江蘇省南京市鐘英中學(xué)2023-2024學(xué)年八年級下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分．在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的，請將正確選項(xiàng)前的字母代號填涂在答題卡相應(yīng)位置上）
1. 下面的圖形是用數(shù)學(xué)家名字命名的，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了軸對稱圖形與中心對稱圖形的識別，根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解，如果一個(gè)圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸，如果一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 后能夠與自身重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對稱圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做對稱中心．
【詳解】解：A、趙爽弦圖是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，不符合題意；
B、笛卡爾心形線是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；
C、斐波那契螺旋線不是軸對稱圖形也不是中心對稱圖形，不符合題意；
D、科克曲線既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，符合題意
故選：D．
2. 依據(jù)所標(biāo)數(shù)據(jù)，下列一定為平行四邊形的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)平行四邊形的判定及性質(zhì)定理判斷即可；
【詳解】解：平行四邊形對角相等，故A錯(cuò)誤；
一組對邊平行不能判斷四邊形是平行四邊形，故B錯(cuò)誤；
三邊相等不能判斷四邊形是平行四邊形，故C錯(cuò)誤；
一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，故D正確；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的判定及性質(zhì)，掌握平行四邊形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
3. 是由繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到的，且點(diǎn)D落在邊上，則下列判斷錯(cuò)誤的是（）

A. 旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)CB.
C. D. 點(diǎn)D是中點(diǎn)
【答案】D
【解析】
【分析】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可求解．
【詳解】解：∵是由繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到的，且點(diǎn)D落在邊上，
∴旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)C，，，點(diǎn)D不一定的中點(diǎn)，
∴A、B、C結(jié)論正確．
故選：D．
4. 如圖，在中，點(diǎn)D，E分別是的中點(diǎn)，以點(diǎn)A為圓心，為半徑作圓弧交于點(diǎn)F．若，，則的長為（）
A. 2B. 2.5C. 3D. 3.5
【答案】C
【解析】
【分析】由點(diǎn)D，E分別是的中點(diǎn)得是的中位線，由中位線定理得到，以點(diǎn)A為圓心，為半徑作圓弧交于點(diǎn)F，則，即可得到的長．
【詳解】解：∵點(diǎn)D，E分別是的中點(diǎn)，
∴是的中位線，
∴，
∴，
∵以點(diǎn)A為圓心，為半徑作圓弧交于點(diǎn)F，
∴，
∴，
即的長為3．
故選：C
【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形中位線定理，熟練掌握三角形中位線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
5. 用四塊大正方形地磚和一塊小正方形地磚拼成如圖所示的實(shí)線圖案，每塊大正方形地磚的面積為a，小正方形地磚的面積為b，依次連接四塊大正方形地磚的中心得到正方形ABCD．則正方形ABCD的面積為（）

A. a+bB. a-bC. 2a+bD. 2a-b
【答案】A
【解析】
【分析】連接AE、AF，先證明△GAE≌△HAF，由此可證得，進(jìn)而同理可得，根據(jù)正方形ABCD的面積等于四個(gè)相同四邊形的面積之和及小正方形的面積即可求得答案．
【詳解】解：如圖，連接AE、AF，設(shè)正方形ABCD的邊AD與點(diǎn)A所在的大正方形邊交于G，AB與EF交于H，
∵點(diǎn)A為大正方形的中心，
∴AE=AF，∠EAF=90°，
∴∠AEF=∠AFE=45°，
∵∠GEF=90°，
∴∠AEG=∠GEF-∠AEF=45°，
∴∠AEG=∠AFE，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠DAB=∠EAF=90°，
