1.若{an}是等比數(shù)列，a1=1，a3=5，則a5=( )
A. 7B. 9C. 25D. 35
2.雙曲線C:x24?y29=1的漸近線方程為( )
A. y=±94xB. y=±49xC. y=±23xD. y=±32x
3.復平面內(nèi)表示復數(shù)z=m+(m+1)i(m∈R)的點在直線y=2x上，則m=( )
A. 1B. ?1C. 2D. ?2
4.已知下圖網(wǎng)格中面積最小的正方形邊長為1，平面向量a，b如圖所示，則|a?b|=( )
A. 2B. 3C. 2D. 1
5.在(1+x)3+(1+x)4+(1+x)5的展開式中，含x2項的系數(shù)是( )
A. 16B. 19C. 21D. 24
6.已知函數(shù)f(x)=ex+e2?x，則下列說法正確的是( )
A. f(x)為增函數(shù)B. f(x)有兩個零點
C. f(x)的最大值為2eD. y=f(x)的圖象關于x=1對稱
7.早期天文學家常采用“三角法”測量行星的軌道半徑.假設一種理想狀態(tài)：地球E和某小行星M繞太陽S在同一平面上的運動軌道均為圓，三個星體的位置如圖所示.地球在E0位置時，測出∠SE0M=2π3;行星M繞太陽運動一周回到原來位置，地球運動到了E1位置，測出∠SE1M=3π4，∠E1SE0=π3.若地球的軌道半徑為R，則下列選項中與行星M的軌道半徑最接近的是( )(參考數(shù)據(jù)： 3≈1.7)
A. 2.1RB. 2.2RC. 2.3RD. 2.4R
8.已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點為F1，F(xiàn)2，圓x2+y2=a2?b2與E的一個交點為P，直線PF2與E的另一個交點為Q，tan∠F1QF2=34，則E的離心率為( )
A. 35B. 22C. 34D. 32
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。
9.已知函數(shù)f(x)=sin2x，若f(x1)=f(x2)=12，則|x1?x2|的值可以為( )
A. π6B. π3C. π4D. 2π3
10.在數(shù)列{an}中，?n≥2，n∈N*，an+1+an?1=a1an，記{an}的前n項和為Sn，則下列說法正確的是( )
A. 若a1=1，a2=2，則a3=1B. 若a1=1，a2=2，則an=an+4
C. 若a1=2，a2=3，則an=n+1D. 若a1=2，a2=3，則S20=230
11.在矩形ABCD中，AB=1，BC= 3，以對角線BD為折痕將△ABD進行翻折，折后為△A′BD，連接A′C得到三棱錐A′?BCD，在翻折過程中，下列說法正確的是( )
A. 三棱錐A′?BCD體積的最大值為14B. 點A′，B，C，D都在同一球面上
C. 點A′在某一位置，可使BD⊥A′CD. 當A′B⊥DC時，A′C= 2
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知csα= 33，α∈(0,π2)，則tan2α=__________.
13.已知正六棱錐的側(cè)棱長為2 3，其各頂點都在同一球面上，若該球的表面積為16π，則該正六棱錐的體積為__________.
14.如圖，一個質(zhì)點從原點0出發(fā)，每隔一秒隨機、等可能地向左或向右移動一個單位，共移動六次.質(zhì)點位于4的位置的概率為__________;在質(zhì)點第一秒位于1的位置的條件下，該質(zhì)點共經(jīng)過兩次3的位置的概率為__________.
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題13分)
如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，D，E為A1C，AB中點，連接A1B，BC1.
(1)證明：DE//平面A1BC1;
(2)若DE⊥AB，AB=BC=1，AA1=2，求二面角A1?BC1?C的正弦值.
16.(本小題15分)
某企業(yè)響應國家“強芯固基”號召，為匯聚科研力量，準備科學合理增加研發(fā)資金.為了解研發(fā)資金的投入額x(單位：千萬元)對年收入的附加額y(單位：千萬元)的影響，對2017年至2023年研發(fā)資金的投入額xi和年收入的附加額yi進行研究，得到相關數(shù)據(jù)如下：
(1)求y關于x的線性回歸方程;
(2)若年收入的附加額與投入額的比值大于0.1，則稱對應的年份為“優(yōu)”，從上面的7個年份中任意取3個，記X表示這三個年份為“優(yōu)”的個數(shù)，求X的分布列及數(shù)學期望.
