內(nèi)蒙古包頭市2023_2024學年高二數(shù)學上學期第一次月考試題含解析-試卷下載-教習網(wǎng)

本試卷共22題，共150分，共6頁(不含答題卡).考試時間110分鐘.
注意事項：
1. 答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填涂在答題卡上.
2. 作答時，務(wù)必將答案寫在答題卡上各題目的規(guī)定區(qū)域內(nèi)，寫在本試卷及草稿紙上無效.
3. 考試結(jié)束后，答題卡交回，試卷自行留存.
4．保持卡面清潔，不要折疊、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀.
第I卷（選擇題）
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知橢圓的左、右焦點分別為、，長軸長，焦距為，過點的直線交橢圓于A，兩點，則的周長為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意畫出圖像，根據(jù)橢圓的定義即可求解．
【詳解】由題知，2a＝8，
的周長為．
故選：C．
2. 已知橢圓＋＝1(a>b>0)的右焦點為F(3,0)，過點F的直線交橢圓于A、B兩點．若AB的中點坐標為(1，－1)，則E的方程為
A. ＋＝1B. ＋＝1
C. ＋＝1D. ＋＝1
【答案】D
【解析】
【詳解】設(shè)、，所以，運用點差法，所以直線的斜率為，設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線與橢圓的方程，所以；又因為，解得.
【考點定位】本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查學生的化歸與轉(zhuǎn)化能力.
3. 直線y＝kx－k＋1與橢圓的位置關(guān)系為（）
A. 相交B. 相切C. 相離D. 不確定
【答案】A
【解析】
【分析】先求得直線的恒過的點，求得該點與橢圓的位置關(guān)系，可得選項．
【詳解】直線y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒過定點(1，1)，
又，所以點(1，1)在橢圓內(nèi)部，故直線與橢圓相交.
故選：A．
【點睛】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵得出直線的恒過點，是比較巧的方法，屬于基礎(chǔ)題．
4. “”是“方程表示圓”的（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)二元二次方程表示圓的充要條件是可得答案.
【詳解】因為方程，即表示圓，
等價于0，解得或.
故“”是“方程表示圓”的充分不必要條件.
故選：A
5. 已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過的直線與該雙曲線的右支交于，兩點，若，則周長為（）
A. 16B. 24C. 36D. 40
【答案】C
【解析】
【分析】
利用雙曲線的定義可得，再求出，即可得到答案；
【詳解】因為雙曲線為，所以；
由雙曲線的定義得，
所以，
所以周長為，
故選：C.
【點睛】本題考查雙曲線的定義的運用，考查運算求解能力.
6. 設(shè)橢圓的離心率分別為．若，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)給定的橢圓方程，結(jié)合離心率的意義列式計算作答.
【詳解】由，得，因此，而，所以.
故選：A
7. 設(shè)雙曲線C：（a>0，b>0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為．P是C上一點，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面積為4，則a=（）
A. 1B. 2C. 4D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)雙曲線的定義，三角形面積公式，勾股定理，結(jié)合離心率公式，即可得出答案.
【詳解】，，根據(jù)雙曲線的定義可得，
，即，
，，
，即，解得，
故選：A.
【點睛】本題主要考查了雙曲線的性質(zhì)以及定義的應(yīng)用，涉及了勾股定理，三角形面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題.
8. 景德鎮(zhèn)陶瓷世界聞名，其中青花瓷最受大家的喜愛，如圖1這個精美的青花瓷花瓶，它的頸部(圖2)外形上下對稱，基本可看作是離心率為的雙曲線的一部分繞其虛軸所在直線旋轉(zhuǎn)所形的曲面，若該頸部中最細處直徑為16厘米，頸部高為20厘米，則瓶口直徑為（）
A. 20B. 30C. 40D. 50
【答案】A
【解析】
【分析】設(shè)雙曲線方程為，根據(jù)已知條件可得的值，由可得雙曲線的方程，再將代入方程可得的值，即可求解.
【詳解】因為雙曲線焦點在軸上，設(shè)雙曲線方程為
由雙曲線的性質(zhì)可知：該頸部中最細處直徑為實軸長，所以，可得，
因為離心率為，即，可得，
所以，
所以雙曲線的方程為：，
因為頸部高為20厘米，根據(jù)對稱性可知頸部最右點縱坐標為，
將代入雙曲線可得，解得：，
所以瓶口直徑為，
故選：A
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題的關(guān)鍵是讀懂題意，利用待定系數(shù)法求出雙曲線的方程，再由的值求得的值，瓶口直徑為.
