第I卷（選擇題）
一、單選題
1．已知在各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列中，有連續(xù)四項(xiàng)依次為m，a，4m，b，則等于（ ）
A．B．C．D．4
2．在數(shù)列中，已知，且，則（ ）
A．256B．196C．144D．96
3．已知直線l：，且與曲線切于點(diǎn)，則的值為（ ）
A．B．C．1D．2
4．曲線在處的切線方程為（ ）
A．B．C．D．
5．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為且成等差數(shù)列，則為（ ）
A．245B．244C．242D．241
6．已知數(shù)列的首項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，若，則的值可以是（ ）
A．2022B．2023C．2024D．2025
7．中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題：“三百七十八里關(guān)，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細(xì)算相還”其大意為：“有一個(gè)人走378里路，第一天健步行走，從第二天起因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地．”則該人第三天走的路程為（ ）
A．12里B．24里C．48里D．96里
8．如圖所示，有三根針和套在一根針上的個(gè)金屬片．按下列規(guī)則，把金屬片從一根針上全部移到另一根針上．
（1）每次只能移動(dòng)1個(gè)金屬片；
（2）較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面．若這個(gè)金屬片從1號(hào)針移到3號(hào)針最少需要移動(dòng)的次數(shù)為，則（ ）
A．4B．15C．31D．81
二、多選題
9．為等比數(shù)列的前三項(xiàng)，則的可能值為（ ）
A．4B．5C．D．
10．已知數(shù)列是單調(diào)遞增的等比數(shù)列，且，，則（ ）
A．B．．
C．與的等比中項(xiàng)為4D．?dāng)?shù)列是公差為的等差數(shù)列
11．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A．B．C．D．最小
12．設(shè)是等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)的和.且，，則下面結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．與均為的最大值D．滿足的n的最小值為14
第II卷（非選擇題）
三、填空題
13．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足關(guān)系式，則的值為 .
14．已知各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，若，則 .
15．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若（是正整數(shù)），則 .
16．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則滿足的的值為 .
四、解答題
17．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為.
(1)求，；
(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
18．求下列函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．
(1)；
(2)．
(3)；
(4)．
19．已知函數(shù)，點(diǎn)在曲線上.
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)求曲線過點(diǎn)的切線方程.
20．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
21．已知數(shù)列滿足：，；數(shù)列是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列且滿足，．
(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
22．已等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及；
(2)若，令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
參考答案：
1．A
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得的等式關(guān)系，再計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)椋?，，為等差?shù)列，所以，，
所以，，所以.
故選：A．
2．D
【分析】由已知，為等差數(shù)列，所以由等差數(shù)列的性質(zhì)即可得到答案.
【詳解】由，得，則為等差數(shù)列，
又，所以由等差數(shù)列的性質(zhì)知．
故選：D．
3．C
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的定義可知，即可求解.
【詳解】由直線與曲線切于點(diǎn)，
知.
由導(dǎo)數(shù)的定義知，.
故選：C
4．D
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求解.
【詳解】由函數(shù)，得，
則，，
所以曲線在處的切線方程為，即.
故選：D
5．B
【分析】首先根據(jù)條件求公比，再代入等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，即可求解.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，
因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，
所以，即，①
又因?yàn)?，所以，?br>由①②解得，，
所以.
故選：B
6．C
【分析】利用數(shù)列的遞推公式確定其周期性計(jì)算即可.
【詳解】由已知可得：，
故數(shù)列的周期為3，
因?yàn)?，所以可以?024．
故選：C
7．C
【分析】由題意可得，此人天中每天走的路程是公比為的等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式及通項(xiàng)公式求解即可.
【詳解】由題意可得，此人天中每天走的路程是公比為的等比數(shù)列，
設(shè)這個(gè)數(shù)列為，前項(xiàng)和為，
則，解得，
所以，
即該人第三天走的路程為48里.
故選：C.
8．B
【分析】
利用已知條件結(jié)合類比推理的方法，從而推出將個(gè)金屬片從1號(hào)針移到3號(hào)針最少需要移動(dòng)的次數(shù)為，即可得.
【詳解】當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，小金屬片2號(hào)針，大金屬片3號(hào)針，小金屬片從2號(hào)針3號(hào)針即可完成，即；
當(dāng)時(shí)，小金屬片3號(hào)針，中金屬片2號(hào)針，小金屬片從3號(hào)針2號(hào)針（用次把小、中兩個(gè)金屬片移動(dòng)到2號(hào)針，大金屬片3號(hào)針；再用次把小、中兩個(gè)金屬片從2號(hào)針移動(dòng)到3號(hào)針，完成），
即，
以此類推，次.