參考數(shù)據(jù)：i=17xiyi=2976，i=17yi=42，i=17xi2=32800.
附：回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：b=i=1n(xi?x)(yi?y)i=1n(xi?x)2=i=1nxiyi?nx yi=1nxi2?nx2，a=y?bx.
17.(本小題15分)
已知函數(shù)f(x)=lnxx+1.
(1)求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;
(2)當x≥1時，f(x)≤a(x?1)，求a的取值范圍.
18.(本小題17分)
已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點為F，直線y=x+1與C交于A，B兩點，|AF|+|BF|=8.
(1)求C的方程;
(2)過A，B作C的兩條切線交于點P，設D，E分別是線段PA，PB上的點，且直線DE與C相切，求證：|PD||PE|=|AD||BE|.
19.(本小題17分)
若非空集合A與B，存在對應關系f，使A中的每一個元素a，B中總有唯一的元素b與它對應，則稱這種對應為從A到B的映射，記作f:A→B.
設集合A={?5,?3,?1,1,3,5}，B={b1,b2,?,bn}(n∈N*,n≤6)，且B?A.設有序四元數(shù)集合P={X|X=(x1,x2,x3,x4),xi∈A且i=1，2，3，4}，Q={Y|Y=(y1,y2,y3,y4)}.對于給定的集合B，定義映射f:P→Q，記為Y=f(X)，按映射f，若xi∈B(i=1,2,3,4)，則yi=xi+1;若xi?B(i=1,2,3,4)，則yi=xi.記SB(Y)=i=14yi.
(1)若B={?5,1}，X=(1,?3,?3,5)，寫出Y，并求SB(Y);
(2)若B={b1,b2,b3}，X=(1,?3,?3,5)，求所有SB(Y)的總和;
(3)對于給定的X=(x1,x2,x3,x4)，記i=14xi=m，求所有SB(Y)的總和(用含m的式子表示).
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎題.
由等比數(shù)列的性質(zhì)即可求解.
【解答】
解：∵等比數(shù)列{an}中，a1=1，a3=5，
∵a32=a1?a5，
∴a5=a32a1=521=25.
故選C.
2.【答案】D
【解析】【分析】
本題主要考查雙曲線的性質(zhì)，屬于基礎題.
由題意可知，a=2，b=3，代入y=±bax可得漸近線方程．
【解答】
解：因為雙曲線方程為x24?y29=1，
所以焦點在x軸，且a=2，b=3，
故漸近線方程為y=±bax=±32x.
故選：D.
3.【答案】A
【解析】【分析】
本題考查復數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義，屬于基礎題.
將復數(shù)z對應復平面內(nèi)的點(m,m+1)代入直線方程，解方程即可.
【解答】
解：因為復數(shù)z=m+(m+1)i(m∈R)對應復平面內(nèi)的點(m,m+1)，
代入y=2x中，
則m+1=2m，解得m=1.
故選：A.
4.【答案】C
【解析】【分析】
本題考查求向量的模，屬于基礎題.
建立平面直角坐標系，求出向量坐標，由向量模的坐標表示即可求解.
【解答】
解：建立如圖所示的平面直角坐標系：
由題意得，最小正方形的邊長為1，
∴a=(3,0)，b=(2,1)，
則a?b=(1,?1)，
則|a?b|= 12+12= 2，
故選：C.
5.【答案】B
【解析】【分析】
本題主要考查二項式定理的應用，求展開式中某項的系數(shù)，屬于基礎題．
利用二項展開式的通項公式，組合數(shù)公式，求得含x2項的系數(shù)．
【解答】
解：(1+x)3+(1+x)4+(1+x)5的展開式中，
含x2項的系數(shù)為C32+C42+C52=3+6+10=19.
故選：B.
6.【答案】D
【解析】【分析】
本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值，零點以及對稱性，屬中檔題.
