湖南省長(zhǎng)沙市雅禮中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期第一次月考（4月）數(shù)學(xué)試題（解析版）

這是一份湖南省長(zhǎng)沙市雅禮中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期第一次月考（4月）數(shù)學(xué)試題（解析版），共17頁(yè)。試卷主要包含了單項(xiàng)選擇題，選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
高一數(shù)學(xué)一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的.
1．命題“，”的否定為（ ）
A．，B．，
C．，D．，
2．設(shè)復(fù)數(shù)（其中a，，i為虛數(shù)單位），則“”是“z為純虛數(shù)”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
3．若角的終邊上有一點(diǎn)，則a的值為（ ）
A．B．C．D．
4．函數(shù)在區(qū)間上的圖象大致為（ ）
A．B．
C．D．
5．按斜二測(cè)畫(huà)法得到，如圖所示，其中，，那么的形狀是（ ）
A．等邊三角形B．直角三角形
C．腰和底邊不相等的等腰三角形D．三邊互不相等的三角形
6．已知實(shí)數(shù)滿足，設(shè)，則（ ）
A．B．C．D．
7．已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)P在邊BC上，則的最小值為（ ）
A．2B．1C．D．
8．在中，為邊上一點(diǎn)，，且的面積為，則（ ）
A．B．C．D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9．下列命題不正確的是（ ）.
A．棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)可以不相等，但上、下底面一定相似
B．有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐
C．若，直線平面，直線平面，且，則
D．若條直線中任意兩條共面，則它們共面
10．已知是復(fù)數(shù)，且為純虛數(shù)，則（ ）
A．B．
C．在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)軸上D．的最大值為
11．已知銳角三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)應(yīng)邊分別為a，b，c，且，c =2．則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．的面積最大值為2B．的取值范圍為
C．D．的取值范圍為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12．已知向量，且，則_________．
13．已知，則的最小值為 .
14．已知，，若，或，則的取值范圍是
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15．（1）已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)是6，側(cè)棱長(zhǎng)為5，求該正四棱錐的體積
（2）如圖（單位：cm），求下圖中陰影部分繞AB旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的體積.

16．在中，角所對(duì)的邊分別為，.
(1)求的值；
(2)若，點(diǎn)是的中點(diǎn)，且，求的面積.
17．已知函數(shù).
(1)求函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間；
(2)若在區(qū)間上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，，求的值.
18．已知函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)m、n都滿足等式，當(dāng)時(shí)，，且．
(1)判斷的奇偶性；
(2)判斷的單調(diào)性，求在區(qū)間上的最大值；
(3)是否存在實(shí)數(shù)a，對(duì)于任意的，，使得不等式恒成立．若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
19．如果函數(shù)滿足以下兩個(gè)條件，我們就稱(chēng)為型函數(shù)．
①對(duì)任意的，總有；
② 當(dāng)時(shí)，總有成立．
(1)記，求證：為型函數(shù)；
(2)設(shè)，記，若是型函數(shù)，求的取值范圍；
(3)是否存在型函數(shù)滿足：對(duì)于任意的，都存在，使得等式成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．
1．D
【分析】利用全稱(chēng)量詞命題的否定是存在量詞命題即可解答．
【詳解】因?yàn)槿Q(chēng)量詞命題的否定是存在量詞命題，
故命題“，”的否定為，.
故選：D.
2．B
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的分類(lèi)，結(jié)合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.
【詳解】由復(fù)數(shù)
當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以充分性不成立；
反之：若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則成立，所以必要性成立，
所以“”是“z為純虛數(shù)”的必要不充分條件.
故選：B.
3．A
【分析】利用任意角的三角函數(shù)的定義結(jié)合誘導(dǎo)公式求解.
【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊上有一點(diǎn)，所以，
又，所以，所以.
故選：A
4．A
【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性結(jié)合當(dāng)時(shí)函數(shù)值的符號(hào)性分析判斷.
【詳解】∵，即，
∴為偶函數(shù)；
又∵當(dāng)時(shí)，則，故，
∴；
綜上所述：A正確，B、C、D錯(cuò)誤.
故選：A.
5．A
【分析】根據(jù)直觀圖得原圖，計(jì)算可得答案.
【詳解】原如圖所示：

由斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則可知，，，，
所以，故為等邊三角形.