二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，至少有兩項是符合題目要求的，全部選對得5分，部分選對得2分，有錯誤選項得0分.
9. 對于方程，下列說法中正確的是（）
A當時，方程表示橢圓
B. 當時，方程表示焦點在x軸上的橢圓
C. 存在實數(shù)，使該方程表示雙曲線
D. 存在實數(shù)，使該方程表示圓
【答案】BCD
【解析】
【分析】由m與之間的關(guān)系，以及圓、橢圓、雙曲線標準方程的特征，逐個進行判斷.
【詳解】方程，當，即或時表示橢圓，故A不正確；
當時，，則方程表示焦點在軸上的橢圓，故B正確；
當，即或時，方程表示雙曲線，故C正確；
當，即時，方程為，表示圓，故D正確.
故選: BCD
10. 下列選項正確的是（）．
A. 過點且和直線平行的直線方程是
B. 若直線l的斜率，則直線傾斜角的取值范圍是
C. 若直線與平行，則與的距離為
D. 圓和圓相交
【答案】AD
【解析】
【分析】對于A：根據(jù)題意可設(shè)直線方程是，代入點運算求解即可；對于B：根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系結(jié)合圖象分析求解；對于C：根據(jù)平行關(guān)系求的方程，進而結(jié)合兩平行線間的距離公式運算求解；對于D：分別求圓心和半徑，進而可得，根據(jù)兩圓位置關(guān)系分析判斷.
【詳解】對于選項A：設(shè)與直線平行的直線方程是，
因為直線過點，
則，解得，
所以過點且和直線平行的直線方程是，故A正確；
對于選項B：因為，如圖所示，
若，所以，故B錯誤；
對于選項C：若直線與平行，
則，解得，
可知，即，
所以與的距離為，故C錯誤；
對于選項D：圓的圓心，半徑，
圓的圓心，半徑，
因為，且，
即，所以圓和圓相交，故D正確；
故選：AD.
11. 已知圓：，則（）
A. 圓關(guān)于直線對稱
B. 圓被直線截得的弦長為
C. 圓關(guān)于直線對稱的圓為
D. 若點在圓上，則的最小值為5
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用圓的方程可求得圓心與半徑，由直線不過圓心即可判斷A；求出圓心到直線的距離，進而求得弦長，即可判斷B；設(shè)圓關(guān)于直線對稱的圓的圓心為，列方程組求出，由此可得所求圓的方程，即可判斷C；表示與點的距離，求得，進而可得所求的最小值，即可判斷D．
【詳解】圓的一般方程為，
，故圓心，半徑為＝5，
，則直線不過圓心，故A錯誤；
點到直線的距離，
則圓被直線截得的弦長為，故B正確；
設(shè)圓關(guān)于直線對稱的圓的圓心為，
則，解得，即，
故圓關(guān)于直線對稱的圓的方程為，即，故C正確；
表示與點的距離，又，
的最小值是，故D正確．
故選：BCD．
12. 1.已知橢圓的左，右兩焦點分別是，，其中．直線與橢圓交于A，B兩點．則下列說法中正確的有（）
A. 的周長為
B. 若的中點為M，則
C. 若，則橢圓的離心率的取值范圍是
D. 若的最小值為，則橢圓的離心率
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)橢圓的定義判斷A；用點差法判斷B；先算出，進而根據(jù)A在橢圓上進行消元得到，然后結(jié)合橢圓的范圍得到的范圍，最后求出離心率的范圍；根據(jù)的最小值為通徑的長度求得答案.
【詳解】對A，根據(jù)橢圓的定義的周長為，正確；
對B，設(shè)，則，所以，，
由，即，錯誤；
對C，
，則，正確；
對D，容易知道，的最小值為通徑長度，由于直線斜率存在，所以不能取到最小值，不正確.
故選：AC.