對函數(shù)求導之后得到 f′x=ex?e2?x，此時函數(shù)f′x為增函數(shù)，進一步得到導函數(shù)零點，進一步得到原函數(shù)的單調(diào)性，對選項逐個判斷即可.
【解答】
解：由題意可得，
f′x=ex?e2?x，
又f′1=0，且f′x為增函數(shù)從而得，
x∈?∞,1,f′x0,fx單調(diào)遞增，
故A項錯誤；
又fx≥f1=2e，
故函數(shù)fx沒有零點，故B項錯誤；
又當x→?∞,fx→+∞；
x→+∞,fx→+∞，
故f(x)沒有最大值；故C項錯誤；
當f2?x=e2?x+e2?2?x
=ex+e2?x=fx，
則y=f(x)的圖象關于x=1對稱，故D項正確.
故選：D.
7.【答案】A
【解析】【分析】
本題考查利用正弦定理解三角形，屬于基礎題.
利用正弦定理列出方程，聯(lián)立方程可得答案.
【解答】
解：設∠E1SM=α，
在△E1SM中，由正弦定理，
有Rsinπ4?α=SMsin3π4①，
在△E0SM中，由正弦定理，
有Rsinα=SMsin2π3②，
由①②，有tanα=2 3?3≈0.4，
故SM= 32Rsinα≈2.1R.
故選A.
8.【答案】B
【解析】【分析】
本題考查了橢圓的定義與性質(zhì)以及三角函數(shù)知識的運用，考查了運算能力，屬于中檔題.
由題可得PF1⊥PF2，設F1Q=5x，x>0，解三角形求得PF1=3x，PQ=4x，利用橢圓的定義求得PF2，QF2，從而得到a=3x，在Rt△PF1F2中，得到F1F2=2c=3 2x，結(jié)合橢圓的離心率公式求解即可.
【解答】
解：記F1F2=2c，
則圓x2+y2=a2?b2
即為x2+y2=c2，
由題可知PF1⊥PF2，
因為tan∠F1QF2=34，
所以sin∠F1QF2=35，cs∠F1QF2=45，
在Rt△PQF1中，設F1Q=5x，x>0，
則PF1=F1Q?sin∠F1QF2=3x，
PQ=F1Q?cs∠F1QF2=4x，
由橢圓的定義可得
PF2=2a?PF1=2a?3x，
QF2=2a?QF1=2a?5x，
則由PQ=PF2+QF2可得
4x=2a?3x+2a?5x，可得a=3x，
則PF2=PF1=3x，
在Rt△PF1F2中，
F1F2=2c=3 2x，即c=3 2x2，
則橢圓E的離心率為e=ca= 22.
故選：B.
9.【答案】BD
【解析】【分析】
本題考查由正弦函數(shù)值求角，屬于基礎題．
由題意得出2x1=π6+2k1π,(k1∈Z),2x2=5π6+2k1π,(k2∈Z),即可求得x1?x2=π3+kπ,k∈Z，從而得解.
【解答】
解：因為函數(shù)f(x)=sin2x，
若f(x1)=f(x2)=12，
當x1=x2時，|x1?x2|=0，
當x1≠x2時，所以2x1=π6+2k1π,(k1∈Z),
2x2=5π6+2k1π,(k2∈Z),
所以x1=π12+k1π,(k1∈Z),
x2=5π12+k1π,(k2∈Z),
則x1?x2=π3+kπ,k∈Z.
當k=0時，|x1?x2|=π3；
當k=?1時，|x1?x2|=2π3.
故選BD.
10.【答案】ACD
【解析】【分析】
本題考查根據(jù)數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的項和通項公式，等差數(shù)列的通項公式，等差數(shù)列的前n項和公式，屬于中等題.
利用數(shù)列的遞推公式可判斷選項AB，利用等差數(shù)列的通項公式，等差數(shù)列的前n項和公式可判斷選項CD.