∴∠GAE=∠HAF，
在△GAE與△HAF中，

∴△GAE≌△HAF（ASA），
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴同理可得：，
即，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)并能作出正確的輔助線是解決本題的關(guān)鍵．
6. 如圖，在正方形中，、分別是，的中點(diǎn)，，交于點(diǎn)G，連接．下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的是（）
A. ①②B. ①③C. ①②④D. ①②③
【答案】C
【解析】
【分析】證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，故①正確；求得，根據(jù)垂直的定義得到，故②正確；延長交的延長線于H，根據(jù)線段中點(diǎn)的定義得到，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，由是斜邊的中線，得到，求得，根據(jù)余角的性質(zhì)得到，故④正確．假設(shè)，根據(jù)，可得，結(jié)合，，可得，即有，進(jìn)而可得，則有，顯然，即假設(shè)不成立，即可判斷③錯(cuò)誤．
【詳解】解：①∵四邊形是正方形，
∴，，
∵，分別是，的中點(diǎn)，
∴，，
∴，
在與中，
，
∴，
∴，，故①正確；
②∵，
∴，
∴，
∴，故②正確；
④根據(jù)可得，
∴，
如圖，延長交的延長線于，
∵，
∴，
∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵已證明，
∴是斜邊的中線，
∴，
∴，
∵，，
∴．故④正確；
③若成立，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴在中，有，
∵，
∴，
顯然，
∴假設(shè)不成立，
∴，故③錯(cuò)誤，
故正確的有①②④，
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識，此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卷相應(yīng)位置上）
7. 在矩形中，、相交于點(diǎn)O，若，則_______°．
【答案】130
【解析】
【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得到OA=OB，再利用三角形外角的性質(zhì)求出答案．
【詳解】解：如圖，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴OA=OB=OC=OD，
∴∠OBA=，
∴2∠OAB=．
故答案為：130．
【點(diǎn)睛】此題考查矩形的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，熟記矩形的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
8. 如圖，兩條寬都為的紙條交叉成角重疊在一起，則重疊四邊形的面積為________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，含直角三角形的性質(zhì)，勾股定理；
如圖，重疊四邊形為，作交于E，交于F，首先證明四邊形是平行四邊形，然后在中，利用含直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求出和，再根據(jù)平行四邊形的面積公式計(jì)算即可．
【詳解】解：如圖，重疊四邊形為，作交于E，交于F，
由題意得：，，，
∴四邊形是平行四邊形，
由對頂角相等可知，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴重疊四邊形的面積為，
故答案為：．
9. 在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形的頂點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別是、，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是_______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)平行四邊形性質(zhì)利用平移規(guī)律求得答案即可．
【詳解】解：∵四邊形OABC是平行四邊形，
∴OA∥CB，且OA=CB，
∵點(diǎn)O的坐標(biāo)為（0，0），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，1），
∴相當(dāng)于將點(diǎn)O向右平移6個(gè)單位，向上平移1個(gè)單位，
∴點(diǎn)C（2，4）向右平移6個(gè)單位，向上平移1個(gè)單位為（8，5），
故答案為：（8，5）．
【點(diǎn)睛】考查了平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到平移規(guī)律，難度不大．
10. 已知菱形的周長是，一條對角線長是，則它的面積是________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理；
