河南省洛陽市洛寧縣2023-2024學年八年級下學期期中數學試題（原卷版+解析版）

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2.本試卷設有答題卷，請將答案寫涂在答題卷上，寫在本試卷上無效．
一、選擇題：（本題共10小題，每題3分，共30分）
1. 下列各式：，，，中，是分式的共有（ ）．
A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個
【答案】B
【解析】
【分析】本題主要考查分式的定義，在解答此題時要注意分式是形式定義，只要是分母中含有未知數的式子即為分式．判斷分式的依據是看分母中是否含有字母，如果含有字母則是分式，如果不含有字母則不是分式，據此判斷即可．
【詳解】解：各式中是分式的有，，共2個，
故選：B．
2. 某種花粉的直徑約為米，則數據用科學記數法表示為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查用科學記數法表示較小的數．根據絕對值小于1的數可以用科學記數法表示，一般形式為，與較大數的科學記數法不同的是其所使用的是負指數冪，指數由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定，即可求解．
【詳解】解：，
故選：C．
3. 若把分式中的x和y都擴大為原來的3倍，則分式的值（ ）
A. 不變B. 擴大為原來的9 倍
C. 擴大為原來的3 倍D. 縮小為原來的
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了分式的基本性質，能夠正確利用分式的基本性質是解題的關鍵．
根據分式的基本性質，可得答案．
【詳解】把分子、分母中的x和y都擴大為原來的3倍得
約分后分式的值不變，
故選：A．
4. 若關于的分式方程有增根，則的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據關于分式方程有增根得出最簡公分母為，把分式方程化為整式方程，再把增根代入計算即可．
【詳解】解：∵關于的分式方程有增根，
∴，
解得：，
原分式方程去分母后得：，
∴，
解得：．
故選：C．
【點睛】本題考查分式方程的增根，解題的關鍵是掌握最簡公分母為是分式方程有增根的條件．
5. 某學校為進一步開展“陽光大課間”活動，購買了一批籃球和足球．已知購買足球數量是籃球的2倍，購買足球用了4000元，購買籃球用了2800元，籃球的單價比足球貴16元．籃球和足球的單價分別是多少元？小明列出了方程，則小明列的方程中表示的是（ ）
A. 足球的單價B. 籃球的單價C. 足球的數量D. 籃球的數量
【答案】D
【解析】
【分析】設籃球的數量為x個，足球的數量是個，列出分式方程解答即可．
【詳解】解：設籃球的數量為x個，足球的數量是個．
根據題意可得：，
故選：D．
【點睛】此題主要考查了分式方程的應用，得到相應的關系式是解決本題的關鍵．
6. 如圖，一次函數與反比例函數的圖像交于點，，則的解集是（ ）
A. 或B. 或C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查一次函數與反比例函數綜合，先求出反比例函數表達式，進而求出點B的坐標，再根據利用函數圖像與不等式的關系解不等式即可得到答案．
【詳解】解：一次函數與反比例函數的圖像交于點，，
，
∴當時，，
，，
的解集是指一次函數圖像在反比例函數圖像上方部分對應的自變量的范圍，即或，
故選：C．
7. 已知一次函數y1=2x+m與y2=2x+n（m≠n）圖象如圖所示，則關于x與y的二元一次方程組 的解的個數為（ ）
A. 0個B. 1個C. 2個D. 無數個
【答案】A
【解析】
【分析】圖象可知，一次函數y1=2x+m與y2=2x+n（m≠n）是兩條互相平行的直線，所以關于x與y的二元一次方程組無解．
【詳解】∵一次函數y1=2x+m與y2=2x+n（m≠n）是兩條互相平行的直線，
∴關于x與y的二元一次方程組無解．
故選A．
