江蘇省南京市聯(lián)合體2023-2024學(xué)年八年級下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1．本試卷共6頁．全卷滿分100分．考試時間為100分鐘．考生答題全部答在答題卡上，答在本試卷上無效．
2．請認真核對監(jiān)考教師在答題卡上所粘貼條形碼的姓名、考試證號是否與本人相符合，再將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在答題卡及本試卷上．
3．答選擇題必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)的答案標號涂黑．如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．答非選擇題必須用0.5毫米黑色墨水簽字筆寫在答題卡上的指定位置，在其他位置答題一律無效．
4．作圖必須用2B鉛筆作答，并請加黑加粗，描寫清楚．
一、選擇題（本大題共8小題，每小題2分，共16分．在每小題所給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的，請將正確選項的序號填涂在答題卡上）
1. 下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了軸對稱圖形的定義、中心對稱圖形的定義；平面內(nèi)，一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形，就叫做軸對稱圖形；在平面內(nèi)，把一個圖形繞著某個點旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形．據(jù)此進行逐項分析，即可作答．
【詳解】解：A、這個圖形是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故該選項是錯誤的；
B、這個圖形即是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故該選項是正確的；
C、這個圖形是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形，故該選項是錯誤的；
D、這個圖形是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形，故該選項是錯誤的；
故選：B．
2. 下列調(diào)查中，適合普查的是（）
A. 了解某班學(xué)生“米跑”的成績B. 調(diào)查某批次汽車的抗撞擊能力
C. 了解公民保護環(huán)境的意識D. 檢測折疊屏手機能承受的彎折次數(shù)
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了普查與抽樣調(diào)查．熟練掌握普查與抽樣調(diào)查的適用范圍是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)普查與抽樣調(diào)查的適用范圍判斷即可．
【詳解】解：由題意知，了解某班學(xué)生“50米跑”的成績，適合普查，故A符合要求；
調(diào)查某批次汽車的抗撞擊能力，適合抽樣調(diào)查，故B不符合要求；
了解公民保護環(huán)境的意識，適合抽樣調(diào)查，故C不符合要求；
檢測折疊屏手機能承受的彎折次數(shù)，適合抽樣調(diào)查，故D不符合要求；
故選：A．
3. 下列生活中的事件，屬于不可能事件的是（）
A. 3天內(nèi)將下雨B. 打開電視，正在播新聞
C. 買一張電影票，座位號是偶數(shù)D. 明天太陽從西方升起
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機事件的概念．必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，據(jù)此逐一判斷即可．
【詳解】解：A、3天內(nèi)將下雨，是隨機事件，不符合題意；
B、打開電視，正在播新聞，是隨機事件，不符合題意；
C、買一張電影票，座位號是偶數(shù)號，是隨機事件，不符合題意；
D、明天太陽從西方升起，是不可能事件，符合題意；
故選D．
4. 在平面直角坐標系中，把點P（-3,2）繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)180°，所得到的對應(yīng)點P的坐標為（）
A. （3，-2）B. （2，-3）C. （-3，-2）D. （3,2）
【答案】D
【解析】
【詳解】根據(jù)題意得，點P關(guān)于原點的對稱點是點P′，
∵P點坐標為（-3，2），
∴點P′的坐標（3，-2）．
故選：D．
【點睛】考點：坐標與圖形變化-旋轉(zhuǎn)．
5. 在四邊形ABCD中，．如果再添加一個條件可證明四邊形是正方形，那么這個條件可以是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)有三個內(nèi)角為直角且有一組鄰邊相等的四邊形是正方形進行判定即可得到答案．
【詳解】∵，有三個內(nèi)角為直角且有一組鄰邊相等的四邊形是正方形，
A：，且AB、BC為鄰邊，故選項A符合題意
B：AB、CD是對邊，不符合題意；
C：AC、BD是對角線，不符合題意；
D：四個角都是直角只能證明是矩形，無法證明是正方形，不符合題意；
故選：A．
【點睛】本題考查正方形的判定，解題的關(guān)鍵是熟知有三個內(nèi)角為直角且有一組鄰邊相等的四邊形是正方形．
6. 如圖是甲、乙兩公司2021年1-8月份的盈利情況圖，根據(jù)圖中提供的信息，下列說法錯誤的是( )
A. 兩公司在8月份的利潤相同B. 甲公司的利潤逐月遞減
C. 甲公司的利潤有4個月高于乙公司的利潤D. 乙公司4月份的利潤最高