根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，，，，利用勾股定理求出，得到的長，再根據(jù)菱形的面積公式計(jì)算即可．
【詳解】解：如圖，四邊形是菱形，，
，，，
菱形周長為，
，
在直角三角形中，，
，
菱形的面積，
故答案為: ．
11. 如圖，在平行四邊形中，平分，，則的度數(shù)為______．

【答案】##度
【解析】
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)對邊平行，對角相等，得到，利用角平分線定義得到，從而得到．
【詳解】平行四邊形
，
又
平分
故答案為．
【點(diǎn)睛】此題考查平行四邊形的性質(zhì)及角度運(yùn)算，在角度運(yùn)算中需要調(diào)用與角有關(guān)的定理，利用條件盡可能多的把各個(gè)角計(jì)算出來，并且向所求角度靠攏．熟知平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
12. 如圖，在中，，是的中線，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，連接，若，則的長為________．

【答案】
【解析】
【分析】本題考查了三角形中位線定理，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)；
先根據(jù)三角形中位線定理可得，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出答案．
【詳解】解：∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，
∴是的中位線，
∴，
∵，是的中線，
∴，
故答案為：．
13. 中國古代數(shù)學(xué)家劉徽給出了證明三角形面積公式的出入相補(bǔ)法．如圖，在中，分別取、的中點(diǎn)D、E，連接，過點(diǎn)A作，垂足為F，將分割后拼接成矩形．若，，則的面積是________．

【答案】12
【解析】
【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)；根據(jù)出入相補(bǔ)法可得，，則，，，求出，然后計(jì)算即可．
【詳解】解：由圖可得，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案為：12．
14. 如圖，在菱形中，對角線，相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在上，連接并延長，交于點(diǎn)F．若，，則四邊形的周長是________．
【答案】14
【解析】
【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定．證明得到，再根據(jù)四邊形周長公式進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：∵四邊形是菱形，對角線，相交于點(diǎn)，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形的周長，
故答案為：14．
15. 如圖，將矩形ABCD對折，折痕為MN，點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)，將△ABE沿AE折疊，使得點(diǎn)B剛好落在MN上的點(diǎn)F處，此時(shí)FE=FN，若AB=cm，則BC=_________cm．
【答案】
【解析】
【分析】由折疊可證△ABF為等邊三角形，再分別Rt△ABE，Rt△EFG中根據(jù)30°直角三角形的性質(zhì)求出BE，F(xiàn)G的長，最后根據(jù)BC=BE+EG+GC求解即可．
【詳解】解：如圖，連接BF，過點(diǎn)F作FG⊥BC于G，則四邊形CNFG為矩形，
∴GC=FN
由折疊可知△ABE≌△AFE，MN為矩形的對稱軸，
∴AB=AF，BE=EF，∠BAE=∠FAE，∠AEB=∠AEF，AF=BF，
∴AB=AF=BF
∴△ABF為等邊三角形，
∴∠BAF=60°，
∴∠BAE=∠FAE=30°，∠AEB=∠AEF=60°
在Rt△ABE中，∠BAE =30°，AB=cm
令BE長為x，則AE=2x，
解得x=1 cm，
∴BE=EF=1 cm，
∵FE=FN，GC=FN
∴GC=FN=1 cm
在Rt△EFG中，
∠FEG= 180°-∠AEB-∠AEF= 180°-60°-60° =60°，
∴∠EFG =30°，
∴EG=EF= cm，
∴BC=BE+EG+GC=1++1= cm
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查矩形與折疊問題，涉及知識點(diǎn)有等邊三角形的判定與性質(zhì)，30°直角三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是根據(jù)折疊判斷出△ABF為等邊三角形．
16. 如圖，正方形的邊長是8，點(diǎn)E在上，點(diǎn)F在上，，若．則的長為______．
【答案】
【解析】
【分析】過點(diǎn)F作于點(diǎn)G，交于點(diǎn)H，則，根據(jù)正方形的性質(zhì)得，，即可得四邊形是矩形，得，根據(jù)，得，則，，根據(jù)得，即可得，根據(jù)角角邊可證明，可得，根據(jù)，得，則，設(shè)，則，根據(jù)正方形的邊長為8得，根據(jù)得，即可得，
在中，根據(jù)勾股定理得即可得．
