廣東省廣州市番禺區(qū)金海岸實(shí)驗(yàn)學(xué)校2023-2024學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、選擇題（本大題共10小題，單選題，每小題3分，共30分）
1. 下列二次根式中，屬于最簡(jiǎn)二次根式的是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此題主要考查最簡(jiǎn)二次根式的定義，化為最簡(jiǎn)二次根式，逐一將各項(xiàng)二次根式化到最簡(jiǎn)，即可判定．
【詳解】解：A選項(xiàng)，，不是最簡(jiǎn)二次根式；
B選項(xiàng)，是最簡(jiǎn)二次根式；
C選項(xiàng)，，不是最簡(jiǎn)二次根式；
D選項(xiàng)，，不是最簡(jiǎn)二次根式；
故選：B．
2. 以下列各組數(shù)據(jù)為邊長(zhǎng)作三角形，其中能組成直角三角形的是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了勾股定理逆定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是找出每個(gè)選項(xiàng)中的兩個(gè)較小的數(shù)，求他們的平方和．找出每個(gè)選項(xiàng)中的兩個(gè)較小的數(shù)，求他們的平方和，再求這組數(shù)據(jù)中最大數(shù)的平方，比較兩個(gè)數(shù)是否相等，若相等，就能構(gòu)成直角三角形，不相等就不能構(gòu)成直角三角形．
詳解】解：A．，能構(gòu)成直角三角形，符合題意；
B．，不能構(gòu)成直角三角形，不符合題意；
C．，不能構(gòu)成直角三角形，不符合題意；
D．，不能構(gòu)成直角三角形，不符合題意；
故選：A．
3. 函數(shù)的自變量取值范圍是（）
A. B. C. D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件及分式有意義的條件列式求出答案即可．
【詳解】解：由題意得，x-1≥0，且x-2≠0，
解得且，
故選：D．
【點(diǎn)睛】此題考查了求函數(shù)自變量的取值范圍，正確掌握二次根式有意義的條件及分式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．
4. 下列說(shuō)法中，正確的是（）
A. 對(duì)角線互相平分的四邊形一定是平行四邊形
B. 對(duì)角線相等的四邊形一定是矩形
C. 對(duì)角線互相垂直的四邊形一定是菱形
D. 對(duì)角線相等的四邊形一定是正方形
【答案】A
【解析】
【詳解】解：A、對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，所以A選項(xiàng)為真命題；B、對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，所以B選項(xiàng)為假命題；C、對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，所以C選項(xiàng)為假命題；D、對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形，所以D選項(xiàng)為假命題．故選A．
考點(diǎn)：命題與定理．
5. 在下列條件中，能判定四邊形是平行四邊形的是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)平行四邊形的判定定理：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形可得答案．
【詳解】解：A、AB＝BC，AD＝DC，不能判定四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、AB∥CD，AD＝BC不能判定四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、AB∥CD，AB＝CD能判定四邊形ABCD是平行四邊形（一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形），故此選項(xiàng)正確；
D、∠A＝∠B，∠C＝∠D不能判定四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行四邊形的判定，關(guān)鍵是掌握（1）兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形．（2）兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形．（3）一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．（4）兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形．（5）對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形．
6. 如圖是一株美麗的勾股樹(shù)，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形的面積分別為9、25、4、9，則最大正方形的面積是（）

A. 13B. 26C. 34D. 47
【答案】D
【解析】
【分析】此題考查的是勾股定理，掌握以直角三角形斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積等于兩個(gè)以直角邊為邊長(zhǎng)的正方形面積之和是解決此題的關(guān)鍵．據(jù)勾股定理的含義，可得正方形A的面積與正方形B的面積之和等于正方形F的面積，正方形C的面積與正方形D的面積之和等于正方形G的面積，正方形F的面積與正方形G的面積之和等于正方形E的面積，即可求得正方形E的面積．
【詳解】解：如圖，標(biāo)注正方形F和正方形G，

由勾股定理得：
正方形F的面積=正方形A的面積+正方形B的面積
即
同理，正方形G的面積=正方形C的面積+正方形D的面積
即
∴正方形E的面積=正方形F的面積+正方形G的面積
即正方形E的面積為
故選：D．
7. 如圖，中，為中點(diǎn)，在上，且．若，，則的長(zhǎng)度是（）

