單項(xiàng)選擇題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1．復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)是（ ）
A．B．C．D．
2．已知某平面圖形用斜二測畫法畫出的直觀圖為如圖所示的三角形，其中，則該平面圖形的面積為（ ）
A．B．2
C．D．4
3．如圖，等腰梯形中，，點(diǎn)為線段中點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則（ ）

A．
B．
C．
D．
4．下列說法正確的是（ ）
A．長方體是四棱柱，直四棱柱是長方體
B．有2個面平行，其余各面都是梯形的幾何體是棱臺
C．各側(cè)面都是正方形的四棱柱一定是正方體
D．棱柱的側(cè)棱相等，側(cè)面都是平行四邊形
5．如圖①，普通蒙古包可近似看作是圓柱和圓錐的組合體；如圖②，已知圓柱的底面直徑米，母線長米，圓錐的高米，則該蒙古包的側(cè)面積約為（ ）
A．平方米B．平方米C．平方米D．平方米
6．如圖，在平行四邊形中，是的中點(diǎn)，設(shè)，，則向量（ ）.
A．B．C．D．
7．下列化簡結(jié)果正確的個數(shù)為（ ）
① ②
③ ④
A．1個B．2個C．3個D．4個
8．青花瓷（blue and white prcelain），又稱白地青花瓷，常簡稱青花，是中國瓷器的主流品種之一，屬釉下彩瓷．原始青花瓷于唐宋已見端倪，成熟的青花瓷則出現(xiàn)在元代景德鎮(zhèn)的湖田窯.圖一是一個由波濤紋和葡萄紋構(gòu)成的正六邊形青花瓷盤，已知圖二中正六邊形的邊長為，圓的圓心為正六邊形的中心，半徑為，若點(diǎn)在正六邊形的邊上運(yùn)動，動點(diǎn)在圓上運(yùn)動且關(guān)于圓心對稱，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
二?多項(xiàng)選擇題：本大題共 3小題，每小題 6 分，共 18 分.
9．下列說法正確的是（ ）
A．若，則存在唯一實(shí)數(shù)使得
B．向量與共線是，，，四點(diǎn)共線的必要不充分條件
C．已知，，，，，若點(diǎn)，，共線，則.
D．在中，為的中點(diǎn)，若，則是在上的投影向量
10．已知復(fù)數(shù)滿足，且復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．復(fù)數(shù)的虛部為B．
C．D．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為
11．“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.奔馳定理：已知是內(nèi)的一點(diǎn)，，，的面積分別為，則有.設(shè)是銳角內(nèi)的一點(diǎn)，，，分別是的三個內(nèi)角，以下命題正確的有（ ）
A．若，則為的重心
B．若，則
C．若，，，則
D．若為的垂心，則
三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分.
12．若的三個內(nèi)角滿足，則 ．
13．已知，是單位向量，，．若，則與的夾角為 ．
14．在棱長為1的正方體中，分別為線段和上的動點(diǎn)，且滿足，則四邊形所圍成的圖形（如圖所示陰影部分）分別在該正方體有公共頂點(diǎn)的三個面上的正投影的面積之和為 ．
四、解答題（共5題，共77分）
15．（13分）已知平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為原點(diǎn)，，
(1)若，且方向相反，求的坐標(biāo)；
(2)若，與的夾角為，且向量與互相垂直，求的值.
16．（12分）如圖，在以、、、、、為頂點(diǎn)的五面體中，面是等腰梯形，，面是矩形，平面平面，，.

（1）求證：平面平面；
（2）若三棱錐的體積為，求的值.
