4點(diǎn)時入口游客的人流量為
A.9.6B.11.0C.11.4D.12.0
6.已知圓臺的上底半徑為3,下底半徑為6,母線長為6,則以下結(jié)論錯誤的是
A.圓臺側(cè)面積為B.圓臺外接球的半徑為6
C.圓臺的體積為D.圓臺側(cè)面上的點(diǎn)到下底圓心的最短距離為
7.已知拋物線的焦點(diǎn)為是拋物線上的兩個動點(diǎn).若,則的最大值為
A.B.C.D.
8.函數(shù),若關(guān)于的不等式有且僅有三個整數(shù)解,則的取值范圍是
A.B.C.D.
二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.
9.已知是兩個復(fù)數(shù),下列結(jié)論中正確的是
A.若,則B.若為實(shí)數(shù),則
C.若均為純虛數(shù),則為實(shí)數(shù)D.若為實(shí)數(shù),則均為純虛數(shù)
10.函數(shù).若存在,使得為奇函數(shù),則實(shí)數(shù)的值可以是
A.B.C.D.
11.若定義在上的函數(shù)滿足,且值域?yàn)?則以下結(jié)論正確的是
A.B.C.為偶函數(shù)D.的圖象關(guān)于中心對稱
三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.
12.已知是兩個單位向量,若在上的投影向量為,則與的夾角為______________.
13.中國古代歷法是中國勞動人民智慧的結(jié)晶,《尚書·堯典》記載“期三百有六旬有六日,以閏月定四時成歲”,指出閏年有366天.元代郭守敬創(chuàng)造了中國古代最精密的歷法——《授時歷》,規(guī)定一年為365.2425天,和現(xiàn)行公歷格里高利歷是一樣的,但比它早了300多年.現(xiàn)行公歷閏年是如下確定的:①能被4整除,但不能被100整除;②能被400整除,滿足以上兩個條件之一的年份均為閏年,則公元年,距上一個閏年的年數(shù)為_____.
14.已知曲線和圓有2個交點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____________.
四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.(13分)
在中,角的對邊分別為.已知,且.
(1)若,垂足為,求BD的長;
(2)若,求的長.
16.(15分)
在平行四邊形ABCD中,.將沿AC翻折到的位置,使得.
(1)證明;平面APC;
(2)在線段AD上是否存在點(diǎn),使得二面角的余弦值為?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
17.(15分)
已知函數(shù)的圖象在處的切線過點(diǎn).
(1)求在上的最小值;
(2)判斷在內(nèi)零點(diǎn)的個數(shù),并說明理由.
18.(17分)
桌上有除顏色外其他沒有任何區(qū)別的7個黑球和7個白球,現(xiàn)將3個黑球和4個白球裝入不透明的袋中.第一次從袋中任取一個球,若取出的是黑球則放入一個白球,若取出的是白球則放入一個黑球,本次操作完成.第二次起每次取球、放球的規(guī)則和第一次相同.
(1)求第2次取出黑球的概率;
(2)記操作完成次后袋中黑球的個數(shù)為變量.
(i)求的概率分布列及數(shù)學(xué)期望;
(ii)求的數(shù)學(xué)期望.
19.(17分)
坐標(biāo)平面上的點(diǎn)也可表示為,其中為軸非負(fù)半軸繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)到與OP重合的旋轉(zhuǎn)角.將點(diǎn)繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)后得到點(diǎn),這個過程稱之為旋轉(zhuǎn)變換.
(1)證明旋轉(zhuǎn)變換公式:并利用該公式,求點(diǎn)繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)旋轉(zhuǎn)變換建立了平面上的每個點(diǎn)到的對應(yīng)關(guān)系.利用旋轉(zhuǎn)變換,可將曲線通過旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為我們熟悉的曲線進(jìn)行研究.
(i)求將曲線繞原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)后得到的曲線方程,并求該曲線的離心率;
(ii)已知曲線,點(diǎn),直線AB交曲線于,兩點(diǎn),作的外角平分線交直線AB于點(diǎn),求|FM|的最小值.