故選：A．
6．D
【分析】根據(jù)的單調(diào)性判斷大小，再比較大小得解.
【詳解】因?yàn)椋?所以，
又為減函數(shù)， 所以， 即，
又，故，
所以，
故選：D.
7．D
【分析】選基底，用基向量表示出所求，由二次函數(shù)知識(shí)可得.
【詳解】記，
因?yàn)椋?br>所以.
故選：D
8．A
【分析】由面積公式求出，即可得到為等腰三角形，則，在中由正弦定理求出，即可求出，最后由利用兩角差的正弦公式計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)椋獾茫?br>所以為等腰三角形，則，
在中由正弦定理可得，即，解得，
因?yàn)?，所以為銳角，所以，
所以
.
故選：A
9．BD
【分析】直接根據(jù)棱臺(tái)、棱錐的定義判斷選項(xiàng)A和B，選項(xiàng)C用點(diǎn)、線、面公理判斷即可，選項(xiàng)D舉反例即可判斷.
【詳解】對(duì)于A，棱臺(tái)的上、下底面相似，但側(cè)棱長(zhǎng)不一定相等，故A正確；
對(duì)于B，棱錐的定義為：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的多面體叫棱錐.而有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體也可能是組合體，與棱錐的定義相矛盾，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，因?yàn)橹本€平面，直線平面，且，所以面，且面，又，所以，故C正確；
對(duì)于D，反例：正方體的側(cè)棱任意兩條都共面，但這4條側(cè)棱卻不共面，故D錯(cuò)誤.
故選：BD.
10．ABD
【分析】先設(shè)，代入中化簡(jiǎn)，根據(jù)為純虛數(shù)得出：，且即可判斷選項(xiàng)A、C；由可判斷選項(xiàng)B；根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可判斷選項(xiàng)D.
【詳解】由題意設(shè)，
則.
因?yàn)闉榧兲摂?shù)，
所以，且，即，且.
因此，故選項(xiàng)A正確；，所以故選項(xiàng)B正確；
因?yàn)樵趶?fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，
所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不在實(shí)軸上，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
因?yàn)楸硎緢A上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離，
且最大距離為，故選項(xiàng)D正確.
故選：ABD.
11．BCD
【分析】A選項(xiàng)，由余弦定理和基本不等式求出面積的最大值；B選項(xiàng)，由正弦定理得到，結(jié)合平面向量數(shù)量積公式得到，根據(jù)為銳角三角形得到，從而得到的取值范圍；C選項(xiàng)，由正弦定理和正弦和角公式可得；D選項(xiàng)，變形得到，由，求出答案.
【詳解】A選項(xiàng)，由余弦定理得，即，
所以，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
此時(shí)為銳角三角形，滿足要求，
故，解得，故，A錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)，由正弦定理得，
所以，
，
因?yàn)闉殇J角三角形，所以，，
解得，
則，，，B正確；
C選項(xiàng)，，
由正弦定理得，C正確；
D選項(xiàng)，，
由C選項(xiàng)可知，所以，
故，D正確.
故選：BCD
12．
【分析】利用向量平行的坐標(biāo)表示求出，再根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出模長(zhǎng).
【詳解】因?yàn)?，所以，解得?br>所以，所以，
所以．
故答案為：
13．##
【分析】根據(jù)兩角和的正切公式化簡(jiǎn)可得，再根據(jù)基本不等式求解即可.
【詳解】因?yàn)?，則，
可得，即，
且，整理得，
又因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
即，整理得，
解得或（舍去），
所以的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).
故答案為：
14．
【分析】首先分析在時(shí)，，則舍去此種情況，再對(duì)m進(jìn)行進(jìn)行討論即可.
【詳解】首先看沒(méi)有參數(shù)，從入手，顯然時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，而對(duì)，或成立即可，
故只要時(shí)，（*）恒成立即可，
當(dāng)時(shí)，,不符合（*）式，舍去；
當(dāng)時(shí)，由得，并不對(duì)成立，舍去；
當(dāng)時(shí)，由，注意，故，
所以，即，又，故，所以又，故，
綜上，的取值范圍是，
故答案為：.
15．（1）；（2）
【分析】（1）設(shè)為與交點(diǎn)，則平面，進(jìn)而根據(jù)幾何關(guān)系得，再計(jì)算幾何體的體積即可；
（2）根據(jù)圓臺(tái)的體積與球的體積公式求解即可.
