一、選擇題（本大題共 10 小題， 每小題 3 分， 共 30 分。 在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中， 恰有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1．-2的倒數(shù)是（ ）
A．B．-2C．D．2
2．如圖所示的幾何體是由5個(gè)大小相同的小正方體組成的，它的左視圖是（ ）

3．芯片內(nèi)部有數(shù)以億計(jì)的晶體管，為追求更高質(zhì)量的芯片和更低的電力功耗，需要設(shè)計(jì)體積更小的晶體管。目前，某品牌手機(jī)自主研發(fā)了最新型號(hào)芯片，其晶體管柵極的寬度為0.000000014米，將數(shù)據(jù)0.000000014用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A．B．C．D．
4．如圖，在空氣中平行的兩條入射光線，在水中的兩條折射光線也是平行的。若水面和杯底互相平行，且，則的度數(shù)為（ ）
A．60°B．70°C．80°D．100°

第4題圖第8題圖第9題圖第10題圖
5．下列計(jì)算正確的是（ ）
A．B．C．D．
6．已知點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖像上，且，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）
A．B．C．D．
7．《孫子算經(jīng)》是中國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)著作，是《算經(jīng)十書》之一。書中記載了這樣一個(gè)題目：今有木，不知長(zhǎng)短。引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺。木繩長(zhǎng)幾何？其大意是：用一根繩子去量一根長(zhǎng)木，繩子還剩余4.5尺；將繩子對(duì)折再量長(zhǎng)木，長(zhǎng)木還剩余1尺。問(wèn)木長(zhǎng)、繩子長(zhǎng)各多少尺？設(shè)木長(zhǎng)尺，繩子長(zhǎng)尺，則可列方程組為（ ）
A．B．C．D．
8．如圖，在中，，則（ ）
A．1B．2C．D．4
9．如圖，正方形中，為對(duì)角線上的一點(diǎn)，，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．若，則正方形的長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．
10.如圖，已知開口向下的拋物線與軸交于點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線。則下列結(jié)論正確的有（ ）
①②
③方程的兩個(gè)根為
④拋物線上有兩點(diǎn)和，若且，則．
A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)
二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分．）
11．因式分解：______．
12．若關(guān)于的一元二次方程兩根為，則的值為______．
13．如圖，在等腰中，，分別以點(diǎn)、點(diǎn)為圓心，大于為半徑畫弧，
兩弧分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，連接，直線與交于點(diǎn)，連接，則的度數(shù)是______．
14．班主任邀請(qǐng)甲、乙兩位同學(xué)參加圓桌會(huì)議。如圖，班主任坐在座位，甲、乙兩位同學(xué)隨機(jī)坐A、B、C三個(gè)座位中的兩個(gè)座位，則甲、乙兩位同學(xué)座位都與班主任相鄰的概率是______．
15．勾股定理是人類最偉大的十個(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽證明勾股定理時(shí)創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”（如圖1），西方國(guó)家稱之為畢達(dá)哥拉斯定理（如圖2），它們都是由4個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成。如圖3，點(diǎn)分別位于正方形的四條邊上，四邊形也是正方形，連接分別交于點(diǎn)，設(shè)，若，則的值為______．
．
三、解答題（本大題共9小題，共75分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）
16．（6分）計(jì)算：．
17．（6分）已知：如圖，．求證：．
18．（6分）某學(xué)校開展了社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，活動(dòng)地點(diǎn)距離學(xué)校，甲、乙兩同學(xué)騎自行車同時(shí)從學(xué)校出發(fā)，甲的速度是乙的1.2倍，結(jié)果甲比乙早到，求乙同學(xué)騎自行車的速度為多少。
19．（8分）某校為落實(shí)“雙減”政策，提高學(xué)生身體素質(zhì)，采用體育課和課外體育鍛煉相結(jié)合的方式，鼓勵(lì)學(xué)生積極參與體育鍛煉，為了解學(xué)生每周參加課外體育鍛煉時(shí)間，對(duì)三個(gè)年級(jí)的學(xué)生進(jìn)行了抽樣調(diào)查，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果將學(xué)生每周參加課外體育鍛煉時(shí)間分為2小時(shí)、3小時(shí)、4小時(shí)、5小時(shí)、6小時(shí)共五種情況。小明根據(jù)調(diào)查結(jié)果制作了如圖兩幅統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)你結(jié)合圖中所給信息解答下列問(wèn)題：
學(xué)生參加課外體育活動(dòng)時(shí)間的條形統(tǒng)計(jì)圖學(xué)生參加課外體育活動(dòng)時(shí)間的扇形統(tǒng)計(jì)圖
（1）本次共調(diào)查了______名學(xué)生，并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
（2）計(jì)算扇形統(tǒng)計(jì)圖中2小時(shí)所對(duì)應(yīng)的圓心角是______度；
（3）小亮同學(xué)平均每周參加課外體育鍛煉的時(shí)長(zhǎng)是5小時(shí)，他若想知道自己在這次調(diào)查中處于什么樣的水平，應(yīng)該去了解這組數(shù)據(jù)______的信息（請(qǐng)從平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差中選擇填空），并說(shuō)明理由；
（4）已知全校共2500名學(xué)生，則估算全校學(xué)生每周參加課外體育鍛煉的時(shí)間至少有5小時(shí)的學(xué)生人數(shù)有______人．