第II卷（非選擇題）
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 過四點中的三點的一個圓的方程為____________．
【答案】或或或．
【解析】
【分析】方法一：設(shè)圓的方程為，根據(jù)所選點的坐標，得到方程組，解得即可；
【詳解】[方法一]：圓的一般方程
依題意設(shè)圓的方程為，
（1）若過，，，則，解得，
所以圓的方程為，即；
（2）若過，，，則，解得，
所以圓的方程為，即；
（3）若過，，，則，解得，
所以圓的方程為，即；
（4）若過，，，則，解得，所以圓的方程為，即；
故答案為：或或或．
[方法二]：【最優(yōu)解】圓的標準方程（三點中的兩條中垂線的交點為圓心）
設(shè)
（1）若圓過三點，圓心在直線，設(shè)圓心坐標為，
則，所以圓的方程為；
（2）若圓過三點，設(shè)圓心坐標為，則，所以圓的方程為；
（3）若圓過三點，則線段的中垂線方程為，線段的中垂線方程為，聯(lián)立得，所以圓的方程為；
（4）若圓過三點，則線段的中垂線方程為，線段中垂線方程為，聯(lián)立得，所以圓的方程為．
故答案為：或或或．
【整體點評】方法一；利用圓過三個點，設(shè)圓的一般方程，解三元一次方程組，思想簡單，運算稍繁；
方法二；利用圓的幾何性質(zhì)，先求出圓心再求半徑，運算稍簡潔，是該題的最優(yōu)解．
14. 求過點，并且在兩軸上的截距相等的直線方程_______．
【答案】或
【解析】
【分析】當直線經(jīng)過原點時，直線的方程直接求出；當直線不經(jīng)過原點時，設(shè)直線的截距式為，把點P的坐標代入即可得出．
【詳解】當直線經(jīng)過原點時，直線的方程為，化為，
當直線不經(jīng)過原點時，設(shè)直線的截距式為，
把點代入可得：，解得，
所以直線的方程為：，
綜上所述，所求直線方程為或.
故答案為：或.
15. 在圓x2＋y2－2x－6y＝0內(nèi)，過點E（0，1）的最長弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為_____________
【答案】
【解析】
【分析】先求出最長弦和最短弦，再計算面積即可.
【詳解】
圓的標準方程為（x－1）2＋（y－3）2＝10，則圓心（1，3）半徑，由題意知最長弦為過E點的直徑，
最短弦為過E點和這條直徑垂直的弦，即AC⊥BD，且，圓心和E點之間的距離為，
故，所以四邊形ABCD的面積為.
故答案為：.
16. 已知為橢圓C：的兩個焦點，P，Q為C上關(guān)于坐標原點對稱的兩點，且，則四邊形的面積為________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)已知可得，設(shè)，利用勾股定理結(jié)合，求出，四邊形面積等于，即可求解.
【詳解】因為為上關(guān)于坐標原點對稱的兩點，
且，所以四邊形為矩形，
設(shè)，則，
所以，
，即四邊形面積等于.
故答案：.
四、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17. 求適合下列條件的雙曲線的標準方程．
（1）經(jīng)過、兩點．
（2）過點，且與橢圓有相同焦點雙曲線方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由題意可設(shè)雙曲線的標準方程為，把已知點的坐標代入即可求出，從而得解.
（2）由題意先求出雙曲線的焦點坐標即求出，然后根據(jù)雙曲線的定義求出，由平方關(guān)系即可求出，從而得解.
【小問1詳解】
不妨設(shè)滿足題意的雙曲線的標準方程為，
若雙曲線經(jīng)過、兩點，
則由題意有，解得，顯然有，
所以滿足題意的雙曲線的標準方程為.
【小問2詳解】
由題意橢圓半焦距，
所以滿足題意的雙曲線的焦點坐標為，
所以不妨設(shè)滿足題意的雙曲線的標準方程為，
而雙曲線上的點在第二象限，
所以由雙曲線的定義有
，
解得，又，所以，
所以滿足題意的雙曲線的標準方程為.
18. 已知圓，.
（1）求過兩圓交點的直線方程及弦長；
（2）求過兩圓交點，且圓心在直線上的圓的方程．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）兩圓方程作差即可整理得到所求直線方程；
（2）由過兩圓交點的圓系方程求出圓心，代入直線方程可求出，由此可得圓的方程.
【小問1詳解】
兩圓方程作差可得：，即，
由可得，
則圓心到直線的距離為，
所以弦長為.
即過兩圓交點直線為，弦長為.
【小問2詳解】
設(shè)過兩圓交點的圓的方程為，且，
則，，
由圓心在直線上，則，
解得，
所以所求圓的方程為.