【點睛】本題考查了一次函數與二元一次方程（組），方程組的解就是使方程組中兩個方程同時成立的一對未知數的值，而這一對未知數的值也同時滿足兩個相應的一次函數式，因此方程組的解就是兩個相應的一次函數圖象的交點坐標．
8. 如圖所示，在平行四邊形中，EF過對角線的交點，若 AB=4，BC=7，OE=3，則四邊形的周長是（ ）
A. 14B. 11C. 17D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】由在平行四邊形ABCD中，EF過兩條對角線的交點O，易證得△AOF≌△COE，則可得，繼而求得四邊形FECD的周長．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，OA=OC，CD=AB=4，AD=BC=7
∴∠FAO=∠ECO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴AF=CE，OF=OE=3， ∴EF=6，
∴四邊形EFDC的周長是：
CD+DF+EF+CE=CD+DF+AF+EF=CD+AD+EF=4+7+6=17．
故選：C．
【點睛】此題考查了平行四邊形的性質以及全等三角形的判定與性質．此題難度適中，注意掌握轉化思想與數形結合思想的應用．
9. 已知平行四邊形中，，則的度數為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據平行四邊形對角相等可得，結合已知可求出，然后根據平行四邊形鄰角互補得出答案．
【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∵，
∴，
∴，
故選：C．
【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，熟知平行四邊形的對角相等，鄰角互補是解題的關鍵．
10. 直線與直線在同一平面直角坐標系中的圖象如圖所示，根據圖象進行以下探究：①；②；③當時，；④若，，則，其中正確結論的個數共有（）
A. 個B. 個C. 個D. 個
【答案】C
【解析】
【分析】根據一次函數的性質，結合題意，對選項逐個判斷即可．
【詳解】解：由圖像可得經過二、三、四象限，
∴，，①正確
由圖象可得：經過一、三、四象限，
∴，
∴，②正確；
由圖象可得，當時，，③正確；
由題意可得，和經過點
則，
又∵，
解得，
則：，
將代入，，解得，
即，，
，④錯誤
正確的個數為3
故選：C
【點睛】此題考查了一次函數的幾何應用，圖象與系數的關系，一次函數交點問題等，解題的關鍵是熟練掌握一次函數的圖象與性質．
二、填空題：（本題共5小題，每題3分，共15分）
11. 使得分式有意義的條件是________．
【答案】x≠﹣3
【解析】
【分析】根據分式有意義的條件可得：x+3≠0，再解即可．
【詳解】解：由題意得：x+3≠0，
解得：x≠﹣3，
故答案為：x≠﹣3．
【點睛】本題考查了分式有意義的條件，熟知分母不為零是解題的關鍵．
12. 已知點與點關于軸對稱，則的值為____________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查關于軸對稱點的特征，根據關于軸對稱橫坐標不變，縱坐標互為相反數求解即可得到答案；
【詳解】解：∵點與點關于軸對稱，
∴，，
解得：，，
∴，
故答案為：．
13. 一個裝有進水管和出水管的容器，開始時，先打開進水管注水，3分鐘時，再打開出水管排水，8分鐘時，關閉進水管，直至容器中的水全部排完．在整個過程中，容器中的水量y（升）與時間x（分鐘）之間的函數關系如圖所示，則圖中a的值為______．
【答案】
【解析】
【分析】根據函數圖像，結合題意分析分別求得進水速度和出水速度，即可求解．
【詳解】解：依題意，3分鐘進水30升，則進水速度為升/分鐘，
3分鐘時，再打開出水管排水，8分鐘時，關閉進水管，直至容器中的水全部排完直至容器中的水全部排完，
則排水速度為升/分鐘，
，
解得．
故答案為：．
【點睛】本題考查了函數圖象問題，從函數圖象獲取信息是解題的關鍵．
14. 如圖，在中，，于點E，若，則______．