【詳解】解：（1）如圖，正四棱錐中，設(shè)為與交點(diǎn)，
所以由正四棱錐的性質(zhì)得平面，所以，
因?yàn)檎睦忮F的底面邊長(zhǎng)是6，側(cè)棱長(zhǎng)為5，
所以，，
所以，即正四棱錐的高為
所以，該正四棱錐的體積為

（2）根據(jù)題意，圖中陰影部分繞AB旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體為圓臺(tái)中挖去一個(gè)半徑為的半球構(gòu)成的組合體.
因?yàn)閳A臺(tái)的體積為，半球的體積為，
所以，所求幾何體的體積為.
16．(1)；
(2).
【分析】（1）根據(jù)正弦定理和二倍角的余弦公式得；
（2）根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求出，再利用余弦定理求出值，最后利用三角形面積公式即可.
【詳解】（1）
由正弦定理得：，
，則，，
不等于0，.
（2），，所以，
聯(lián)立，，
在中，由余弦定理得：①
在中，由余弦定理得：②
由①②式得：
故，
.
17．(1)
(2)
【分析】（1）利用三角函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合整體代入法即可得解；
（2）利用三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性得到，由題設(shè)條件得到，從而利用誘導(dǎo)公式即可得解.
【詳解】（1）對(duì)于，
令，解得，
因?yàn)?，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
所以在上的單調(diào)遞減區(qū)間為.
（2）因?yàn)樵趨^(qū)間上恰有2個(gè)零點(diǎn)，
所以在有兩個(gè)根，
令，解得，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)軸為，
所以，則，
又，則，
所以.
18．(1)奇函數(shù)；
(2)為上的減函數(shù)；在上的最大值為6；
(3)存在，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．
【分析】（1）賦值法得到，，得到函數(shù)的奇偶性；
（2）先由時(shí)，利用賦值法得到函數(shù)單調(diào)遞減，再用賦值法和奇偶性得到，從而得到在區(qū)間上的最大值；
（3）先根據(jù)單調(diào)性得到，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，恒成立，令，為一次函數(shù)，得到不等式組，求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【詳解】（1）取，則，
∴，
取，，則，
∴對(duì)任意恒成立，
∴為奇函數(shù)；
（2）任取且， 則，
因?yàn)?，故?br>令，則有，
即，
∵時(shí)，，
故時(shí)，，
∴，
∴．
故為上的減函數(shù)．
∴，，
∵，，
令，則，故，
因?yàn)?br>令，則，即，
由（1）知：為奇函數(shù)，故，
故，解得：，
故，
故在上的最大值為6；
（3）∵在上是減函數(shù)，
∴，
∵，對(duì)所有，恒成立．
∴，恒成立；
即，恒成立，
令，則，即，
解得：或．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為．
19．(1)證明見(jiàn)解析
(2)
(3)存在，理由見(jiàn)解析
【分析】（1）證明函數(shù)滿足型函數(shù)的定義即可；
（2）根據(jù)是型函數(shù)，則由其滿足條件①推出，再結(jié)合其滿足條件②得關(guān)于b的不等式，利用構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)最值，即可求得答案；
（3）舉出具體函數(shù)，說(shuō)明其滿足型函數(shù)的定義，即可得結(jié)論.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)，，時(shí)，
，，
則，
，，
，為型函數(shù).
（2）當(dāng)時(shí)，由得，
當(dāng)，，時(shí)，
，，
由，得，
即，即，
即，
令，
則對(duì)稱(chēng)軸，
所以在上的最小值為，只要，則，
因?yàn)椋?br>所以．
（3）存在，舉例1：．
理由如下：當(dāng)時(shí)，符合；
當(dāng)，，時(shí)，
，，
，，
故，
，即，
即是型函數(shù)，且對(duì)任意的，存在，使得等式成立；
舉例2：；
理由如下：當(dāng)時(shí)，，符合，
當(dāng)，，時(shí)，
，，
，
，
即，即是型函數(shù)，
且對(duì)任意的，都存在，使得等式成立.
由此可知存在型函數(shù)滿足：對(duì)于任意的，都存在，使得等式成立.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答此類(lèi)給出新的函數(shù)定義的題目，解答的關(guān)鍵是要理解題中所給的新的函數(shù)定義的含義，明確其滿足的條件，然后按照其需滿足的條件求解即可.