河南省焦作市2023-2024學(xué)年八年級下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1．本試卷共4頁，三個(gè)大題，滿分120分，考試時(shí)間100分鐘．
2．本試卷上不要答題，請按答題卡上注意事項(xiàng)的要求直接把答案填寫在答題卡上．答在試卷上的答案無效．
一、選擇題（每題3分，共30分）
1. 如圖，在正方形ABCD外側(cè)，作等邊三角形ADE，AC，BE相交于點(diǎn)F，則∠BFC（）
A. 75°B. 60°C. 55°D. 45°
【答案】B
【解析】
【分析】由正方形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)得出∠BAE＝150°，AB＝AE，由等腰三角形的性質(zhì)和內(nèi)角和得出∠ABE＝∠AEB＝15°，再運(yùn)用三角形的外角性質(zhì)即可得出結(jié)果．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∠BAF＝45°，
∵△ADE是等邊三角形，
∴∠DAE＝60°，AD＝AE，
∴∠BAE＝90°＋60°＝150°，AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB＝（180°?150°）＝15°，
∴∠BFC＝∠BAF＋∠ABE＝45°＋15°＝60°；
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)；熟練掌握正方形和等邊三角形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵．
2. 下列各式：① ，②，③，④ 中，最簡二次根式有（）
A 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義逐項(xiàng)判斷即可.
【詳解】解：∵①不能化簡，是最簡二次根式；
可化簡，故不是最簡二次根式；
③可化簡，故不是最簡二次根式；
④可化簡，故不是最簡二次根式；
故答案為A.
【點(diǎn)睛】在判斷最簡二次根式的過程中要注意：（1）在二次根式的被開方數(shù)中，只要含有分?jǐn)?shù)或小數(shù)，就不是最簡二次根式；（2）在二次根式的被開方數(shù)中的每一個(gè)因式（或因數(shù)），如果冪的指數(shù)大于或等于2，也不是最簡二次根式．
3. 如圖，菱形中，，則、兩點(diǎn)之間的距離為（）
A. 15B. C. 7.5D.
【答案】D
【解析】
【分析】此題主要考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理；關(guān)鍵是掌握菱形對角線互相平分、垂直且平分每一組對角，菱形四邊形相等．連接、，交于，只要證明是等邊三角形即可解決問題．
【詳解】解：連接、，交于．
四邊形是菱形，
，，，
，
，
是等邊三角形，
，，
，
由勾股定理得，，
，
故選：D．
4. 下列各式計(jì)算正確的是（）
A. B. （a＞0）
C. D.
【答案】A
【解析】
【詳解】解：A．，運(yùn)算正確，故本選項(xiàng)正確；
B．，原式計(jì)算錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C．=6，原式計(jì)算錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D．，原式計(jì)算錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選A．
5. 已知直角三角形中30°角所對的直角邊長是cm，則另一條直角邊的長是（）
A. 4cmB. cmC. 6cmD. cm
【答案】C
【解析】
【詳解】如圖，∠C=90°，∠B=30°，AC=2cm，
∴AB=2AC=4cm，
BC==6cm，
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查了含30°角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理，解決此題的關(guān)鍵是正確的計(jì)算．
6. 已知，則的值為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【詳解】解：由，得
，
解得．
2xy=2×2.5×（-3）=-15，
故選：A．
7. 如圖，在中，分別為中點(diǎn)，且，則的周長為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，三角形中位線，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．先利用勾股定理求解，再利用直角三角形斜邊上的中線求解，再利用三角形中位線求解，從而可得答案．
【詳解】解：，
，
分別為中點(diǎn)，
，是的中位線，
，

故選：B．
8. 如圖是一個(gè)圓柱形飲料罐，底面半徑是5，高是12，上底面中心有一個(gè)小圓孔，則一條到達(dá)底部的直吸管在罐內(nèi)部分以a的長度（罐壁的厚度和小圓孔的大小忽略不計(jì)）范圍是（）
A. 12≤a≤13B. 12≤a≤15C. 5≤a≤12D. 5≤a≤l3
【答案】A
【解析】
【分析】最短距離就是飲料罐的高度，最大距離可根據(jù)勾股定理解答．
【詳解】解：a的最小長度顯然是圓柱的高12，最大長度根據(jù)勾股定理，得：=13．
即a的取值范圍是12≤a≤13．
故選：A．
9. 如圖，等邊三角形的頂點(diǎn)分別在等邊三角形的各邊上，且與E，若，則的長為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的特征，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)證明三角形全等．由題可證，，則，由直角三角形的性質(zhì)得，，因?yàn)椋裕?br>【詳解】解：，