2024屆寧德市普通高中畢業(yè)班五月份質(zhì)量檢查
數(shù)學(xué)試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)
說明：
1.本解答指出了每題要考察的主要知識和能力，給出一種或幾種解法供參考．如果考生的解法與給出的解法不同，可根據(jù)試題的主要考察內(nèi)容比照評分標(biāo)準(zhǔn)確定相應(yīng)的評分細(xì)則．
2.對解答題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤，但整體解決方案可行且后續(xù)步驟沒有出現(xiàn)推理或計算錯誤，則錯誤部分依細(xì)則扣分，并根據(jù)對后續(xù)步驟影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過后續(xù)部分正確解答應(yīng)給分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯誤，就不再給分．
3.解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)．
4.解答題只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，填空題不給中間分．
一、選擇題：本題考查基礎(chǔ)知識和基本運(yùn)算，每小題5分，滿分40分．
1．B2．D3．D4．B5．B6．C7．C8．A
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．AC10．BD11．ABC
11.解法一：對于選項(xiàng),令,得,所以或.
令,得,由的值域?yàn)?
所以當(dāng)時,得,不合題意,所以.正確.
對于選項(xiàng),令,得,所以或.
令,得,得，
因?yàn)榈闹涤驗(yàn)?所以.
令,得,所以或.
因?yàn)橹涤驗(yàn)?所以正確.
對于選項(xiàng),令,得,因?yàn)?
則,所以函數(shù)為偶函數(shù),圖像關(guān)于對稱,正確.
對于選項(xiàng),由值域和偶函數(shù),錯誤.選.
解法二:由,則,
得,
設(shè),得,可設(shè)(為正偶數(shù)),,
不妨設(shè),可判斷正確,錯誤.選.
三、填空題:本題考查基礎(chǔ)知識和基本運(yùn)算,每小題5分,滿分20分.
12.13.514.
四、解答題：本大題共6小題，滿分70分，解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
15.本題主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面積公式等基礎(chǔ)知識，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想等，考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)基礎(chǔ)性與綜合性．滿分13分．
解:(1)由及余弦定理,得
…………………………………………………………分
由及正弦定理,
得,.…………………………………………………………分
因?yàn)榈拿娣e
所以.…………………………………………………….6分
(2)由得①,.……………………………………………………7分
因?yàn)?
所以,②……………………………………………………………8分
由①②得,………………………………………………………9分
又,故,.………………………………………………………………10分
從而.……………………………………………………….11分
得,………………………………………………………………12分
所以.……………………………………………………………….13分
16.本小題主要考查空間解三角形、直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系,空間角的計算等基礎(chǔ)知識,考查空間想象能力、邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等,考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng),體現(xiàn)基礎(chǔ)性與綜合性.滿分15分.
解:(1)證明:翻折前,因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形,,
在三角形ACD中,由正弦定理可得………………….1分
,又,故..……………………………………………………2分
所以,即,.…………………………………………………………………………3分
因?yàn)?所以,則有...………………………………5分
平面APC,所以平面APC,.…………………………………………6分
(2)由(1)CD⊥平面APC,且平面ADC,
所以平面平面APC.
在平行四邊形ABCD中,,即,
故平面ADC...………………………………………………………………………………7分
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,則,…………………………………………………8分
設(shè)，其中，
則,.……………9分
設(shè)平面MCP的法向量為,
則,取,則,
所以,,………………………………………………………11分
易知平面CPA的一個法向量為,………………………………………………12分
則,整理可得,
因?yàn)?解得,………………………………………………………………………14分
因此,線段PC上存在點(diǎn),使二面角的余弦值為,且.…………15分
17.本小題主要考查導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、函數(shù)的零點(diǎn)和不等式等基礎(chǔ)知識,考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力等,考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想、數(shù)形結(jié)合思想,考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng),體現(xiàn)基礎(chǔ)性與綜合性.滿分15分.