【答案】
【解析】
【分析】證明，，由，可得，結合，可得．
【詳解】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案為：
【點睛】本題考查的是等腰三角形的性質，平行四邊形的性質，三角形的內角和定理的應用，熟記基本幾何圖形的性質是解本題的關鍵．
15. 如圖，為雙曲線上的一點，軸，垂足為，交雙曲線于，軸，垂足為，交雙曲線于，連接，則的面積是____．

【答案】
【解析】
【分析】設 ，求得、 的坐標，進而求得、，最后根據三角形的面積公式求得結果．
【詳解】設 ，則 ，，
∴，，
∴，
故答案為：．
【點睛】此題考查了反比例函數的圖象與性質，矩形的性質，三角形的面積，解題的關鍵用點的橫坐標表示與 ．
三、解答題：（本題共8小題，共75分）
16. 計算：
（1）；
（2）
【答案】（1）10 （2）
【解析】
【分析】本題考查了分式的混合運算和實數混合運算，解題的關鍵是掌握實數運算、分式運算的順序及相關運算法則．
（1）先算零指數冪，負整數指數冪及乘方運算，再算加法即可；
（2）先對小括號里的分式進行通分計算；再按分式乘法法則計算即可．
【小問1詳解】
；
小問2詳解】



17. 先化簡，再求值：，其中．
【答案】；
【解析】
【分析】根據分式的混合運算法則把原式化簡，把的值代入計算即可．
【詳解】解：原式


，
當時，原式．
【點睛】本題考查的是分式的化簡求值，掌握分式的混合運算法則是解題的關鍵．
18. 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）無解
【解析】
【分析】（1）方程兩邊同時乘以最簡公分母，化為整式方程，進而解方程即可求解，最后要檢驗；
（2）方程兩邊同時乘以最簡公分母，化為整式方程，進而解方程即可求解，最后要檢驗
【小問1詳解】
（1）
方程兩邊同時乘以最簡公分母，
解得：
經檢驗，是原方程的解，
【小問2詳解】
方程兩邊同時乘以最簡公分母，
即
解得：，
當時，，
∴是方程的增根，原方程無解．
【點睛】本題考查了解分式方程，熟練掌握分式方程的解法是解題的關鍵．
19. “節(jié)能環(huán)保，綠色出行”意識的增強，越來越多的人喜歡騎自行車出行，也給自行車商家?guī)砩虣C．某自行車行經營的A型自行車去年銷售總額為8萬元．今年該型自行車每輛售價預計比去年降低200元．若該型車的銷售數量與去年相同，那么今年的銷售總額將比去年減少10%，求：
（1）A型自行車去年每輛售價多少元；
（2）該車行今年計劃新進一批A型車和新款B型車共60輛，且B型車進貨數量不超過A型車數量的兩倍．已知，A型車和B型車的進貨價格分別為1500元和1800元，計劃B型車銷售價格為2400元，應如何組織進貨才能使這批自行車銷售獲利最多．
【答案】（1）2000元；（2）A型車20輛，B型車40輛
【解析】
【分析】（1）設去年A型車每輛售價x元，則今年售價每輛為（x﹣200）元，由賣出的數量相同列出方程求解即可；
（2）設今年新進A型車a輛，則B型車（60﹣a）輛，獲利y元，由條件表示出y與a之間的關系式，由a的取值范圍就可以求出y的最大值．
【詳解】解：（1）設去年A型車每輛售價x元，則今年售價每輛為（x﹣200）元，由題意，得：
，
解得：x=2000．
經檢驗，x=2000是原方程的根．
答：去年A型車每輛售價為2000元；
（2）設今年新進A型車a輛，則B型車（60-a）輛，獲利y元，由題意，得
y=（2000-1500-200）a+（2400-1800）（60-a），
y=－300a+36000．
∵B型車的進貨數量不超過A型車數量的兩倍，
∴60-a≤2a，
∴a≥20．
∵y=－300a+36000．
∴k=－300＜0，
∴y隨a的增大而減?。?br>∴a=20時，y最大=30000元．
∴B型車的數量為：60-20=40輛．
∴當新進A型車20輛，B型車40輛時，這批車獲利最大．
【點睛】本題考查了分式方程的應用，一元一次不等式的應用，解題的關鍵是根據題意列出相應的方程．
20. 如圖所示，在中，對角線與相交于點，點，在對角線上．且．求證：．
【答案】見解析
【解析】
【分析】本題考查了平行四邊形的性質，全等三角形的性質與判定，平行線的判定；根據平行四邊形的性質與已知條件，得出，證明，得出，根據內錯角相等兩直線平行，即可得證．
【詳解】四邊形是平行四邊形