17．（15分）已知正四面體的棱長為3，，，過點(diǎn)作直線分別交，于，．設(shè)，（）．
(1)求的最小值及相應(yīng)的，的值；
(2)在（1）的條件下，求：
①的面積；
②四面體的內(nèi)切球的半徑．
18．（17分）十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家、被譽(yù)為業(yè)余數(shù)學(xué)家之王的皮埃爾·德·費(fèi)馬提出的一個著名的幾何問題：“已知一個三角形，求作一點(diǎn)，使其與這個三角形的三個頂點(diǎn)的距離之和最小”它的答案是：“當(dāng)三角形的三個角均小于時，所求的點(diǎn)為三角形的正等角中心，即該點(diǎn)與三角形的三個頂點(diǎn)的連線兩兩成角；當(dāng)三角形有一內(nèi)角大于或等于時，所求點(diǎn)為三角形最大內(nèi)角的頂點(diǎn)．在費(fèi)馬問題中所求的點(diǎn)稱為費(fèi)馬點(diǎn)．已知a，b，c分別是三個內(nèi)角A，B，C的對邊，且，點(diǎn)為的費(fèi)馬點(diǎn)．
(1)求角；
(2)若，求的值；
(3)若，求的取值范圍．
19．（20分）對于數(shù)集，其中，．定義向量集．若對于任意，存在，使得，則稱X具有性質(zhì)P．
(1)已知數(shù)集，請你寫出數(shù)集對應(yīng)的向量集，是否具有性質(zhì)P？
(2)若，且具有性質(zhì)P，求x的值；
(3)若X具有性質(zhì)P，求證：，且當(dāng)時，．
參考答案：
1．B
【分析】先計算求出，即可求出答案.
【詳解】因?yàn)椋栽趶?fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)是.
故選：B.
2．D
【分析】作出原圖形，且得出原圖形中的線段長度，由三角形的面積公式可求得答案.
【詳解】解：作出原圖形如下圖所示：則，所以該平面圖形的面積為，
故選：D.
3．B
【分析】連接，根據(jù)中位線的性質(zhì)，結(jié)合平面向量的基本運(yùn)算求解即可.
【詳解】連接，
，點(diǎn)為線段中點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn).
.
又.
.

故選：B
4．D
【分析】
根據(jù)棱柱，棱臺的定義依次判斷每個選項(xiàng)即可.
【詳解】對選項(xiàng)A：長方體是四棱柱，底面不是長方形的直四棱柱不是長方體，錯誤；
對選項(xiàng)B：棱臺的側(cè)棱延長線必須相交于一點(diǎn)，錯誤；
對選項(xiàng)C：各側(cè)面都是正方形，底面不是正方形（如菱形）的四棱柱不是正方體，錯誤；
對選項(xiàng)D：棱柱的側(cè)棱相等，側(cè)面都是平行四邊形，正確；
故選：D
5．D
【分析】首先根據(jù)圓柱的側(cè)面展開圖為長方形求出圓柱的側(cè)面積，再根據(jù)圓柱的側(cè)面展開圖為扇形求出圓錐的側(cè)面積，進(jìn)而得到蒙古包的側(cè)面積.
【詳解】依題意得，
圓柱的側(cè)面積，
，，
在中，，
圓錐的側(cè)面積，
該蒙古包的側(cè)面積，
故選：D.
6．B
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，利用向量加法的幾何意義有，即可得到與、的線性關(guān)系.
【詳解】由題設(shè)，，則，又，
∴.
故選：B
7．C
【分析】直接由誘導(dǎo)公式及和差角的正弦、余弦、正切公式以及倍角公式依次判斷即可.
【詳解】，①正確；
，②正確；
，③正確；
，④錯誤；正確的有3個.
故選：C.
8．C
【分析】連接，則，利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律即可求解.
【詳解】連接，如圖所示：
則
，
根據(jù)圖形可知，當(dāng)點(diǎn)位于正六邊形各邊的中點(diǎn)時，有最小值為，此時，
當(dāng)點(diǎn)位于正六邊形的頂點(diǎn)時，有最大值為2，此時，
故，即的取值范圍是，
故選：C
9．BD
【分析】利用平面向量共線定理，平面向量加法法則，平面向量坐標(biāo)運(yùn)算判斷即可.
