注意事項：
1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上．
2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂里．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號．答案不能答在試卷上．
3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，再寫上新答案（作圖題除外）；不準使用涂改液．不按以上要求作答無效．
4．考生必須保證答題卡的整潔．考試結束后，將答題卡交回．
第一部分選擇題
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，每小題有四個選項，其中只有一項是正確的）
1. 的相反數是（ ）
A B. 2024C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題主要考查了求一個數的相反數，只有符號不同的兩個數互為相反數，0的相反數是0，據此求解即可．
【詳解】解：的相反數是2024，
故選：B．
2. 中國古典花窗圖案豐富多樣，極具觀賞價值．下列各圖是中國古典花窗基本圖案，其中是軸對稱圖形為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題主要考查了軸對稱圖形的概念．由題意依據如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，以此進行分析判斷即可．
【詳解】解：選項A、B、D不能找到一條直線，使圖形沿這條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形，選項C能找到這樣的一條直線，使圖形沿這條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形，
故選：C．
3. 2024年3月汽車品牌比亞迪以302459輛的銷量位居行業(yè)前列，數據302459用科學記數法表示為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了科學記數法，科學記數法的表示形式為的形式，其中，為整數．確定的值時，要看把原來的數，變成時，小數點移動了多少位，的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值時，是正數；當原數的絕對值時，是負數，確定與的值是解題的關鍵．
【詳解】解：302459用科學記數法衣示為，
故選A．
4. 下圖是小李在勞動實踐課上制作的辦公桌，該辦公桌的主視圖為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了書桌的三視圖，根據從正面看得到的圖形是主視圖，可得答案．
【詳解】解：從正面看，可得選項D的圖形，
故選：D．
5. 下列計算正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查的是同底數冪的乘法，合并同類項，冪的乘方與積的乘方法則，熟知以上知識是解題的關鍵．
【詳解】解：A. ，原計算錯誤；
B. ，計算正確；
C. ，原計算錯誤；
D. 不能合并，原計算錯誤；
故選B．
6. 體育老師隨機抽取了7名同學進行1分鐘跳繩測試．他們的成繞（單位：個）如下：165，．這組數據的眾數和中位數分別是（ ）
A. 175，175B. 165，175C. 175，165D. 175，170
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查中位數和眾數，掌握中位數和眾數的定義是解題的關鍵．
【詳解】解：把這組數據從小到大排列為：，
第四個數據為175，故中位數為175；
由于175出現三次，次數最多，故眾數為；
故選A．
7. 把不等式組的解集表示在數軸上，正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分別求出兩個不等式的解集，然后求出兩個解集的公共部分，找到對應的表示方法，即可求解，
本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．
【詳解】解：解得：，
∴不等式的解集為：，
故選：．