19. 已知圓，動直線過點.
（1）當直線與圓相切時，求直線的方程
（2）若直線與圓相交于兩點，求中點的軌跡方程.
【答案】（1）或
（2）且
【解析】
【分析】（1）討論直線l斜率不存在易得直線l為，再根據(jù)兩條切線關(guān)于CP對稱，結(jié)合傾斜角的關(guān)系?二倍角正切公式求得另一條切線的斜率為，即可寫出切線方程.
（2）設(shè)，根據(jù)，應(yīng)用兩點距離公式化簡得到M的軌跡方程，注意x?y的范圍.
【小問1詳解】
當直線l斜率不存在時，顯然直線l與圓C相切且切點為，
所以，對于另一條切線，若切點為D，則，又
所以，由圖知，直線DP的傾斜角的補角與互余，
所以直線DP的斜率為，故另一條切線方程為，即，
綜上，直線l的方程為或.
【小問2詳解】
由（1）知直線與圓相交于?兩點，則斜率必存在，
設(shè)，則，
所以，整理得，
當直線與圓相切于點時，直線的斜率為，其方程為：
，由，得，即切點，
對于的軌跡方程，當時，，
所以，且，
綜上，的軌跡方程為且，
20. 已知雙曲線，，分別是雙曲線的左、右焦點．
（1）P為雙曲線上一點，．求的面積；求的值．
（2）過雙曲線的右焦點且傾斜角為的直線與雙曲線交于兩點，求弦長的值．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意可知，由余弦定理結(jié)合焦點三角形的性質(zhì)可得，
聯(lián)立兩式即可求得，進而即可求解.
（2）求出直線的方程，聯(lián)立直線方程和雙曲線方程，根據(jù)弦長公式即可求解.
【小問1詳解】
不妨設(shè)點在第二象限，如圖所示：
根據(jù)題意得，
又因為，
所以，
由余弦定理結(jié)合焦點三角形的性質(zhì)可得，
所以，
解得，
所以由三角形面積公式可知，
而.
【小問2詳解】
由（1）可知雙曲線的右焦點，且由題意直線的斜率為，
則直線的方程為，
聯(lián)立，得，
設(shè)，則由韋達定理，
所以由弦長公式有
.
21. 已知橢圓的離心率為，點在上.
（1）求的方程；
（2）設(shè)直線與交于，兩點，若，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由題可得，，再結(jié)合點在上，代入即可解出，得出橢圓方程；
（2）設(shè)，的坐標為，，聯(lián)立直線與橢圓，由韋達定理結(jié)合建立方程，即可求出k值.
【詳解】（1）解：由題意得，
所以，
①，
又點在上，
所以②，
聯(lián)立①②，解得，，
所以橢圓的標準方程為.
（2）解：設(shè)，的坐標為，，依題意得，
聯(lián)立方程組消去，
得.
，
，，，
，
∵，
∴，
，
所以.
【點睛】本題考查橢圓標準方程的求法，考查利用韋達定理求參數(shù)，屬于中檔題.
22. 已知雙曲線C中心為坐標原點，左焦點為，離心率為．
（1）求C的方程；
（2）記C的左、右頂點分別為，，過點的直線與C的左支交于M，N兩點，M在第二象限，直線與交于點P．證明:點在定直線上.
【答案】（1）
（2）證明見解析.
【解析】
【分析】（1）由題意求得的值即可確定雙曲線方程；
（2）設(shè)出直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，然后由點的坐標分別寫出直線與的方程，聯(lián)立直線方程，消去，結(jié)合韋達定理計算可得，即交點的橫坐標為定值，據(jù)此可證得點在定直線上.
【小問1詳解】
設(shè)雙曲線方程為，由焦點坐標可知，
則由可得，，
雙曲線方程為.
【小問2詳解】
由(1)可得，設(shè)，
顯然直線的斜率不為0，所以設(shè)直線的方程為，且，
與聯(lián)立可得，且，
則，
直線方程為，直線的方程為，
聯(lián)立直線與直線的方程可得：
，
由可得，即，
據(jù)此可得點在定直線上運動.
【點睛】關(guān)鍵點點睛:求雙曲線方程的定直線問題，意在考查學生的計算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中根據(jù)設(shè)而不求的思想，利用韋達定理得到根與系數(shù)的關(guān)系可以簡化運算，是解題的關(guān)鍵.

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