A. 5B. C. 6D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線求出長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理求出即可．
【詳解】解：，
，
，為中點(diǎn)，
，
，
由勾股定理得：，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線和勾股定理的應(yīng)用，注意：在直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．
8. 如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，是小正方形的頂點(diǎn)，則的度數(shù)為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了勾股定理及其逆定理，判斷是等腰直角三角形是解決本題的關(guān)鍵，注意在格點(diǎn)三角形中利用勾股定理．
在格點(diǎn)三角形中，根據(jù)勾股定理即可得到，，的長(zhǎng)度，證明出是等腰直角三角形，繼而可得出的度數(shù)．
【詳解】解：如圖，連接．
根據(jù)勾股定理可以得到：，，
，即，
∴，
是等腰直角三角形．
．
故選：B．
9. 如圖，矩形紙片ABCD中，已知AD =8，折疊紙片使AB邊與對(duì)角線AC重合，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，折痕為AE，且EF=3，則AB的長(zhǎng)為( )
A. 3B. 4
C 5D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】先根據(jù)矩形的特點(diǎn)求出BC的長(zhǎng)，再由翻折變換的性質(zhì)得出△CEF是直角三角形，利用勾股定理即可求出CF的長(zhǎng)，再在△ABC中利用勾股定理即可求出AB的長(zhǎng)．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，AD=8，
∴BC=8，
∵△AEF是△AEB翻折而成，
∴BE=EF=3，AB=AF，△CEF是直角三角形，
∴CE=8﹣3=5，
在Rt△CEF中，CF==4，
設(shè)AB=x，
在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，
即（x+4）2=x2+82，
解得x=6，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換（折疊問(wèn)題），勾股定理，解題的關(guān)鍵是利用勾股定理建立等式求解．
10. 如圖，正方形ABCD和正方形CEFG中，點(diǎn)D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中點(diǎn)，那么CH的長(zhǎng)是（）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】連接AC、CF，如圖，根據(jù)正方形的性質(zhì)得∠ACD=45°，∠FCG=45°，AC=，CF=3，則∠ACF=90°，再利用勾股定理計(jì)算出AF=2，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線求CH的長(zhǎng)．
【詳解】連接AC、CF，如圖，
∵四邊形ABCD和四邊形CEFG都是正方形，
∴∠ACD=45°，F(xiàn)CG=45°，AC=BC=，CF=CE=3，
∴∠ACF=45°+45°=90°，
在Rt△ACF中，AF=，
∵H是AF的中點(diǎn)，
∴CH=AF= ．
故選A．
【點(diǎn)睛】
本題考查了正方形的性質(zhì)：正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角；正方形的兩條對(duì)角線相等，互相垂直平分，并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)．兩條對(duì)角線將正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形．也考查了直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)及勾股定理．
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
11. 若二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是______．
【答案】##
【解析】
【分析】本題考查了二次根式有意義的條件．熟練掌握二次根式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．
由題意知，，計(jì)算求解即可．
【詳解】解：由題意知，，
解得，，
故答案：．
12. 若直角三角形的兩邊長(zhǎng)為和，則第三邊長(zhǎng)為_(kāi)_____．
【答案】或
【解析】
【分析】本題考查了勾股定理，分為直角邊和斜邊兩種情況，利用勾股定理解答即可求解，運(yùn)用分類(lèi)討論思想解答是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：當(dāng)是直角邊時(shí)，第三邊長(zhǎng)；
當(dāng)是斜邊時(shí)，第三邊長(zhǎng)；
∴第三邊長(zhǎng)為或，
故答案為：或．
13. 菱形兩對(duì)角線長(zhǎng)分別為24和10，則該菱形的面積為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查的是菱形的性質(zhì)，熟記菱形的面積公式是解本題的關(guān)鍵，已知菱形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)，即可計(jì)算菱形的面積，
【詳解】解：∵菱形兩對(duì)角線長(zhǎng)分別為24和10，
菱形的面積為．
故答案為：
14. 如圖，矩形ABCD中，AE平分交BC于點(diǎn)E，連接DE，若，，則AD的長(zhǎng)是________．
【答案】7
【解析】
【分析】由矩形的性質(zhì)和根據(jù)勾股定理可求出EC＝4，再證明BE＝AB＝3，即可求出BC的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出AD的長(zhǎng)．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，AB＝CD，ADBC，AD＝BC，
∵ED＝5，CD＝3，
∴EC2＝DE2?CD2＝25?9＝16，
∴CE＝4，
∵ADBC，
∴∠AEB＝∠DAE；
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴BE＝AB＝CD＝3，
∴BC＝BE＋EC＝7，
∴AD＝7，
故答案為：7．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定等知識(shí)；解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用矩形的性質(zhì)和等腰三角形的判定．
15. 已知實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，則______．
【答案】1
【解析】
【分析】本題考查的是化簡(jiǎn)絕對(duì)值，二次根式的性質(zhì)，先判斷，，再化簡(jiǎn)即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
故答案為：1
16. 如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，連接AE、BE、CE，將△ABE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，則∠BE′C=___度．