【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)F作于點(diǎn)G，交于點(diǎn)H，
則，
∴，
∵四邊形是正方形，
∴，，
∴四邊形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
設(shè)，則，
∵正方形的邊長為8，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
在中，根據(jù)勾股定理得，，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了了正方形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握這些知識點(diǎn)．
三、解答題（本大題共10小題，共68分．請?jiān)诖痤}卷指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、說理過程或演算步驟）
17. 求證：菱形的一條對角線平分這一組對角．
已知：如圖，是菱形的一條對角線．
求證：____________________．
證明：
【答案】，，證明見解析
【解析】
【分析】根據(jù)命題補(bǔ)充求證，，根據(jù)菱形的性質(zhì)證明，即可得到結(jié)論．
【詳解】求證：，．
證明：∵四邊形菱形，
∴．
在和中，
，
∴．
∴，．
即平分菱形的一組對角．
【點(diǎn)睛】此題考查菱形的性質(zhì)定理，三角形全等的判定及性質(zhì)定理，根據(jù)命題寫出求證，正確掌握菱形的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
18. 已知的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、、
（1）畫出關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O成中心對稱的；
（2）將繞坐標(biāo)原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，畫出對應(yīng)的；
（3）若以、、、為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，則在第四象限中的點(diǎn)坐標(biāo)為．
【答案】（1）見解析（2）見解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)中心對稱的性質(zhì)即可畫出關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O成中心對稱的；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可畫出；
（3）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可得點(diǎn)坐標(biāo)．
【小問1詳解】
解：如圖所示，即為所求；
【小問2詳解】
解：如圖所示，即為所求；
【小問3詳解】
解：因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，且點(diǎn)在第四象限，
所以點(diǎn)坐標(biāo)為．
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-旋轉(zhuǎn)變換，平行四邊形的判定，解決本題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．
19. 如圖，在平行四邊形中，，位于，上，，分別平分，．

（1）求證：四邊形是平行四邊形；
（2）當(dāng)滿足條件______ 時(shí)，四邊形是矩形．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和角平分線定義即可完成證明；
根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，然后利用有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形即可解決問題．
【小問1詳解】
證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
∴四邊形是平行四邊形；
【小問2詳解】
當(dāng)滿足時(shí)，四邊形是矩形，理由如下：
∵，平分，
∴，
∴，
∵四邊形是平行四邊形，
∴四邊形是矩形．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形判定與性質(zhì)、矩形的判定，證明四邊形是平行四邊形是解決問題的關(guān)鍵．
20. 如圖，E，F(xiàn)，G，H是四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)．
（1）證明：四邊形EFGH為平行四邊形．
（2）若四邊形ABCD是矩形，且其面積是，則四邊形EFGH的面積是________
【答案】（1）見解析（2）3.5
【解析】
【分析】（1）連接BD，由三角形中位線定理可得出EF=GH，EF∥GH，由平行四邊形的判定可得出結(jié)論；
（2）由矩形的判定與性質(zhì)得出答案．
【小問1詳解】
證明：連接BD，
∵E、F分別為AD、AB的中點(diǎn)，
∴EF是△ABD的中位線，
∴EF=BD，EF∥BD，
同理，GH=BD，GH∥BD，
∴EF=GH，EF∥GH，
∴四邊形EFGH為平行四邊形；
【小問2詳解】