解法一:(1),..…………………………………………2分
又,所以切線方程為，..……………………………………3分
又切線過點(diǎn),
得,所以..…………………………………………………………………………4分
所以,
當(dāng)時,,所以在上單調(diào)遞減,……………………………………6分
所以的最小值為.………………………………………………………7分
(2)判斷在零點(diǎn)個數(shù),等價于判斷方程根的個數(shù),
等價于判斷方程根的個數(shù). ………………………………………………………8分
令
,令,則,得..……………………10分
當(dāng)時,在單調(diào)遞增;
當(dāng)時,在單調(diào)遞減.……………………12分,
(或)
所以時,方程有2根,
所以在有2個零點(diǎn). .……………………………….15分
解法二:(1)，……………………………….2分
所以切線方程為,………………………………………………………….3分
因此切點(diǎn)為,
得,所以,.………………………………………………………….4分
所以,
當(dāng)時,,所以在上單調(diào)遞減,…………………………6分
所以的最小值為…………………………………………………….7分
(2)由(1)得,………………………………….8分
令,則在上為減函數(shù),…………………………….9分
,
所以在上必有一個零點(diǎn),使得,…………………………10分
從而當(dāng)時,,當(dāng)時,,
所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減..…………………………11分
又,…………………………12分
所以在上必有一個零點(diǎn),使得.……………………………………………12分
當(dāng)時,,即,此時單調(diào)遞增;
當(dāng)時,,即,此時單調(diào)遞減..………………………………13分
又因?yàn)?
所以在上有一個零點(diǎn),在上有一個零點(diǎn).……………………….14分
綜上,在有且只有2個零點(diǎn).………………………………….15分
18.本小題主要考查全概率公式、概率的分布列及期望、遞推數(shù)列及等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識,考查數(shù)學(xué)建模能力、運(yùn)算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力、應(yīng)用意識,考查或然與必然思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想,考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng),體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性與創(chuàng)新性.滿分17分.
(1)記第次取出的球是黑球?yàn)槭录?
則,………………………………………………………………1分
根據(jù)全概率公式得
所以第2次取出黑球的概率為.
(2)(i)由題知得的可能取值為:1,3,5………………………………………………….5分
則;………………8分
故的分布列為:
所以.…………………………….9分
(ii)設(shè)第次完成操作后袋中黑球數(shù)為
則
……………………………………13分
(也可以按如下方法得出遞推關(guān)系:
(若通過特殊性入手得出遞推關(guān)系得２分)
即,由此得,………………………………15分
又因?yàn)?…………………………………………………………………16分
所以,即.…………………………………17分
19.本題主要考查兩角和與差的正、余弦公式、雙曲線、橢圓、直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想,考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng),體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性與創(chuàng)新性,滿分17分.
(1)證明：設(shè),由題意可知
所以..……………………………………………………2分
故當(dāng),且時,
所以..………………………………………….4分
(2)(i)設(shè)曲線上的任一點(diǎn)繞原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)后得到的點(diǎn)為,可視為繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)后得到的點(diǎn),
所以..…………………………………………6分
由點(diǎn)在曲線上,所以
整理得,.………………………………………………8分
即曲線繞原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)后得到的曲線方程為,
該曲線為雙曲線,離心率為2. …………………………………………………………………….9分
(ii)由曲線,可知當(dāng)點(diǎn)滿足曲線方程時,點(diǎn)也滿足該曲線方程,故曲線關(guān)于直線和對稱,10分設(shè)曲線上任一點(diǎn)繞原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)后得到的點(diǎn)為,
則..………………………………………………11分
由點(diǎn)在曲線上,所以,
即旋轉(zhuǎn)后得到的曲線方程為橢圓:,其右焦點(diǎn)坐標(biāo)為,………………………12分
(1)可知,其為點(diǎn)繞原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)后得到的點(diǎn),
故點(diǎn)為原橢圓的右焦點(diǎn).
由FM為的外角平分線，
所以,故………………13分
設(shè)，
同理,…………………………………………………14分
設(shè),顯然在線段AB的延長線或反向延長線上,
所以,.………………………………………………………15分
所以,
,得………………………………………………16分
所以點(diǎn)的軌跡為直線,故到的最短距離為………………17分1
3
5

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