【答案】135
【解析】
【詳解】試題分析：如圖，連接EE′，
∵將△ABE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△CBE′的位置，AE=1，BE=2，CE=3，
∴∠EBE′=90°，BE=BE′=2，AE=E′C=1．
∴EE′=2，∠BE′E=45°．
∵E′E2+E′C2=8+1=9，EC2=9．∴E′E2+E′C2=EC2．
∴△EE′C是直角三角形，∴∠EE′C=90°．∴∠BE′C=135°．
三、解答題（本大題共9小題，共72分）
17. 計(jì)算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)和混合運(yùn)算以及零指數(shù)冪；
（1）根據(jù)二次根式的性質(zhì)、絕對(duì)值的性質(zhì)、零指數(shù)冪和平方差公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再合并同類(lèi)二次根式即可．
（2）根據(jù)完全平方公式與平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可求解．
【小問(wèn)1詳解】
解：
；
【小問(wèn)2詳解】
解：
18. 畫(huà)數(shù)軸，并在數(shù)軸上找出表示的點(diǎn)，其中數(shù)軸單位長(zhǎng)度為．（保留作圖痕跡，無(wú)須寫(xiě)過(guò)程）
【答案】作圖見(jiàn)解析
【解析】
【分析】本題考查在數(shù)軸上表示無(wú)理數(shù)、勾股定理，解答的關(guān)鍵是如何根據(jù)勾股定理正確選取線段長(zhǎng)構(gòu)造直角三角形．由，作出1和2為直角邊的直角三角形，則斜邊長(zhǎng)為，進(jìn)而可作出點(diǎn)P．
【詳解】解：如圖，即為所求，
由勾股定理可得：，
∴表示的數(shù)為．
19. 如圖，在□ABCD中， E、F分別是邊AB，DC上的點(diǎn)，DE⊥AB，BF⊥CD．求證：BE＝DF．
【答案】證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】由平行四邊形的性質(zhì)，DE⊥AB，BF⊥CD證明四邊形BFDE為矩形，即可得證結(jié)論．
【詳解】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形
∴ ABCD
∴∠CDE+∠DEB=180°
∵ DE⊥AB，BF⊥CD
∴∠DEB=∠DFB =∠CDE =90°
∴四邊形BFDE為矩形
∴BE=DF
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，關(guān)鍵在于熟練掌握這些知識(shí)．
20. 先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本題考查的是分式的化簡(jiǎn)求值，掌握分式的混合運(yùn)算的運(yùn)算順序是解本題的關(guān)鍵，先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的分式的加法運(yùn)算，再計(jì)算除法運(yùn)算，最后把代入，分母有理化即可．
【詳解】解：
；
∵，
∴原式；
21. 如圖，在△ABC中，D、E、F分別為邊AB、BC、CA的中點(diǎn)．
（1）求證：四邊形DECF是平行四邊形．
（2）當(dāng)AC、BC滿足何條件時(shí)，四邊形DECF為菱形？
【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析；
【解析】
【分析】（1）先由中位線定理得到DE∥CF，DF∥EC，再利用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形進(jìn)行平行四邊形的判定．
（2）由（1）可知四邊形DECF是平行四邊形，利用平行四邊形的性質(zhì)得出AC＝BC，DE＝DF，即可解答
【詳解】（1）證明：D、E、F分別為邊AB、BC、CA的中點(diǎn)．
所以，DE∥CF，DF∥EC，
所以，四邊形DECF是平行四邊形．
（2）當(dāng)AC＝BC時(shí)，四邊形DECF為菱形，
因?yàn)镈E＝AC，DF＝BC，
由AC＝BC，得DE＝DF，
所以，平行四邊形DECF為菱形．
【點(diǎn)睛】此題考查平行四邊形的判定，三角形中位線定理，解題關(guān)鍵在于得到DE∥CF，DF∥EC
22. 如圖所示，和都是等腰直角三角形，，D為AB邊上一點(diǎn)，求證：