如圖，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∵E，F(xiàn)，G，H是四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)，
∴DH=AF=CH=BF，
∴四邊形AFHD和四邊形HFBC都是矩形，
∴AD=HF=BC，DC=EG=AB，
∴S四邊形EFGH=EG?HF＝AB?BC，
∵四邊形ABCD的面積是7cm2，
∴AB?BC=7cm2，
∴四邊形EFGH的面積是3.5cm2，
故答案為：3.5．
【點(diǎn)睛】本題主要考查中點(diǎn)四邊形以及矩形的性質(zhì)，解題時(shí)利用三角形中位線定理判定四邊形EFGH是平行四邊形是解題的關(guān)鍵．
21. 如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，連接AE，AF，已知△ABE≌△ADF．
（1）若ADBC，求證：四邊形ABCD是菱形；
（2）以下條件：①∠BAD＝∠BCD；②AB＝CD；③BC＝CD．如果用其中的一個(gè)替換(1)中的“ADBC”，也可以證明四邊形ABCD是菱形，那么可以選擇的條件是 (填寫滿足要求的所有條件的序號)．
【答案】（1）見解析（2）①②
【解析】
【分析】（1）由△ABE≌△ADF，得到∠B=∠D，AB=AD，再由ADBC，得到∠D+∠BCD=180°，從而得∠B+∠BCD=180°，所以ABCD，即可得四邊形ABCD是平行四邊形，最后由菱形的判定定理即可得出結(jié)論；
（2）由△ABE≌△ADF，得到∠B=∠D，AB=AD，再分別加條件①②，證四邊形ABCD是平行四邊形，四邊形ABCD是菱形；加條件③，舉反例，如錚形，滿足條件，不能滿足結(jié)論，即可說明加條件①②可以證明，加條件③不能證明．
【小問1詳解】
證明：∵△ABE≌△ADF，
∴∠B=∠D，AB=AD，
∵ADBC，
∴∠D+∠BCD=180°，
∴∠B+∠BCD=180°，
∴ABCD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵AB=AD，
∴四邊形ABCD是菱形；
【小問2詳解】
解： ∵△ABE≌△ADF，
∴∠ABC=∠ADC，AB=AD，
若選擇的條件是①∠BAD＝∠BCD，
∵∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠ADC=180°，
∴∠BAD+∠ABC=180°，∠ABC+∠BCD =180°，
∴ADBC，ABCD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵AB=AD，
∴四邊形ABCD是菱形；
故可選①；
若選擇的條件是②AB＝CD；
連接BD，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∵∠ABC=∠ADC，
∴∠CBD=∠CDB，
∴BC=CD，
∵AB=CD，
∴AB=BC=CD=AD，
∴四邊形ABCD是菱形；
故可選②；
若選擇的條件是③BC＝CD．
如圖，錚形ABCD中，
△ABE≌△ADF，BC=CD≠AB，
四邊形ABCD不是菱形，故選③不能證明四邊形ABCD是菱形；
∴證明四邊形ABCD是菱形，可以選擇的條件是①②，
故答案為：①②．
【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定，菱形的判定，全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的判定方法是解題的關(guān)鍵．
22. 如圖，矩形EFGH的頂點(diǎn)E、G分別在菱形ABCD的邊AD、BC上，頂點(diǎn)F、H在菱形ABCD的對角線BD上．
（1）求證：BG=DE；
（2）若E為AD的中點(diǎn)，AB=5．求FH的長．
【答案】（1）見解析（2）FH的長為5
【解析】
【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出EH=EG，EH∥GH，進(jìn)而利用AAS證明△BGF≌△DEH，利用全等三角形的性質(zhì)解答即可；
（2）連結(jié)EG，先求出EG=AB=5，由矩形的性質(zhì)可求解．
【小問1詳解】
證明：在矩形EFGH中，EH=FG，EH∥GH，
∴∠GFH=∠EHF，
∵∠BFG=180°-∠BFH，
∴∠BFG=∠DHE，
在菱形ABCD中，AD∥BC，
∴∠GBF=∠EDH，
在△BGF與△DEH中，，
∴△BGF≌△DEH（AAS），
∴BG=DE；
【小問2詳解】
解：連接EG，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵E是AD的中點(diǎn)，
∴AE=ED，
∵BG=DE，
∴AE=BG，
又AE∥BG，
∴四邊形ABGE是平行四形，
∴EG=AB．
∴EG=AB=5．
∵四邊形EFGH是矩形，
∴FH=EG=5．
【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是利用AAS證明△BGF≌△DEH．
23. 如圖,在正方形ABCD中,點(diǎn)E?F?G分別在CD?AD?BC上,且,垂足為O．
（1）求證:;
（2）若O是BE的中點(diǎn),且,,求AF的長．
【答案】（1）見解析;（2）
【解析】
【分析】（1）作交BE于N,BC于M,可證,從而得到,又有,可得四邊形AMGF為平行四邊形,即可證出結(jié)論．
（2）連接BF?EF,則可得,在和中,利用勾股定理可得到,,然后設(shè),可列出關(guān)于的方程,解出方程即可.