即.
故選：B
9．AC
【分析】根據(jù)給定條件，利用等比數(shù)列定義列式求解即得.
【詳解】由為等比數(shù)列的前三項(xiàng)，得，所以或.
故選：AC
10．BD
【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，聯(lián)立可求解，從而求出通項(xiàng)公式，依次代入判斷選項(xiàng)即可.
【詳解】因?yàn)閿?shù)列是單調(diào)遞增的等比數(shù)列，所以．
由，解得或（舍去），
則數(shù)列的公比，，，則，與的等比中項(xiàng)為，所以AC錯(cuò)誤，B正確；
因?yàn)椋?br>所以數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，所以D正確；
故選：BD．
11．BC
【分析】根據(jù)題意，由等差數(shù)列的性質(zhì)分析可得，由此分析選項(xiàng)可得答案.
【詳解】根據(jù)題意，等差數(shù)列中，若，即，
則有，
變形可得，
對(duì)于A，，但不確定的符號(hào)，不能確定是還是，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，故B正確；
對(duì)于C，，故C正確；
對(duì)于D，不確定的符號(hào)，故不能確定最小還是最大，故D錯(cuò)誤.
故選：BC.
12．BCD
【分析】由可判斷A錯(cuò)誤；由A可得B正確；由，可得C正確；由等差中項(xiàng)和前項(xiàng)和的性質(zhì)可得D正確.
【詳解】A：因?yàn)椋裕?br>所以，故A錯(cuò)誤；
B：由A的解析可得B正確；
C：因?yàn)椋?，所以與均為的最大值，故C正確；
D：因?yàn)?，由，?br>故D正確；
故選：BCD.
13．
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再令計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
所以，解得.
故答案為：
14．9
【分析】首先分析題意，利用等比中項(xiàng)性質(zhì)化簡求解即可.
【詳解】已知各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，且，
所以，解得或（舍去），
所以.
故答案為：9.
15．
【分析】由已知結(jié)合數(shù)列的和與項(xiàng)的遞推關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解．
【詳解】因?yàn)椋?br>時(shí)，，
兩式相減可得，，
即，，
因?yàn)椋獾茫?br>故數(shù)列是以1為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，
所以．
故答案為：81．
16．
【分析】由已知利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式得到關(guān)于的不等式，結(jié)合得解.
【詳解】等差數(shù)列中，由，所以，
設(shè)等差數(shù)列的公差為，則得，
所以，
所以，，，
所以，得，得，
又，所以.
故答案為：.
17．(1)，
(2).
【分析】（1）賦值法求得，再根據(jù)求解即可；
（2）利用和關(guān)系求解通項(xiàng)公式即可.
【詳解】（1）令得，令得，所以.
（2）當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
經(jīng)檢驗(yàn)滿足上式，所以.
18．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）（2）（3）（4）根據(jù)基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式以及求導(dǎo)法則以及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，即可求得答案.
【詳解】（1）由，得；
（2）由，得；
（3）由，得；
（4）由，得.
19．(1)
(2)或
【分析】（1）由已知條件求出的值，求出的值，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得出所求切線的方程；
（2）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出切線方程，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入切線方程，求出的值，即可得出所求切線的方程.
【詳解】（1）解：因?yàn)楹瘮?shù)，點(diǎn)在曲線上，則，所以，，
所以，，則，
因此，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.
（2）解：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則，
所以，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入切線方程可得，解得或，
當(dāng)時(shí)，所求切線方程為；
當(dāng)時(shí)，所求切線方程為.
綜上所述，曲線過點(diǎn)的切線方程為或.
20．(1)；
(2).
【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，依題意由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式得到關(guān)于、的方程組，解得即可；
（2）由（1）可得，利用裂項(xiàng)相消法計(jì)算可得.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，
則由題意得，即，解得，
數(shù)列的通項(xiàng)公式為
（2），則，
，

.
21．(1)，
(2)
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列基本量求出的通項(xiàng)公式，設(shè)等比數(shù)列的公比為，即可得到方程組，解得、，從而求出的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）可得，利用分組求和法計(jì)算可得.
【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以是?為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，故；
設(shè)等比數(shù)列的公比為，又，，所以，
解得或（舍去），所以.
（2）由（1）可得，
所以
.
22．(1)，
(2)
【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)條件，建立與的方程組，求得，即可求出結(jié)果；
（2）根據(jù)條件，利用錯(cuò)位相減法，即可求出結(jié)果.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，
因?yàn)?，得到①，由，得到②?br>由①②得到，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，.
（2）由（1）知，所以，
所以③，
③得④，
由③④得到，
整理得到.

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