8. 如圖，的對角線相交于點．如果添加一個條件，使得是矩形，那么這個條件可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】依據矩形的判定定理進行判斷即可，
本題主要考查矩形的判定，熟悉掌握矩形判定條件是關鍵．
【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
當時，是菱形，不是矩形，不符合題意，
當時，，是矩形，符合題意，
當時，是菱形，不是矩形，不符合題意，
當時，是平行四邊形，不是矩形，不符合題意，
故選：．
9. 如圖，在坡比為的斜坡上有一電線桿．某時刻身高1.7米的小明在水平地面上的影長恰好與其身高相等，此時電線桿在斜坡上的影長為30米，則電線桿的高為（ ）米．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查的是解直角三角形的應用坡度坡角問題，正確作出輔助線、熟記銳角三角函數的定義是解題的關鍵，作，由坡比得到，在中，應用三角函數，求出、的長，在中，由，求出的長度，根據即可求解．
【詳解】解：過點作，交延長線于點，
∵坡比為，
∴，
∴，
∵，
∴（米），（米），
在中，，
∴（米），
∴（米），
故選：．
10. 如圖，在四邊形中，，點是對角線的中點，將繞點旋轉得到交邊于點，若，，則線段的長為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查等邊三角形的判定和性質，解直角三角形，勾股定理．過點A作交的延長線于點G，連接，由旋轉的性質得出，證出是等邊三角形，由等邊三角形的性質得出，證出，由等腰直角三角形的性質及勾股定理可得出答案．
【詳解】解：如圖，過點A作交的延長線于點G，連接，
∵，，
∴是等邊三角形，
∴，
由旋轉可得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故選D．
第二部分非選擇題
二、填空題（本大題共5小題，毎小題3分，共15分）
11. 因式分解：___________．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式，再用平方差公式因式分解即可．
【詳解】解：
，
故答案為：．
【點睛】本題考查因式分解，解題的關鍵是熟練掌握提取公因式法，公式法因式分解的方法．
12. 在一個不透明的袋子中放有10個白球，若干個紅球，這些球除顏色外完全相同．每次把球充分攪勻后，任意摸出一個球記下顏色，再放回袋中，通過大量重復試驗后，發(fā)現摸到白球的頻率穩(wěn)定在0.25左右，則紅球約有______個．
【答案】
【解析】
【分析】此題考查的是用頻率估計概率；根據用頻率估計概率可知： 摸到白球的頻率為0.25，根據概率公式即可求出小球的總數，從而求出紅球的個數．
【詳解】解：設紅球約有個，
則，
解得：，
經檢驗是原方程的解，
故答案為：．
13. 已知，與相交于點，若，，與間的距離為2.1，則點到的距離為______．
【答案】
【解析】
【分析】此題考查了相似三角形性質和判定，根據題意設點到的距離為x，則點到的距離為，然后證明出，得到，然后代數求解即可．
【詳解】解：∵與間的距離為2.1
設點到的距離為x，則點到的距離為
∵
∴，
∴
∴
∴
∴
∴點到的距離為．
故答案為：．
14. 如圖，在直角坐標系中，為第二象限內一點，連接，在線段上取點，使得，過點所作軸的平行線與過點所作軸的平行線交于點．若反比例函數的圖象經過點，已知，則的值為______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查求反比例函數解析式，相似三角形的判定和性質，過點作軸于點D，設點A的坐標為，得到，，然后根據得到，，然后利用得到關于m的方程解題即可．
【詳解】解：過點作軸于點D，設點A的坐標為，
∴，，
∵軸，點所作軸的平行線與過點所作軸的平行線交于點
，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
解得：，
故答案為：．
15. 在中，，線段平分．已知，則線段的長為______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查解直角三角形．過點C作交的延長線于點E，根據角平分線得到，根據三角函數得到，進而求出，然后利用勾股定理求出長．
【詳解】過點C作交的延長線于點E，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
三、解答題（本大題共7小題，共55分）
16. 計算：．