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)折線圖中各月的具體數(shù)據(jù)對四個選項逐一分析可得．
【詳解】解∶ A、8月份兩家公司利潤相同，此選項正確；
B、甲公司的利潤逐月減少，此選項正確；
C、甲公司的利潤有5個月高于乙公司，此選項錯誤；
D、乙公司在4月份的利潤最高，此選項正確；
故選：C．
【點睛】本題主要考查折線統(tǒng)計圖，折線圖是用一個單位長度表示一定的數(shù)量，根據(jù)數(shù)量的多少描出各點，然后把各點用線段依次連接起來的，以折線的上升或下降來表示統(tǒng)計數(shù)量增減變化關(guān)系，讀懂圖像上各點表示的意義是解題的關(guān)鍵．
7. 若兩個圖形關(guān)于某點成中心對稱，則以下結(jié)論：①這兩個圖形一定全等；②對稱點的連線一定經(jīng)過對稱中心；③對稱點到對稱中心的距離相等；④一定存在某條直線，使沿該直線折疊后的兩個圖形能互相重合.其中所有正確結(jié)論的序號是（）
A. ①②B. ③④C. ①②③D. ①②③④
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)中心對稱的定義和性質(zhì)判斷即可．本題考查了中心對稱和軸對稱的有關(guān)應(yīng)用，注意：（1）如果把一個圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn)180度后能與另一個圖形重合，那么我們就說，這兩個圖形成中心對稱．（2）中心對稱的性質(zhì)：①關(guān)于中心對稱的兩個圖形是全等形，②關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分，③關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對應(yīng)線段平行（或者在同一直線上）且相等．
【詳解】解：若兩個圖形關(guān)于某點成中心對稱，
則①這兩個圖形一定全等，此結(jié)論正確；
②對稱點的連線一定經(jīng)過對稱中心，此結(jié)論正確；
③對稱點到對稱中心的距離相等，此結(jié)論正確；
④可能存在某條直線，沿該直線折疊后的兩個圖形能互相重合，此結(jié)論錯誤；
故選：C．
8. 如圖，在中，于點，于點，是的中點，連接，設(shè)，則()
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由垂直的定義得到∠ADB=∠BEA=90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AF=DF，BF=EF，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠DAF=∠ADF，∠EFB=∠BEF，于是得到結(jié)論．
【詳解】解：∵AE⊥BC于點E，BD⊥AC于點D；
∴∠ADB=∠BEA=90°，
∵點F是AB的中點，
∴AF=DF，BF=EF，
∴∠DAF=∠ADF，∠EBF=∠BEF，
∴∠AFD=180°-2∠CAB，∠BFE=180°-2∠ABC，
∴x°=180°-∠AFD-∠BFE=2（∠CAB+∠CBA）-180°=2（180°-y°）-180°=180°-2y°，
∴，
故選A．
【點睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上）
9. 為了解某市八年級學(xué)生的身高情況，從中抽測了名學(xué)生進行調(diào)查，在這次調(diào)查中，樣本容量是____．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了總體、個體、樣本、樣本容量，根據(jù)樣本容量則是指樣本中個體的數(shù)目，可得答案，解題要分清具體問題中的總體、個體與樣本，關(guān)鍵是明確考查的對象．總體、個體與樣本的考查對象是相同的，所不同的是范圍的大?。畼颖救萘渴菢颖局邪膫€體的數(shù)目，不能帶單位．
【詳解】解：為了解某市八年級學(xué)生身高情況，從中抽測了名學(xué)生進行調(diào)查，
∴在這次調(diào)查中，樣本容量，
故答案為：．
10. 在一個不透明的袋子里裝有紅球、黃球共個，這些球除顏色外都相同．小明通過多次實驗發(fā)現(xiàn)，摸出紅球的頻率穩(wěn)定在左右，則袋子中紅球的個數(shù)最有可能的是__________．
【答案】5
【解析】
【分析】根據(jù)紅球出現(xiàn)的頻率和球的總數(shù)，可以計算出紅球的個數(shù)．
詳解】解：由題意可得，
20×0.25＝5（個），
即袋子中紅球的個數(shù)最有可能是5個，
故答案是：5．
【點睛】本題考查利用頻率估計概率，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用概率公式計算出紅球的個數(shù)．
11. 一次數(shù)學(xué)測試后，某班40名學(xué)生按成績分成4組，第組的頻數(shù)分別為12、10、6、則第4組的頻率為 ___________．
【答案】
【解析】
【分析】先求出第4組的頻數(shù)，再根據(jù)頻率頻數(shù)總數(shù)進行求解即可．
【詳解】解：由題意知，第4組的頻數(shù)為，
∴第4組的頻率為，
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了求頻率，正確求出第4組的頻數(shù)是解題的關(guān)鍵．
12. 在中，若，則____．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，根據(jù)平行四邊形的鄰角互補可得，然后解方程組求出，再根據(jù)平行四邊形的對角相等可得，主要利用了平行四邊形的對角相等，鄰角互補的性質(zhì)，需熟記．
【詳解】解：在平行四邊形中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案為：．