，
，
同理，
又，，
，，，
，
，
，
，
故選：C．
10. 如圖，在正方形中，對角線是上任意一點(diǎn)，過M作，垂足分別為，則的值為（）
A. 20B. 10C. 15D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查正方形的性質(zhì)與等腰三角形的判定，由四邊形是正方形，則，由，，
得到，是等腰三角形，進(jìn)而得到即可．
【詳解】由四邊形是正方形，則，由，，
，
是等腰三角形
，
．
故選：D．
二、填空題（每題3分，共15分）
11. 如圖，在菱形中，對角線相交于點(diǎn)O，不添加任何輔助線，請你添加一個(gè)條件__________，使四邊形是正方形（填一個(gè)即可）．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本題考查了正方形的判定：先判定四邊形是矩形，再判定這個(gè)矩形有一組鄰邊相等；先判定四邊形是菱形，再判定這個(gè)菱形有一個(gè)角為直角．根據(jù)有一個(gè)直角的菱形為正方形添加條件．
【詳解】解：四邊形為菱形，
當(dāng)時(shí)，四邊形為正方形．
故答案為：．
12. 如圖所示，，數(shù)軸上點(diǎn)表示的數(shù)是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了勾股定理的運(yùn)用，利用勾股定理求出線段的長，結(jié)合數(shù)軸即可．
【詳解】解：點(diǎn)到數(shù)軸的線段交于點(diǎn)．
由圖可知點(diǎn)到數(shù)軸的距離為，點(diǎn)距離點(diǎn)的橫向距離為．
在中，
點(diǎn)表示的數(shù)為
故答案為：．
13. 若整數(shù)x滿足|x|≤3，則使為整數(shù)的x的值是___（只需填一個(gè)）．
【答案】﹣2（答案不唯一）
【解析】
【詳解】解：∵|x|≤3，
∴﹣3≤x≤3．
∵x為整數(shù)，∴x=﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3．
分別代入可知，只有x=﹣2，3時(shí)為整數(shù)．
∴使為整數(shù)的x的值是﹣2或3（填寫一個(gè)即可）．
故答案為：
14. 若一個(gè)直角三角形的一條直角邊長是7cm，另一條直角邊長比斜邊長短1cm，則該直角三角形的斜邊長為 ________．
【答案】25cm
【解析】
【分析】設(shè)直角三角形的斜邊長是xcm，則另一條直角邊長是(x-1)cm，根據(jù)勾股定理列方程求解．
【詳解】解：設(shè)直角三角形的斜邊長是xcm，則另一條直角邊長是(x-1)cm．
根據(jù)勾股定理，得，
解得x=25，
則斜邊長是25cm．
故答案為：25cm
【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，熟記公式正確列方程求解是解題關(guān)鍵．
15. 如圖，在正方形內(nèi)作等邊三角形，則的度數(shù)為____________．
【答案】##度
【解析】
【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，根據(jù)即可求解．
【詳解】解：是等邊三角形，
，
四邊形是正方形，是對角線，
，
．
故答案為：．
三、解答題（8道題，共75分）
16. 計(jì)算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)，分母有理化以及二次根式的混合運(yùn)算，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．
（1）先進(jìn)行分母有理化以及運(yùn)用二次根式的性質(zhì)化簡，得出，再合并同類二次根式，即可作答．
（2）先運(yùn)用多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則展開，再運(yùn)算除法，即可作答．
【小問1詳解】
解：
；
【小問2詳解】
解：
．
17. 如圖，在四邊形中，點(diǎn)是對角線上兩點(diǎn)，且．
（1）如果四邊形是平行四邊形，求證：是平行四邊形．
（2）如果四邊形是菱形，求證：也是菱形．
【答案】（1）證明見解析
（2）證明見解析
【解析】
【分析】本題主要考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)：
（1）連接．設(shè)相交于點(diǎn)O，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，再由，可得，即可求證；
（2）連接．設(shè)相交于點(diǎn)O，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，再由，可得，即可求證．
【小問1詳解】
證明：如圖，連接．設(shè)相交于點(diǎn)O，
因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅危?br>所以．
因?yàn)椋?br>所以，
所以四邊形是平行四邊形；
小問2詳解】
證明：如圖，連接．設(shè)相交于點(diǎn)O，
因?yàn)樗倪呅问橇庑危?br>所以．
因?yàn)椋?br>所以，
所以四邊形是平行四邊形，
因?yàn)椋?br>所以四邊形是菱形．
18. 如圖正方形ABCD的邊長為4，E、F分別為DC、BC中點(diǎn)．
（1）求證：△ADE≌△ABF．
（2）求△AEF的面積．
【答案】（1）詳見解析（2）6
【解析】
【分析】(1)、根據(jù)正方形的性質(zhì)以及中點(diǎn)得出DE=DF，結(jié)合正方形的性質(zhì)得出△ADE和△ABF全等；
(2)、利用正方形的面積減去三個(gè)直角三角形的面積得出△AEF的面積.