，

在和中，

，
∴．
21. 如圖：在平行四邊形ABCD邊AB，CD上截取AF，CE，使得AF=CE，連接EF，點M，N是線段EF上兩點，且EM=FN，連接AN，CM．
（1）求證：△AFN≌△CEM；
（2）若∠CMF=107°，∠CEM=72°，求∠NAF的度數．
【答案】（1）證明見解析；（2）∠NAF=35°．
【解析】
【分析】（1）利用平行線的性質，根據SAS即可證明；
（2）利用全等三角形的性質可知∠NAF=∠ECM，求出∠ECM即可.
【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴CD∥AB，
∴∠AFN=∠CEM，
∵FN=EM，AF=CE，
∴△AFN≌△CEM（SAS）．
（2）解：∵△AFN≌△CEM，
∴∠NAF=∠ECM，
∵∠CMF=∠CEM+∠ECM，
∴107°=72°+∠ECM，
∴∠ECM=35°，
∴∠NAF=35°．
【點睛】本題考查平行四邊形的性質、全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．
22. 教師辦公室有一種可以自動加熱的飲水機，該飲水機的工作程序是：放滿水后接通電源，則自動開始加熱，每分鐘水溫上升10℃，待加熱到100℃，飲水機自動停止加熱，水溫開始下降．水溫y（℃）和通電時間x（min）成反比例函數關系，直至水溫降至室溫，飲水機再次自動加熱，重復上述過程．設某天水溫和室溫均為20℃，接通電源后，水溫y（℃）和通電時間x（min）之間的關系如圖所示，回答下列問題：
（1）分別求出當0≤x≤8和8＜x≤a時，y和x之間的函數關系式；
（2）求出圖中a的值；
（3）李老師這天早上7：30將飲水機電源打開，若他想在8：10上課前喝到不低于40℃的開水，則他需要在什么時間段內接水？
【答案】（1）當0≤x≤8時，y＝10x+20；當8＜x≤a時，y＝；
（2）a＝40； （3）李老師要在7：38到7：50之間接水
【解析】
【分析】（1）直接利用反比例函數解析式和一次函數解析式求法得出答案；
（2）利用（1）中所求解析式，當y＝20時，得出答案；
（3）當y＝40時，代入反比例函數解析式，結合水溫的變化得出答案．
【小問1詳解】
當0≤x≤8時，設y＝k1x+b，
將（0，20），（8，100）的坐標分別代入y＝k1x+b得，
解得k1＝10，b＝20．
∴當0≤x≤8時，y＝10x+20．
當8＜x≤a時，設y＝，
將（8，100）的坐標代入y＝，
得k2＝800
∴當8＜x≤a時，y＝．
綜上，當0≤x≤8時，y＝10x+20；當8＜x≤a時，y＝．
小問2詳解】
將y＝20代入y＝，
解得x＝40，
即a＝40；
【小問3詳解】
當y＝40時，x＝＝20．
∴要想喝到不低于40℃的開水，x需滿足8≤x≤20，
即李老師要在7：38到7：50之間接水．
【點睛】此題主要考查了反比例函數的應用，正確求出函數解析式是解題關鍵．
23. 如圖，已知一次函數y=ax+b（a，b為常數，a≠0）的圖象與x軸，y軸分別交于點A，B，且與反比例函數（k為常數，k≠0）的圖象在第二象限內交于點C，作CD⊥x軸于D，若OA=OD=OB=3．
（1）求一次函數與反比例函數的解析式；
（2）觀察圖象直接寫出不等式0＜ax+b≤的解集；
（3）在y軸上是否存在點P，使得△PBC是以BC為一腰的等腰三角形？如果存在，請直接寫出P點的坐標；如果不存在，請簡要說明理由
【答案】（1）；（2）-3≤x＜0；（3）存在滿足條件的點P，其坐標為（0，-1）或（0，9）或（0，12）
【解析】
【分析】（1）根據平行線分線段成比例性質可得，求出A（3，0），B（0，4），C（-3，8），再用待定系數法求解；（2）由題意可知所求不等式的解集即為直線AC在x軸上方且在反比例函數圖象下方的圖象所對應的自變量的取值范圍：0＜-x+4≤-；（3）△PBC是以BC為一腰的等腰三角形，有BC=BP或BC=PC兩種情況.
【詳解】解：（1）∵CD⊥OA，
∴DC∥OB，
∴，
∴CD=2OB=8，
∵OA=OD=OB=3，
∴A（3，0），B（0，4），C（-3，8），
把A、B兩點的坐標分別代入y=ax+b可得
，解得，
∴一次函數解析式為，
∵反比例函數y=的圖象經過點C，
∴k=-24，
∴反比例函數的解析式為y=-
（2）由題意可知所求不等式的解集即為直線AC在x軸上方且在反比例函數圖象下方的圖象所對應的自變量的取值范圍，
即線段BC（包含C點，不包含B點）所對應的自變量x的取值范圍，
∵C（-3，8），
∴0＜-x+4≤-的解集為-3≤x＜0
（3）∵B（0，4），C（-3，8），
∴BC=5，
∵△PBC是以BC為一腰的等腰三角形，
∴有BC=BP或BC=PC兩種情況，
①當BC=BP時，即BP=5，
∴OP=BP+OB=4+5=9，或OP=BP-OB=5-4=1，
∴P點坐標為（0，9）或（0，-1）；
②當BC=PC時，則點C在線段BP的垂直平分線上，
∴線段BP的中點坐標為（0，8），
∴P點坐標為（0，12）；
綜上可知存在滿足條件的點P，其坐標為（0，-1）或（0，9）或（0，12）
【點睛】考核知識點：相似三角形，反比例函數.數形結合分類討論是關鍵.