（1）．
（2）．
【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）由題意易證．再根據(jù)等腰三角形的定義得出，，即可證；
（2）由全等三角形的性質(zhì)可得，，從而可證，進(jìn)而由勾股定理即可得證．
【小問(wèn)1詳解】
證明：∵，
∴，即．
∵和都是等腰直角三角形，
∴，，
∴；
【小問(wèn)2詳解】
證明：∵，
∴．
∵，
∴，，
∴，即，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的定義，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理．熟練掌握三角形全等的判定定理和性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵．
23. 如圖，點(diǎn)分別是和的中點(diǎn)，若，試判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由．
【答案】四邊形是矩形，證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】本題考查了中點(diǎn)四邊形、平行四邊形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理等知識(shí)；熟練掌握中點(diǎn)四邊形和三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)中位線的性質(zhì)可得，則，，證出四邊形是平行四邊形，證，則，即可得出結(jié)論．
【詳解】解：∵點(diǎn)E、F、G、H分別為四邊形的邊、、、的中點(diǎn)，∴，，，，
∴，，
∴四邊形是平行四邊形，
又∵，
∴，
∴，
∴四邊形是矩形；
24. 一個(gè)有進(jìn)水管與出水管的容器，從某時(shí)刻開(kāi)始的4分鐘內(nèi)只進(jìn)水不出水，在隨后的若干分內(nèi)既進(jìn)水又出水，之后只出水不進(jìn)水．每分鐘的進(jìn)水量和出水量是兩個(gè)常數(shù)，容器內(nèi)的水量（單位：升）與時(shí)間（單位：分）之間的關(guān)系如圖．
（1）當(dāng)時(shí)間分鐘時(shí)，水量______升（直接寫(xiě)出答案）；
（2）當(dāng)時(shí)間分鐘時(shí)，水量______升（直接寫(xiě)出答案）；
（3）根據(jù)圖象，求出的值，并求出容器中水量的最大值．
【答案】（1）10 （2）23.75
（3）15，33.75
【解析】
【分析】本題考查了一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，待定系數(shù)法求解析式，求兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)問(wèn)題，讀懂題意，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
（1）這一階段的函數(shù)圖像為正比例函數(shù)圖像，用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，再代入即可求解；
（2）這一階段的函數(shù)圖像為一次函數(shù)圖像，用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，再代入即可求解；
（3）求出只放水階段對(duì)應(yīng)函數(shù)解析式，聯(lián)立這一階段的函數(shù)解析式，解方程組即可求解．
【小問(wèn)1詳解】
解：設(shè)這一階段對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為：，
代入得：，
解得：，
∴解析式為：，
∴當(dāng)時(shí)，升，
故答案為：10．
【小問(wèn)2詳解】
解：設(shè)這一階段對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為：，
代入，得：，
解得：，
∴解析式為：，
∴當(dāng)時(shí)，，
故答案為：23.75．
【小問(wèn)3詳解】
解：由（1）得進(jìn)水速度為5升/分鐘，則出水速度為升/分鐘，
∴設(shè)只放水階段對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為：，
代入得：，
解得：，
∴解析式為：，
∴聯(lián)立得：，解得，
∴，最大值為33.75．
25. 如圖，在矩形中，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)停止，同時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)即停止，點(diǎn)的速度都是每秒1個(gè)單位，連接．設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒

（1）當(dāng)為何值時(shí)，四邊形是矩形；
（2）當(dāng)時(shí)，判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由；
（3）當(dāng)為何值時(shí)，；
（4）整個(gè)運(yùn)動(dòng)當(dāng)中，直接寫(xiě)出線段掃過(guò)的面積是多少？
【答案】（1）
（2）菱形（3）或
（4）64
【解析】
【分析】（1）由矩形性質(zhì)得出，，由已知可得，，，當(dāng)時(shí)，四邊形為矩形，得出方程，解方程即可；
（2）時(shí)，，，得出，，，，則四邊形為平行四邊形，在中，由勾股定理求出，得出，即可得出結(jié)論；
（3）過(guò)點(diǎn)P作，垂足為點(diǎn)E，用t的代數(shù)式表示出，而，在中運(yùn)用勾股定理建立方程，解方程即可；
（4）連接、，、相交于點(diǎn)，線段掃過(guò)的面積的面積的面積，即可得出結(jié)果．
【小問(wèn)1詳解】
解：在矩形中，，，
，，
由已知可得，，，
在矩形中，，，
當(dāng)時(shí)，四邊形為矩形，
，
解得：，
當(dāng)時(shí)，四邊形為矩形；
【小問(wèn)2詳解】
解：四邊形為菱形；理由如下：
，
，，
，，
，，
四邊形為平行四邊形，
∵四邊形是矩形，
∴，
在中，，
，
平行四邊形為菱形，
當(dāng)時(shí)，四邊形為菱形；
【小問(wèn)3詳解】
解：過(guò)點(diǎn)P作，垂足為點(diǎn)E，
∴
+
∵四邊形為矩形，
∴ ，
∴四邊形為矩形，
∴，，
則，
∴在中，由
得：，
解得：或，
∴當(dāng)或，．
【小問(wèn)4詳解】
解：連接、，、相交于點(diǎn)，如圖3所示，

當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P在點(diǎn)D處，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A處，
∴則整個(gè)運(yùn)動(dòng)當(dāng)中，線段掃過(guò)面積是：的面積的面積，如圖3所示：
∵四邊形為矩形，
∴，
∴，
∴，
同理，
∵，
∴，
∴，
∴的面積的面積矩形的面積，
整個(gè)運(yùn)動(dòng)當(dāng)中，線段掃過(guò)的面積矩形的面積．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、菱形的判定、勾股定理、平行四邊形的判定、三角形面積公式以及分類(lèi)討論等知識(shí)；熟練掌握矩形的性質(zhì)和勾股定理是解題關(guān)鍵．

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