【詳解】(1)、∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=AD，∠=90°，DC=CB，
∵E、F為DC、BC中點(diǎn)，
∴DE=DC，BF=BC，
∴DE=BF，
∵在△ADE和△ABF中，
，
∴△ADE≌△ABF（SAS）；
(2)、由題知△ABF、△ADE、△CEF均為直角三角形，且AB=AD=4，DE=BF=×4=2，CE=CF=×4=2，
∴S△AEF=S正方形ABCD﹣S△ADE﹣S△ABF﹣S△CEF=4×4﹣×4×2﹣×4×2﹣×2×2=6．
【點(diǎn)睛】(1)、三角形全等；(2)、面積計(jì)算.
19. 在軍事上，常用時(shí)鐘表示方向角（讀數(shù)對應(yīng)的時(shí)針方向），如正北為12點(diǎn)方向，北偏西30°為11點(diǎn)方向．在一次反恐演習(xí)中，甲隊(duì)員在A處掩護(hù)，乙隊(duì)員從A處沿12點(diǎn)方向以40米/分的速度前進(jìn)，2分鐘后到達(dá)B處．這時(shí)，甲隊(duì)員發(fā)現(xiàn)在自己的1點(diǎn)方向的C處有恐怖分子，乙隊(duì)員發(fā)現(xiàn)C處位于自己的2點(diǎn)方向（如圖）．假設(shè)距恐怖分子100米以外為安全位置．
（1）乙隊(duì)員是否處于安全位置？為什么？
（2）因情況不明，甲隊(duì)員立即發(fā)出指令，要求乙隊(duì)員沿原路后撤，務(wù)必于15秒內(nèi)到達(dá)安全位置．為此，乙隊(duì)員至少應(yīng)用多快的速度撤離？（結(jié)果精確到個(gè)位．參考數(shù)據(jù)：，．）
【答案】（1）乙隊(duì)員不安全．（2）乙隊(duì)員至少應(yīng)以3米/秒的速度撤離．
【解析】
【分析】(1)根據(jù)題意得出AB=80，根據(jù)角度之間關(guān)系得出BC=AB=80，從而得出答案；
(2)過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，在AB邊上取一點(diǎn)B1，使CB1=100米，根據(jù)Rt△CBD得出BD和CD的長度，根據(jù)Rt△CDB1中的勾股定理求出B1D的長度，從而得出BB1的長度．
【詳解】解：(1)乙隊(duì)員不安全．
易求AB=80米，
∵∠DBC=60°，∠BAC=30°，
∴∠BCA=∠BAC=30°，
∴BC=AB=80米＜100米，
∴乙隊(duì)員不安全．
(2)過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，在AB邊上取一點(diǎn)B1，使CB1=100米，
在Rt△CBD中，∠CBD=60°，BC=80米，則BD=40米，CD=40米，
在Rt△CDB1中，由勾股定理知B1D==20米，
則BB1=（20﹣40）米，
而≈2.13（米/秒），
依題意結(jié)果精確到個(gè)位，所以乙隊(duì)員至少應(yīng)以3米/秒的速度撤離．
點(diǎn)睛：本題主要考查的是直角三角形的勾股定理，屬于中等難度的題型．通過添加輔助線構(gòu)造直角三角形是解決這個(gè)問題的關(guān)鍵．
20.
已知是關(guān)于x，y的二元一次方程的解.求(a＋1)(a－1)＋7的值
【答案】9
【解析】
【分析】根據(jù)已知是關(guān)于x，y的二元一次方程x=y+a的解，代入方程即可得出a的值，再利用二次根式的運(yùn)算性質(zhì)求出．
【詳解】解：∵是關(guān)于x，y的二元一次方程x＝y(tǒng)＋a的解，
∴2＝＋a，
∴a＝，
∴(a＋1)(a－1)＋7＝a2－1＋7＝3－1＋7＝9.