13. 在生活垃圾中，直接填埋的占，焚燒的占，回收利用的占．為描述上述信息，最合適的統(tǒng)計圖是____．
【答案】扇形統(tǒng)計圖
【解析】
【分析】根據(jù)扇形統(tǒng)計圖的特點：①用扇形的面積表示部分在總體中所占的百分比．②易于顯示每組數(shù)據(jù)相對于總數(shù)的大小即可得到答案．此題考查了統(tǒng)計圖的選擇，掌握扇形統(tǒng)計圖的特點是解決此題關(guān)鍵．
【詳解】解：在生活垃圾中，直接填埋的占，焚燒的占，回收利用的占．為描述上述信息，最合適的統(tǒng)計圖是扇形統(tǒng)計圖．
故答案為：扇形統(tǒng)計圖．
14. 如圖，的對角線，相交于點，的周長為10，的周長為16，則的值為____．
【答案】3
【解析】
【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．
由平行四邊形的性質(zhì)推出，，，由的周長，的周長，即可求出．
【詳解】解：四邊形是平行四邊形，
，，，
的周長，的周長，
，
．
故答案為：3．
15. 如圖，將矩形繞點A順時針旋轉(zhuǎn)到矩形的位置，旋轉(zhuǎn)角為若，則____．
【答案】24
【解析】
【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，四邊形的內(nèi)角和定理，對頂角相等的性質(zhì)，根據(jù)對頂角相等求出，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和求出，然后求出，最后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得即為旋轉(zhuǎn)角．
【詳解】解：如下圖所示，，
∵，
∴，
∵,
∴，
∴，
故答案為：24．
16. 如圖，在矩形中，將沿對角線對折得到，交于點F．若，，則的長為____．
【答案】##0.75
【解析】
【分析】本題考查的是翻折變換的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，熟知圖形翻折變換的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．
先由長方形的性質(zhì)可知，，再根據(jù)圖形翻折變換的性質(zhì)可知，，利用全等三角形的判定定理可得，故，設(shè)，由勾股定理即可求出的值．
【詳解】解：∵四邊形是矩形，，，
∴，
∵是沿翻折而成，
∴，
又∵，
∴
∴，
在中，設(shè)，則，
由勾股定理得，
即，
解得，
故答案為：．
17. 如圖，已知點E在正方形ABCD的邊AB上，以BE為邊向正方形ABCD外部作正方形BEFG，連接DF，M、N分別是DC、DF的中點，連接MN.若AB=7，BE=5，則MN=_______.
【答案】
【解析】
【分析】連接FC，根據(jù)三角形中位線定理可得FC=2MN，繼而根據(jù)四邊形ABCD，四邊形EFGB是正方形，推導(dǎo)得出G、B、C三點共線，然后再根據(jù)勾股定理可求得FC的長，繼而可求得答案.
【詳解】連接FC，∵M、N分別是DC、DF的中點，
∴FC=2MN，
∵四邊形ABCD，四邊形EFGB是正方形，
∴∠FGB=90°，∠ABG=∠ABC=90°，F(xiàn)G=BE=5，BC=AB=7，
∴∠GBC=∠ABG+∠ABC=180°，
即G、B、C三點共線，
∴GC=GB+BC=5+7=12，
∴FC==13，
∴MN=，
故答案為.
【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形中位線定理，勾股定理等知識，正確添加輔助線，熟練掌握和靈活運用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.
18. 如圖，在中，，，，點P為上一點，連接，以，為鄰邊作，連接，則的長的最小值為______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查勾股定理，平行四邊形性質(zhì)，以及平行線之間的距離處處相等，利用勾股定理算出，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)，得到，要的長的最小，即，再利用平行線之間的距離處處相等，以及等面積法求解，即可解題．
詳解】解：，，，
，
四邊形為平行四邊形，
，，，
點P為上一點，
要的長的最小，即，
平行線之間的距離處處相等，
即等于到的距離，
記到的距離為，
，
即，解得，
的長的最小值為，
故答案為：．
三、解答題（本大題共8小題，共64分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19. 已知，如圖，E、F是平行四邊形的對角線上的兩點，．求證：；
【答案】見解析
【解析】
【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，求得，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．
【詳解】證明：∵，
∴，
∴，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
20. 某商場設(shè)立了一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤，并做如下規(guī)定：顧客購物80元以上就獲得一次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的機會，當轉(zhuǎn)盤停止時，指針落在哪一區(qū)域就可以獲得相應(yīng)的獎品，下表是活動進行中的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù).