【答案】
【解析】
【分析】根據負整數指數冪、立方根、零指數冪、絕對值的化簡，即可得到答案，
本題考查了，整數指數冪，立方根，絕對值化簡，解題的關鍵是：熟練掌握相關運算法則．
【詳解】解：
．
17. 先化簡，再求值：，其中．
【答案】，2
【解析】
【分析】先利用通分和同分母分式加法法則計算括號里的，在利用平方差公式和完全平方公式進行變形，最后進行約分求得最簡結果，將其代入，即可求得最簡值．
本題考查了分式的化簡求值，解題的關鍵在于熟練掌握運算法則．
【詳解】解：
，
當時，．
18. 為了增強學生體質，某校在每周二、周四的課后延時服務時段開設了五類拓展課程：A籃球，B足球，C乒乓球，D踢建子，E健美操．為了解學生對這些課程的喜愛情況，學校隨機抽取了部分學生進行問卷調查，并將調查結果整理后繪制成兩幅不完整的統(tǒng)計圖．請根據統(tǒng)計圖的信息回答下列問題．
（1）本次抽取調查的學生共有______人；
（2）請補全條形統(tǒng)計圖；
（3）在扇形統(tǒng)計圖中，A籃球類所對應的圓心角為______°；
（4）八（1）班有甲、乙、丙、丁四位同學參加了乒乓球課程，為參加學校組織的乒乓球比賽，班主任從四人中隨機抽取兩人代表班級出戰(zhàn)．利用畫樹狀圖或列表的方法求出甲和乙至少有一人被選上的概率．
【答案】（1）125 （2）見解析
（3）
（4），見解析
【解析】
【分析】（1）用項目B的人數除以其人數占比即可求出本次抽取調查的學生人數；
（2）先求出項目D的人數，再補全統(tǒng)計圖即可；
（3）用乘以項目A的人數占比即可得到答案；
（4）先列出圖表得到所有的等可能性的結果數，再找到符合題意的結果數，最后依據概率計算公式求解即可．
本題考查了扇形統(tǒng)計圖與條形統(tǒng)計圖信息相關聯(lián)，樹狀圖或列表法求解概率，正確讀懂統(tǒng)計圖并畫出樹狀圖或列出表格是解題的關鍵．
【小問1詳解】
解：（人），
∴此次調查共抽取了125名學生，
故答案為：125，
【小問2詳解】
解：項目D的人數為：（人），
條形統(tǒng)計圖補充為：
【小問3詳解】
解：在此扇形統(tǒng)計圖中，A籃球類所對應的扇形圓心角為：，
故答案為：，
【小問4詳解】
解：列表如下：
∵所有等可能的結果為12種，其中符合要求的只有10種，
∴甲和乙至少有一人被選上的概率為，
故答案為：．
19. 如圖，過圓外一點作的切線，切點為是的直徑．連接，過點作的垂線，垂足為，同時交于點，連接．
（1）求證：是切線：
（2）若，求切線的長．
【答案】（1）見解析 （2）
【解析】
【分析】（1）連接，由垂徑定理可得，通過，得，通過，可得，根據切線的判定定理，即可求解；
（2）由三角形的中位線得到，，
在中，根據勾股定理，得到的長，，在中，根據正切三角函數，即可求解，
【小問1詳解】
解：連接，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵是的切線，
∴，
∴，
∴是的切線，
小問2詳解】
解：∵，，
∴，
∴，
在中，，，
在中，，
故答案為：．
【點睛】本題考查了垂徑定理，全等三角形的性質與判定，切線的性質與判定，三角形的中位線，解直角三角形，熟練掌握相關性質定理及判定定理是解題關鍵．
20. 2024年是農歷甲辰龍年，含有“龍”元素的飾品深受大眾喜愛．商場購進一批單價為70元的“吉祥龍”公仔，并以每個80元售出．由于銷售火爆，公仔的銷售單價經過兩次調整后，上漲到每個125元，此時每天可售出75個．
（1）若銷售單價每次上漲的百分率相同，求該百分率；
（2）市場調查發(fā)現：銷售單價每降低1元，其銷售量相應增加5個．那么銷售單價應降低多少，才能使每天所獲銷售利潤最大？最大利潤是多少？
【答案】（1）
（2）銷售單價降低元，所獲銷售利潤最大，最大為元
【解析】
【分析】本題主要考查了一元二次方程的應用、二次函數的應用，解題時要能找準等量關系，正確列出一元二次方程及二次函數關系式是解題的關鍵．
（1）依據題意，設每次上漲的百分率為x，再由題意列出關于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論；
（2）依據題意，設每個降價為a元，可列出關于a的二次函數，再由二次函數的性質進行判斷計算可以得解．
【小問1詳解】
解：設每次上漲的百分率為，列方程為：
，
解得：，（舍去），
答：每次上漲的百分率為；
【小問2詳解】
解：設銷售單價降低元，銷售利潤為元，
，
∴當銷售單價降低元，所獲銷售利潤最大，最大為元．
21. 【項目式學習】