21. 如圖，在平行四邊形中，點(diǎn) 、分別在邊和上，且．

（1）求證：；
（2）求證：．
【答案】（1）見解析（2）見解析
【解析】
【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)即可證明；
（2）由（1）兩個(gè)三角形全等，由全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【小問1詳解】
解：四邊形是平行四邊形，
，．
在和中，

．
【小問2詳解】
解：，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握它們是關(guān)鍵．
22. 已知：如圖，在ABCD中，AE⊥BC，垂足為E，CE=CD，點(diǎn)F為CE的中點(diǎn)，點(diǎn)G為CD上的一點(diǎn)，連接DF、EG、AG，∠1=∠2．
（l）若CF=2，AE=3，求BE的長；
（2）求證：．
【答案】（1）;（2）見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)平行四邊形對邊相等的性質(zhì)，由已知，經(jīng)過等量代換得到直角三角形ABE的AB長，從而由已知的AE長，應(yīng)用勾股定理可求得BE的長．
（2）過點(diǎn)GH∥BC交AE于點(diǎn)H，則∠CEG=∠EGH，通過△CEG≌△CDF得到點(diǎn)G為CD的中點(diǎn)，從而確定GH是AE的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端距離相等的性質(zhì)，得到GA=GE，進(jìn)而根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，得∠EGH=∠AGH，從而得證．
【詳解】解：（1）∵CF=2，點(diǎn)F為CE的中點(diǎn)，∴CE=4．
∵CE=CD，∴CD=4．
∵四邊ABCD是平行四邊形，∴AB=CD=4．
∵ AE⊥BC，AE=3，∴．
（2）如圖，過點(diǎn)GH∥BC交AE于點(diǎn)H，則∠CEG=∠EGH．
∵∠1=∠2，∠C=∠C，CE=CD，
∴△CEG≌△CDF（AAS）．∴CG=CF．
∵點(diǎn)F為CE的中點(diǎn)，∴點(diǎn)G為CD的中點(diǎn)．
∴點(diǎn)H為AE的中點(diǎn)，即GH是AE的垂直平分線．
∴GA=GE．∴∠EGH=∠AGH．
∴．
23. 已知BD垂直平分AC，∠BCD=∠ADF，AF⊥AC，
（1）證明ABDF是平行四邊形；
（2）若AF=DF=5，AD=6，求AC的長．
【答案】（1）證明見解析；（2）．
【解析】
【分析】（1）先證得△ADB≌△CDB求得∠BCD=∠BAD，從而得到∠ADF=∠BAD，所以AB∥FD，因?yàn)锽D⊥AC，AF⊥AC，所以AF∥BD，即可證得．
（2）先證得平行四邊形是菱形，然后根據(jù)勾股定理即可求得．
【詳解】（1）證明：∵BD垂直平分AC，
∴AB=BC，AD=DC，
在△ADB與△CDB中，
，
∴△ADB≌△CDB（SSS）
∴∠BCD=∠BAD，
∵∠BCD=∠ADF，
∴∠BAD=∠ADF，
∴AB∥FD，
∵BD⊥AC，AF⊥AC，
∴AF∥BD，
∴四邊形ABDF是平行四邊形，
（2）解：∵四邊形ABDF是平行四邊形，AF=DF=5，
∴?ABDF是菱形，
∴AB=BD=5，
∵AD=6，
設(shè)BE=x，則DE=5-x，
∴AB2-BE2=AD2-DE2，
即52-x2=62-（5-x）2
解得：x=，
∴，
∴AC=2AE=．
考點(diǎn)：1．平行四邊形的判定；2．線段垂直平分線的性質(zhì)；3．勾股定理．
24. 牧羊人在某天發(fā)現(xiàn)了一個(gè)有水有草的神秘三角地帶，（如圖）便想在公路邊上找一點(diǎn)，安營扎寨，進(jìn)行牧羊．使每天牧羊時(shí)到草地邊上吃草，然后到小河邊處喝水，再跑回出發(fā)地休息．為使所跑路程最短，請你為牧羊人在公路上找一個(gè)合適的位置，并畫出線路圖．
【答案】P點(diǎn)為安營扎寨處，圖見解析
【解析】
【分析】本題考查了軸對稱的性質(zhì)．過點(diǎn)C作于P，過點(diǎn)P分別作和的對稱點(diǎn)，連接分別交和于點(diǎn)，此時(shí)P點(diǎn)為安營扎寨處．路線圖為．
【詳解】解：如圖，P點(diǎn)為安營扎寨處．
路線圖為．

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