（1），；
（2）轉(zhuǎn)動該轉(zhuǎn)盤一次，獲得洗衣粉的概率的估計值是多少?
【答案】（1）0.74；0.705
（2）0.70
【解析】
【分析】本題主要考查利用頻率估計概率，大量重復(fù)實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．
（1）根據(jù)頻率頻數(shù)總數(shù)，計算即可得出答案；
（2）利用頻率估計概率求解即可．
【小問1詳解】
解：，；
故答案為：，；
【小問2詳解】
解：根據(jù)大量反復(fù)試驗時，某事件發(fā)生的頻率會穩(wěn)定在某個常數(shù)的附近，可知獲得洗衣粉的概率的估計值是0.70．
21. 學(xué)校開展“書香校園，誦讀經(jīng)典”活動，隨機抽查了部分學(xué)生，對他們每天的課外閱讀時長進行統(tǒng)計，并將結(jié)果分為四類：設(shè)每天閱讀時長為t分鐘，當0＜t≤20時記為A類，當20＜t≤40時記為B類，當40＜t≤60時記為C類，當t＞60時記為D類，收集的數(shù)據(jù)繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題：
（1）這次共抽取了名學(xué)生進行調(diào)查統(tǒng)計，扇形統(tǒng)計圖中的D類所對應(yīng)的扇形圓心角為 °；
（2）將條形統(tǒng)計圖補充完整；
（3）若該校共有2000名學(xué)生，請估計該校每天閱讀時長超過40分鐘的學(xué)生約有多少人？
【答案】（1）50；36°；（2）見解析；（3）估計該校每天閱讀時長超過40分鐘的學(xué)生約有500人
【解析】
【分析】（1）用A類人數(shù)除以它所占的百分比得到調(diào)查的總?cè)藬?shù)；然后用D類人數(shù)分別除以調(diào)查的總?cè)藬?shù)×360°即可得到結(jié)論；
（2）先計算出D類人數(shù)，然后補全條形統(tǒng)計圖；
（3）利用樣本估計總體，用2000乘以樣本中C+D類的百分比即可．
【詳解】解：（1）15÷30%＝50，
所以這次共抽查了50名學(xué)生進行調(diào)查統(tǒng)計；
扇形統(tǒng)計圖中D類所對應(yīng)的扇形圓心角大小為：×360°＝36°，
故答案為50；36°；
（2）D類人數(shù)為50﹣15﹣22﹣8＝5，如圖所示，該條形統(tǒng)計圖為所求．
（3）估計該校每天閱讀時長超過40分鐘的學(xué)生約有人
【點睛】本題考查了條形統(tǒng)計圖與扇形統(tǒng)計圖，樣本估計總體等，條形統(tǒng)計圖是用線段長度表示數(shù)據(jù)，根據(jù)數(shù)量的多少畫成長短不同的矩形直條，然后按順序把這些直條排列起來．從條形圖可以很容易看出數(shù)據(jù)的大小.