20．（8分）為了增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)、錘煉學(xué)生意志，某校組織一次定向越野拉練活動(dòng)。如圖，點(diǎn)為出發(fā)點(diǎn)，途中設(shè)置兩個(gè)檢查點(diǎn)，分別為點(diǎn)和點(diǎn)，行進(jìn)路線為，點(diǎn)在點(diǎn)的南偏東方向處，點(diǎn)在點(diǎn)的北偏東方向，行進(jìn)路線和所在直線的夾角為．
（1）求行進(jìn)路線與所在直線的夾角的度數(shù)；
（2）求檢查點(diǎn)和之間的距離（結(jié)果保留根號(hào)）．
21．（8分）如圖，在中，，以為直徑作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，平分，且，連接．
（1）求證：是的切線；
（2）若，求的長(zhǎng)．
22．（10分）某商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，當(dāng)售價(jià)為每件50元時(shí)，每月可賣出200件，如果售價(jià)每上漲1元，則每月少賣10件（每件售價(jià)不能高于65元）；如果售價(jià)每下降1元，則每月多賣12件（每件售價(jià)不低于48元）。設(shè)每件商品的售價(jià)為元（為正整數(shù)），每月的銷售量為件。
（1）①當(dāng)售價(jià)上漲時(shí)，與的函數(shù)關(guān)系為______，自變量的取值范圍是______；
②當(dāng)售價(jià)下降時(shí)，與的函數(shù)關(guān)系為______，自變量的取值范圍是______；
（2）每件商品的售價(jià)定為多少元時(shí)，每月可獲得利潤(rùn)最大？最大月利潤(rùn)是多少元？
23．（11分）在矩形中，，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將沿折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，延長(zhǎng)交射線于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于，如圖1，圖2．
（1）直接寫出與的數(shù)量關(guān)系為______；
（2）如圖1，求證：；
（3）若，在點(diǎn)從點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中。
①如圖2，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；
②當(dāng)時(shí)，直接寫出的長(zhǎng)．
圖1圖2備用圖
24．（12分）拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，與軸交于另一點(diǎn)．
（1）則拋物線的解析式為______；頂點(diǎn)坐標(biāo)為______．
（2）如圖1，連接，將直線沿折疊交拋物線于點(diǎn)，求點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）如圖2，為拋物線上任意一點(diǎn)，連接，將沿軸折疊交拋物線于點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線交于點(diǎn)，求的值．
圖1圖2
2024年孝南區(qū)九年級(jí)下學(xué)期期中監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試卷參考答案
（注：閱卷時(shí)老師們應(yīng)遵循以生為本的原則，若有不同方法，只要思路結(jié)果正確，應(yīng)給滿分。）
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）
ACACD DBBAB
二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）
11．12．713．14．15．
三、解答題（本大題共9小題，共75分）
16．解：原式
17．證明：，
，
，
在與中
，
．
18．解：設(shè)乙同學(xué)騎自行車的速度為千米/分鐘，則甲同學(xué)騎自行車的速度為千米/分鐘，根據(jù)題意得：
解得：．
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，且符合題意，
答：乙同學(xué)騎自行車的速度為0.2千米/分鐘．
19．解：（1）50；
學(xué)生參加課外體育活動(dòng)時(shí)間的條形統(tǒng)計(jì)圖
（2）
（3）中位數(shù)，
理由：如果他平均每周參加課外體育鍛煉的時(shí)長(zhǎng)大于中位數(shù)，則他排在中上水平，否則就排在中下水平；（根據(jù)中位數(shù)的意義描述均應(yīng)給分）
（4）900
20．解：（1）解：如圖，，，，
，
．
在中，，
．
（2）過(guò)點(diǎn)作，垂足為．
，
，
．
，
在Rt中，
，
。
，
在Rt中，，
，
．
檢查點(diǎn)和之間的距離為．
21．（1）證明：連接，
為的直徑，
，
，
，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，
，
，
為的直徑，
是的切線；
（2）解：由（1）知：得到，，
，
22．解：（1）①；；
②；．
（2）解：設(shè)利潤(rùn)為，由（1）得上漲和下降分情況討論利潤(rùn)問(wèn)題：
①當(dāng)價(jià)格上漲時(shí)，售價(jià)為，此時(shí)銷量為，
且為正整數(shù)，
當(dāng)元時(shí)，元，
②當(dāng)價(jià)格下降時(shí)，售價(jià)為，此時(shí)銷量為，
且為正整數(shù)，
對(duì)稱軸，
售價(jià)元時(shí)，元
，
綜上：當(dāng)售價(jià)為55元時(shí)，利潤(rùn)最大利潤(rùn)為2250元，
23．解：（1）
（2）證明：由折疊知：，
．
即：
（3）①．
由（2）知：
，，
設(shè)，則，
在Rt中，，，解得：（舍），
（2）當(dāng)在內(nèi)部時(shí)（如圖1），，
當(dāng)在延長(zhǎng)線上時(shí)（如圖2），
24．解：（1）
（2）設(shè)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，連接、，
令得：，解得：，
，
，
三點(diǎn)共線，
由折疊知：
，即為中點(diǎn)，設(shè)，
而，
，
，，
設(shè)直線為：，代入，得：
，解得：，
直線為：，
，解得：，（舍去），
（3）過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，
設(shè)，
由折疊知：，
，即：，
，
，即，
為中點(diǎn)．
連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，
，，
又，
，
，即．

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