【詳解】對于A選項(xiàng)：當(dāng)，時，不存在實(shí)數(shù)使得，當(dāng)，時，
存在無數(shù)個實(shí)數(shù)使得，故A錯誤；
對于B選項(xiàng)：當(dāng)向量與共線，則，，，四點(diǎn)可以共線，也可以平行，
故充分性不成立，當(dāng)，，，四點(diǎn)共線可以推出向量與共線，故必要性成立，故B正確；
對于C選項(xiàng)：若點(diǎn)，，共線，則，
而，，所以，
所以且，而時，，此時，重合，所以，不一定是，故C錯誤；
對于D選項(xiàng)：由平面向量加法可知，是與的平分線表示的向量平行的向量，
因?yàn)椋詾榈钠椒志€，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，
所以，所以是在上的投影向量，故D正確.
故選：BD.
10．BC
【分析】由待定系數(shù)法，根據(jù)模長公式可得，即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.
【詳解】解：設(shè)，
由，得，解得或（舍去）．
，復(fù)數(shù)的虛部為，故A錯誤；
，故B正確；
，故C正確；
，故D錯誤．
故選：BC．
11．ABD
【分析】對于A，假設(shè)為的中點(diǎn)，連接，由已知得在中線上，同理可得在其它中線上，即可判斷；對于選項(xiàng)B，利用奔馳定理可直接得出B正確；對于C，根據(jù)奔馳定理可得，再利用三角形面積公式可求得，即可計算出，可得C錯誤；選項(xiàng)D，由垂心的性質(zhì)、向量數(shù)量積的運(yùn)算律，得到，結(jié)合三角形面積公式及角的互補(bǔ)關(guān)系得結(jié)論.
【詳解】對于A：如下圖所示，
假設(shè)為的中點(diǎn)，連接，則，故共線，即在中線上，
同理可得在另外兩邊的中線上，故O為的重心，即A正確；
對于B：由奔馳定理O是內(nèi)的一點(diǎn)，的面積分別為，
則有可知，
若，可得，即B正確；
對于C：由，可知，
又，所以，
由可得；
所以，即C錯誤；
對于D：由四邊形內(nèi)角和可知，，
則，
同理，
因?yàn)镺為的垂心，則，
所以，
同理得，，
則，
令，
由，
則，
同理：，
，
綜上，，
根據(jù)奔馳定理得，即D正確.
故選：ABD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用向量數(shù)量積定義、運(yùn)算律和垂心性質(zhì)得到向量模的比例，結(jié)合三角形面積公式和奔馳定理判斷結(jié)論即可.
12．
【分析】利用正弦定理，進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，從而得出，從而直接設(shè)出，其中，再利用余弦定理即可得出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?，由正弦定理可得，，令，其中?br>由余弦定理，得到，所以，
故答案為：.
13．
【分析】
由，可得，化簡得到，利用向量夾角公式即可得到答案.
【詳解】
因?yàn)?，?br>所以．
所以，設(shè)與的夾角為，則，
因?yàn)?，所?br>故答案為：
14．2
【分析】先根據(jù)題意畫出三個面上的正投影，然后結(jié)合平行四邊形的面積公式求解即可.
【詳解】依題意，設(shè)四邊形的四個頂點(diǎn)在后面，上面，右面的投影點(diǎn)分別為，，，，則四邊形在后面，上面，右面的投影分別如圖．
所以在后面的投影的面積為，
在上面的投影的面積，
在右面的投影的面積．
所以四邊形所圍成的圖形分別在該正方體有公共頂點(diǎn)的三個面上的正投影的面積之和為
．
故答案為：2
15．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)已知可設(shè)，，然后根據(jù)已知得出，即可得出的值，代入即可得出答案；
（2）求出，根據(jù)數(shù)量積的定義得出.由向量垂直，得出，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律展開，得出方程，求解即可得出答案.
【詳解】（1）由已知可得，，設(shè)，，
所以，.
又，所以，所以，
所以，.
（2）由已知可得，，所以，
所以.
因?yàn)橄蛄颗c互相垂直，
所以，，
即，
即，解得.
16．（1）證明見解析；（2）.
【分析】（1）由面面垂直的性質(zhì)定理得出平面，可得出，再推導(dǎo)出，利用線面垂直的判定定理得出平面，然后利用面面垂直的判定定理可得出平面平面；
（2）推導(dǎo)出平面，計算出的面積，然后利用錐體體積公式可求得三棱錐的體積，進(jìn)而得解.