22. 如圖，在矩形ABCD中，對角線BD的垂直平分線EF分別與AD，BC交于點E、F，與BD交于點O，連接BE，DF．
（1）求證：四邊形BEDF是菱形；
（2）若，，求菱形BEDF的面積．
【答案】（1）見解析（2）
【解析】
【分析】（1）先根據(jù)矩形和線段垂直平分線的性質(zhì)證，得出OE=OF，根據(jù)對角線互相平分證四邊形BMDN是平行四邊形，再根據(jù)對角線互相垂直證菱形即可；
（2）由四邊形BEDF是菱形可得，然后再根據(jù)勾股定理列出方程求出BE，最后用面積公式求解即可．
【小問1詳解】
證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD //BC，
∴，，
∵EF垂直平分BD，
∴，，
在和中，
∴，
∴OE=OF，
∴四邊形BEDF是平行四邊形，
∵，
∴四邊形BEDF是菱形；
【小問2詳解】
解：∵四邊形BEDF是菱形
∴，
在中，，
∴，解得，
∴．
【點睛】本題主要考查了矩形性質(zhì)、平行四邊形的判定、菱形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識點，證得四邊形是菱形是解答本題的關(guān)鍵．
23. 如圖，在平面直角坐標系中，，，，線段與線段成中心對稱．
（1）對稱中心的坐標是；
（2）與的關(guān)系為；
（3）若是線段上的點，則點關(guān)于點對稱的點的坐標為（用含，的式子表示）．
【答案】（1）
（2）平行且相等（3）
【解析】
【分析】本題考查中心對稱圖形，掌握中心對稱圖形的性質(zhì)，理解中心對稱圖形上的對應(yīng)點坐標與對稱中心坐標之間的關(guān)系是正確解答的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)中心對稱圖形上的對應(yīng)點坐標與對稱中心坐標之間的關(guān)系即可得出點的坐標即可；
（2）根據(jù)中心對稱圖形的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)，得到，，再由平行線的判定得出即可；
（3）根據(jù)中心對稱圖形上的對應(yīng)點坐標與對稱中心坐標之間的關(guān)系即可得出答案．
【小問1詳解】
解：如圖，連接，相交于點，點就是對稱中心，
的對稱點，
對稱中心點的坐標為，，即，
故答案為：．
【小問2詳解】
與的關(guān)系為，，
線段與線段關(guān)于點成中心對稱．
，，，
，
，，
．
∴與的關(guān)系為平行且相等，
故答案為：平行且相等．
【小問3詳解】
設(shè)點關(guān)于點成中心對稱的點的坐標為，
則有，，
即，，
．
故答案為：．
24. 已知菱形．
（1）如圖①，點E，F(xiàn)，G，H分別在上，且．求證：四邊形是矩形；
（2）如圖②，點M在上，用直尺和圓規(guī)作出兩種不同的矩形，使得點N，P，Q分別在上（保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明）．
【答案】（1）見解析（2）見解析
【解析】
【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．
（1）先結(jié)合菱形的性質(zhì)，得出四邊相等，證明，再通過角的等量代換以及換算，得出，結(jié)合矩形的判定性質(zhì)即可作答．
（2）連接對角線和交于點O，以O(shè)為圓心，為半徑畫圓分別交上使得點結(jié)合圓的對稱性以及菱形性質(zhì)、圓周角定理，即可作答．
【小問1詳解】
解：∵四邊形是菱形，
∴，
∵．
∴．
∴．
∴
∵
∴
∴
∴，同理，
∴四邊形是矩形，
【小問2詳解】
解：連接對角線和交于點O，以O(shè)為圓心，為半徑畫圓分別交上使得點
則，且
∴四邊形為矩形，
連接
∵為直徑
∴
∴四邊形為矩形，
即四邊形與均為矩形，
25. 在中，點，分別在，上．
（1）如圖①，若，求證：四邊形為平行四邊形；
（2）如圖②，為鈍角，，求證：四邊形是平行四邊形．
【答案】（1）見詳解（2）見詳解
【解析】
【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)度量是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，求得，根據(jù)平行四邊形的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）過作于，過作于，根據(jù)平行線間的距離處處相等得到，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，推出，根據(jù)平行四邊形的判定定理得到四邊形是平行四邊形．
【小問1詳解】
證明：四邊形是平行四邊形，
，
，
，
四邊形為平行四邊形；
【小問2詳解】
證明：過作于，過作于，
，
四邊形是平行四邊形，
，
∵，，
，
在與中，
，
∴，
，
，
四邊形是平行四邊形．
26. 如圖，正方形和正方形，點是上的動點．
（1）連接，．
①求證：；
②求證：∠；
（2）連接，若，則．
【答案】（1）①見解析；②見解析
（2）
【解析】
【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用；
（1）①由四邊形和四邊形是正方形，可得，，，故，得，有；
②連接，作，垂足為，作，垂足為．可證，得出四邊形為正方形，得，根據(jù)知，即可得；
（2）連接，由，可得，而，故，從而，即可得答案．
【小問1詳解】
①連接、，
正方形和正方形，
，，
．
．
②連接，作，垂足為，作，垂足為．

四邊形為矩形
，
四邊形為正方形，
，
．
．
四邊形為正方形
，
由知，
．
【小問2詳解】
解：連接，如圖：
由（1）知，，
，
，
，
，
，
，
；
故答案為：．轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的次數(shù)
100
150
200
500
800
1000
落在“洗衣粉”區(qū)域的次數(shù)
68
111
136
345
564
701
落在“洗衣粉”區(qū)域的頻率
0.68
a
0.68
069
b
0.70

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