詳解】（1）證明:作交BE于N,BC于M．
∵在正方形ABCD中,
∴,,．
∵,∴．
∵,∴．∴
∵．∴．∴．
∵在和中
∴．∴．
∵,∴．
∵,
∴四邊形AMGF為平行四邊形．
∴．
∵,∴．
（2）如圖,連接BF?EF,
∵,O是BE的中點(diǎn),∴．
∵在正方形ABCD中,∴．
∵,∴．
設(shè),則,
在中,由勾股定理得:．
在中,由勾股定理得:．
∵,∴．
即,解得:．∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì),三角形全等的判定和性質(zhì),平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形,直角三角形．
24. 如圖，在中，平分，于點(diǎn)E，點(diǎn)F是的中點(diǎn)．
（1）如圖1，的延長線與邊相交于點(diǎn)D，求證：；
（2）如圖 2，探究線段之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫出你的結(jié)論：．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】本題考查三角形的中位線定理、全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的三線合一的性質(zhì)等知識．
（1）先證明，根據(jù)等腰三角形的三線合一，推出，根據(jù)三角形的中位線定理即可解決問題．
（2）先證明，根據(jù)等腰三角形的三線合一，推出，根據(jù)三角形的中位線定理即可解決問題．
【小問1詳解】
證明：如圖1中，
平分，于點(diǎn)，
∴，
∵，
∴，
∴，
即是等腰三角形，
∵，
，
，
．
【小問2詳解】
解：結(jié)論：，
理由：如圖2中，延長交的延長線于．
，
，
，，
，
，
，
，
為的中點(diǎn)，
，
點(diǎn)為的中點(diǎn)，
，
；
故答案為：．
25. 如圖，點(diǎn)O是∠MAN內(nèi)一點(diǎn)，求作線段PQ，使P、Q分別在射線AM、AN上，且點(diǎn)O是PQ的中點(diǎn)．要求：（1）用直尺和圓規(guī)作圖，保留作圖痕跡；（2）用兩種不同的方法．
【答案】見解析
【解析】
【分析】方法一：作OT//AN，交AM于點(diǎn)T，在射線TO上截取OE=OT，在AN上截取AQ，使得AQ=TE，連接EQ，連接QO，延長QO交AM于點(diǎn)P，線段PQ即為所求．
方法二：連接AO，延長AO到T，使得OT=OA，作TP//AN交AM于點(diǎn)P，連接PO，延長PO交AN于點(diǎn)Q，線段PQ即為所求．
【詳解】解：如圖，線段PQ即為所求．
【點(diǎn)睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．
26. 數(shù)學(xué)課上，李老師給出這么一道數(shù)學(xué)問題：如圖①，正方形中，點(diǎn)E是對角線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)E作，垂足為E，交所在直線于點(diǎn)F．探索與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
（1）小明在解決這一問題之前，先進(jìn)行特殊思考：如圖②，當(dāng)E是對角線的中點(diǎn)時(shí)，他發(fā)現(xiàn)與之間的數(shù)量關(guān)系是______．若點(diǎn)E在其它位置時(shí)，這個(gè)結(jié)論是否都成立呢？小明繼續(xù)探究，他用“平移法”將沿方向平移得到，將原來分散的兩條線段集中到同一個(gè)三角形中，如圖③，這樣就可以將問題轉(zhuǎn)化為探究與之間的數(shù)量關(guān)系．請你按照小明的思路，完成解題過程．
（2）你能用與小明不同的方法來解決李老師給出的“數(shù)學(xué)問題”嗎？請寫出解題過程．
【答案】（1）；成立，過長見解析；（2）見解析
【解析】
【分析】（1）當(dāng)E是對角線的中點(diǎn)時(shí)，根據(jù)正方形的性質(zhì)，可得此時(shí)點(diǎn)B和點(diǎn)F重合，且點(diǎn)E也為的中點(diǎn)，可得；點(diǎn)E在其它位置時(shí)，如圖，延長，作，交的延長線于點(diǎn)G，連接，可得四邊形為平行四邊形，從而得到，進(jìn)而得到，再證得，可得，從而得到是等腰直角三角形，即可；
（2）作，并截取，連接，可得是等腰直角三角形，從而得到，再證明，可得，，再證得四邊形為平行四邊形，可得，即可．
【詳解】解：當(dāng)E是對角線的中點(diǎn)時(shí)，
∵四邊形是正方形，
∴，，，，
∴，
∵，且E是對角線的中點(diǎn)，
∴此時(shí)點(diǎn)B和點(diǎn)F重合，且點(diǎn)E也為的中點(diǎn)，
∴，
∴，
即；
若點(diǎn)E在其它位置時(shí)，如圖，延長，作，交的延長線于點(diǎn)G，連接．
∵四邊形是正方形，
∴．
∵，，
∴四邊形為平行四邊形．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴，
∵．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴，
∴．
∴．
∴等腰直角三角形，
∴，
∴．
∴；
（2）如圖，作，并截取，連接．
∵四邊形是正方形，
∴．
∴，
∵，
∴．
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴，．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴，
∴四邊形為平行四邊形．
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷更多

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷 更多

相關(guān)試卷更多