項目主題：學科融合－用數學的眼光觀察世界
項目背景：學習完相似三角形性質后，某學?？茖W小組的同學們嘗試用數學的知識和方法來研究凸透鏡成像規(guī)律．
項目素材：
素材一：凸透鏡成像規(guī)律：
素材二：透鏡成像中，光路圖的規(guī)律：通過透鏡中心的光線不發(fā)生改變：平行于主光軸的光線經過折射后光線經過焦點．
項目任務：
任務一：凸透鏡的焦距為，蠟燭的高為，離透鏡中心的距離是時，請你利用所學的知識填空：①______，②____；
任務二：凸透鏡的焦距為，蠟燭是，離透鏡中心的距離是時，蠟燭的成像的高，請你利用所學的知識求出與的關系式：
任務三：
（1）根據任務二的關系式得出下表：
其中______；
（2）請在坐標系中畫出它的圖像：
（3）根據函數關系式，結合圖像寫出1條你得到的結論：
____________________________________________________．
【答案】任務一：①；，任務二：，任務三：（1）3，（2）見解析，（3）當時，隨著的增大而減?。?br>【解析】
【分析】任務一：①由矩形，得到的長，由，得到，即：，設，用含的代數式，表示出、，由，得到，解出，即可求解，任務二：由，整理得到，代入，即可求解，任務三：（1）將代入，即可求解，（2）根據描點法，即可求解，（3）根據反比例函數的增減性，即可求解，
本題考查了，相似三角形的性質與判定，畫反比例函數，反比例函數的性質，解題的關鍵是：讀懂題意，列出關系式．
【詳解】解：任務一：①根據題意得：矩形，
∴，
根據題意得：與平行，
則，
∴，即：，
設，則，，
由題意得，
∴，
∴，即：，解得：，
∴，
∵，
∴，
任務二：∵，即：，解得：，
∴，
任務三：（1）當時，，
∴，
（2）作圖如下：
（3）當時，隨著的增大而減小，
故答案為：任務一：①；，任務二：，任務三：（1）3，（2）見解析，（3）當時，隨著的增大而減?。?br>22. 在四邊形中，點為線段上的動點（點與點不重合），連接，線段的垂直平分線與分別相交于點，連接．
【探究發(fā)現】如圖1，若四邊形為矩形，，求證：；
【能力提升】如圖2，若四邊形為矩形，是等腰三角形，求的長：
【拓展應用】如圖3，若四邊形為菱形，的垂直平分線與、分別相交于點，連接．若是等邊三角形，求的值．
【答案】探究發(fā)現：見解析 能力提升：或 拓展應用：
【解析】
【分析】探究發(fā)現：根據矩形的性質得到，然后得到，然后利用證明即可；
能力提升：分、和三種情況，分別解題即可；
拓展應用：過點作于點，可得到，然后可得點F、Q重合即可解題．
【詳解】探究發(fā)現：∵四邊形為矩形，，
∴，
∴，
∴，
又∵垂直平分，
∴，
∴；
能力提升：當時，過點F作于點P，則四邊形為矩形，設，連接，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，解得，
∴，
∵垂直平分，
∴，，
在中，，即，
解得或（舍）；
當時，過點F作于點P，則四邊形為矩形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，舍去；
當時，連接，
∵垂直平分，
∴，
∴是菱形，
∴，
∴點D和E重合，
∴；
故當或時，是等腰三角形；
拓展應用:過點作于點，
∵，
∴，
∵四邊形為菱形，
∴，，
∴，
∴，
又∵是等邊三角形，
∴，，
∴點F、Q重合，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【點睛】本題考查矩形的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，相似三角形的判定和性質，解直角三角形，．作輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．
甲
乙
丙
丁
甲
﹣﹣﹣
（乙，甲）
（丙，甲）
（丁，甲）
乙
（甲，乙）
﹣﹣﹣
（丙，乙）
（丁，乙）
丙
（甲，丙）
（乙，丙）
﹣﹣﹣
（丁，丙）
丁
（甲，?。?br>（乙，?。?br>（丙，?。?br>﹣﹣﹣
物體到凸透鏡距離
像到凸透鏡距離
像的大小
像的正倒
大于2倍焦距
大于1倍焦距小于2倍焦距
縮小
倒立
2倍焦距
2倍焦距
等大
倒立
大于1倍焦距小于2倍焦距
大于2倍焦距
放大
倒立
小于焦距
與物同側
放大
正立
物距
8
10
12
14
16
像高
12
6
4
2.4

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