【解答】
解：對A選項，n=2時，有a3+a1=a1a2，
所以a3=a1a2?a1=2?1=1，故A正確；
對B選項，當a1=1時，有an+1+an?1=an(n≥2)，
所以an+3=an?an+1=an?an?an?1=an?1(n≥2)，
則an=an+4(n≥2)，經(jīng)驗證，a1=1，a2=2時，a3=1，a4=?1，a5=?2≠a1，故B不正確；
對C選項，當a1=2時，an+1+an?1=2an(n≥2)，an+1?an=an?an?1=?=a2?a1=1，
所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列，公差為1，首項為2，an=n+1，故C正確；
對D選項，由C選項可知，數(shù)列{an}是等差數(shù)列，an=n+1，
故S20=20a1+a202=10×2+21=230，所以D選項正確；
11.【答案】ABD
【解析】【分析】
本題考查三棱錐的結(jié)構特征，考查棱錐的體積，球的切、接問題，空間向量的數(shù)量積與空間向量的垂直關系，屬于較難題.
當三棱錐A′?BCD的體積最大時，平面A′BD⊥平面BCD，分析三棱錐的結(jié)構特征，利用三棱錐的體積公式可判斷選項A；利用直角三角形的外接圓圓心在斜邊中點處可得三棱錐A′?BCD的外接球球心的位置，可判斷選項B；若BD⊥A′C，則需要BD⊥GC，顯然不成立，可判斷選項C；利用空間向量的數(shù)量積與空間向量的垂直關系可判斷選項D.
【解答】
解：對A選項，當三棱錐A′?BCD的體積最大時，平面A′BD⊥平面BCD，
過點A′作A′G⊥BD，因為平面A′BD∩平面BCD=BD，A′G?平面A′BD，
所以A′G⊥平面BCD，
即A′G為三棱錐A′?BCD的高，
A′G=A′D?A′BBD= 32，
所以三棱錐A′?BCD體積的最大值為
VA′?BCD=13?A′G?S△BCD
=13× 32×12× 3×1=14，故A正確；
對B選項，取BD的中點為O，因為△A′BD，△CBD為直角三角形，
所以OA′=OD=OB=OC，所以點O為三棱錐A′?BCD的外接球的球心，半徑為1，
故點A′，B，C，D都在同一球面上，故B正確；
對C選項，若BD⊥A′C，
則BD?A′C=BD?A′G+GC=0，
所以只需BD⊥GC，
顯然在矩形ABCD中不成立，故C錯誤；
對D選項，當A′B⊥DC時，
有A′B?DC=0
A′C+CB?DC=0
A′C?DC+CB?DC=0
A′C?DC=0，
即A′C⊥DC，所以△A′CD為直角三角形，∠A′CD為直角，
則A′C= 2，故D正確.
故選ABD.
12.【答案】?2 2
【解析】【分析】
本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關系，二倍角正切公式，屬于基礎題．
運用同角三角函數(shù)的平方關系，求解sinα，從而得到tanα，再利用二倍角正切公式計算即可．
【解答】
解：因為csα= 33，α∈(0,π2)，
所以sinα= 1?cs2α= 1?13= 63，
所以tanα=sinαcsα= 63 33= 2，
所以tan2α=2tanα1?tan2α=2 21?2=?2 2，
故答案為：?2 2.
13.【答案】9 32
【解析】【分析】
本題主要考查的是正六棱錐的體積，正六棱錐的結(jié)構特征，屬于中檔題.
由題可求出正六棱錐外接球的半徑，正六棱錐的底邊長為a，高為h，結(jié)合正六棱錐的結(jié)構，列出關于a，h的方程，求解即可得到正六棱錐的體積.
【解答】
解：設正六棱錐H?ABCDEF，底面中心為G，外接球半徑為R，底面正六邊形的邊長為a，棱錐的高HG=h，則4πR2=16π，所以R=2，F(xiàn)G=a，
①當外接球的球心O在棱錐內(nèi)部時，h>2，
在Rt△HGF中，F(xiàn)H2=HG2+FG2，
即12=h2+a2，
在Rt△OGF中，R2=OG2+FG2，
即4=h?22+a2，
聯(lián)立12=h2+a24=h?22+a2，
解得a= 3h=3，
所以該正六棱錐的體積為
V=13×3×6× 34× 32=92 3；
②當外接球的球心O在棱錐外部時，h

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