【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅问蔷匦?，故?br>又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又面，所以，
在等腰梯形中，，，
因，故，，即，
又，故平面，
平面，所以平面平面；
（2）的面積為，
，平面，所以，平面，
，故.
【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的證明，同時也考查了利用三棱錐體積求參數(shù)，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.
17．(1)的最小值為，此時
(2)①；②
【分析】（1）將用表示，再根據(jù)三點(diǎn)共線，可得的系數(shù)之和為，再根據(jù)基本不等式即可得解；
（2）①利用余弦定理分別求出，進(jìn)而可求出三角形的面積；
②先求出四面體四個三角形面的面積，再利用等體積法求解即可.
【詳解】（1）由，
得，
又，所以，
又，，
所以，
因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，即，
又，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
所以的最小值為，此時；
（2）①由（1）得，，
在中，由余弦定理得，所以，
在中，由余弦定理得，所以，
在中，由余弦定理得，所以，
所以；
②，
，
外接圓的直徑為，
所以三棱錐的高為，
也即三棱錐的高為，
所以，
設(shè)四面體的內(nèi)切球的半徑為，
則，解得，
所以四面體的內(nèi)切球的半徑為.
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)三角恒等變換即可結(jié)合同角關(guān)系求解，
（2）根據(jù)余弦定義以及等面積法可得，即可根據(jù)數(shù)量積的定義求解，
（3）根據(jù)余弦定理，結(jié)合（2）的結(jié)論可得，進(jìn)而根據(jù)三角形相似可得，由基本不等式以及三角形邊角關(guān)系可得，即可由函數(shù)的單調(diào)性求解.
【詳解】（1），
，
，
，
又，，
，,，
（2），
，又，
，
設(shè)，，，
，三角形的三個角均小于120，
根據(jù)題意可得，
又，
，
，
．
（3）由 ，
，，
由余弦定理可得，
同理可得，，
相加可得，
又，
所以，
由于,
所以又
故，所以，
故，且
故，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
又，所以
，
令，則，
所以，
由于函數(shù)均為上的單調(diào)遞增函數(shù)，故為的單調(diào)遞增函數(shù)，
故，進(jìn)而
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：處理多變量函數(shù)最值問題的方法有：（1）消元法：把多變量問題轉(zhuǎn)化單變量問題，消元時可以用等量消元，也可以用不等量消元.（2）基本不等式：即給出的條件是和為定值或積為定值等，此時可以利用基本不等式來處理，用這個方法時要關(guān)注代數(shù)式和積關(guān)系的轉(zhuǎn)化. （3）線性規(guī)劃：如果題設(shè)給出的是二元一次不等式組，而目標(biāo)函數(shù)也是二次一次的，那么我們可以用線性規(guī)劃來處理.
19．(1)，具有性質(zhì)
(2)4
(3)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)向量集的定義，即可寫出.在中，檢驗(yàn)任意，存在，使得，即可得出答案；
（2）在中取，可得或，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)公式結(jié)合條件即得；
（3）取，設(shè)，根據(jù)條件可得 中一個必為，另一個數(shù)是1，從而 ，然后利用反證法，即得.
【詳解】（1）由已知可得，.
因?yàn)椋?，，，，?br>即對任意，存在，使得，
所以，具有性質(zhì).
（2）因?yàn)榫哂行再|(zhì)，
取，由，則中的或.
當(dāng)時，由可得，.
因?yàn)?，所以或，所以?
又，則；
當(dāng)時，有可得，.
因?yàn)?，所以不存在，舍?
綜上所述，.
（3）因?yàn)閿?shù)集，其中，
取，設(shè)，
由得，則，
則和中有一個數(shù)是，
則和中有一個數(shù)是，即，
假設(shè)，則，
再取，，則，
所以和異號，且其中一個值為，
若，則，矛盾；
若，則，矛盾；
則假設(shè)不成立，
可得當(dāng)時，.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：根據(jù)題意向量集的概念，以及集合中的特殊元素“”，得出元素“1”，進(jìn)而假設(shè)，根據(jù)數(shù)量積為0，推出矛盾，即可得出證明.

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