1. 空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解即可.
詳解】點(diǎn)，
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得中得為：，即.
故選A.
2. 如圖所示,在平行六面體中,,,,是的中點(diǎn),點(diǎn)是上的點(diǎn),且,用表示向量的結(jié)果是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】在平行六面體中根據(jù)空間向量的加法合成法則,對向量進(jìn)行線性表示,即可求得答案.
【詳解】連接
可得:
又
故選: D.
【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量的加法運(yùn)算,解題關(guān)鍵是掌握向量的加法運(yùn)算和數(shù)形結(jié)合,屬于基礎(chǔ)題.
3. 已知，，，則的夾角是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出向量的坐標(biāo)，然后利用數(shù)量積的夾角坐標(biāo)公式計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)?，，，所以，?br>所以，
又，所以，即的夾角是.
故選：C.
4. 在棱長為的正方體中，則平面與平面之間的距離為
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，求得和平面的一個(gè)法向量，
利用向量的距離公式，即可求解．
【詳解】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則，，，，
所以，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，
即，解得，故，
顯然平面平面，
所以平面與平面之間的距離．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間向量在求解距離中的應(yīng)用，對于利用空間向量求解點(diǎn)到平面的距離的步驟通常為：①求平面的法向量；②求斜線段對應(yīng)的向量在法向量上的投影的絕對值，即為點(diǎn)到平面的距離．空間中其他距離問題一般都可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離求解．著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.
5. 若直線經(jīng)過、兩點(diǎn)，則直線的傾斜角的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】計(jì)算出的取值范圍，結(jié)合角的取值范圍可求得結(jié)果.
【詳解】由題意可得，又因?yàn)?，?
故選：C.
6. 過點(diǎn)且與直線平行的直線方程是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
設(shè)所求直線方程為，代入點(diǎn)，即可求得本題答案.
【詳解】因?yàn)樗笾本€方程與直線平行，所以可設(shè)為，又因?yàn)榻?jīng)過點(diǎn)，代入可得，則所求直線方程為.
故選：C
【點(diǎn)睛】本題主要考查直線方程的求法，屬于基礎(chǔ)題.
7. 已知直線:，直線:，若，則（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)直線的垂直，即可求出tanα=2，再根據(jù)二倍角公式即可求出．
【詳解】因?yàn)閘1⊥l2，所以，
所以tanα=2，
所以.
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了兩直線的垂直的充要條件，以及正切二倍角公式，屬于容易題.
8. 已知六棱錐的底面是正六邊形，平面ABC，.則下列命題中正確的有（）
①平面平面PAE；
②；
③直線CD與PF所成角的余弦值為；
④直線PD與平面ABC所成的角為45°；
⑤平面PAE.
A. ①④B. ①③④C. ②③⑤D. ①②④⑤
【答案】B
【解析】
【分析】
①要判斷面面垂直，需先判斷是否有線面垂直，根據(jù)線線，線面的垂直關(guān)系判斷；②由條件可知若，可推出平面，則，判斷是否有矛盾；
③異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角，即根據(jù)，轉(zhuǎn)化為求；④根據(jù)線面角的定義直接求解；⑤若平面，則，由正六邊形的性質(zhì)判斷是否有矛盾.
【詳解】∵平面ABC，∴，在正六邊形ABCDEF中，
，，∴平面PAE，且面PAB，
∴平面平面PAE，故①成立；
由條件可知若，平面，則，，可推出平面，則，這與不垂直矛盾，故②不成立；
∵，直線CD與PF所成角為，
在中，，
∴，∴③成立.
在中，，
∴，故④成立.
若平面，平面平面則，這與不平行矛盾，故⑤不成立.
所以正確的是①③④
故選：B
【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)，線，面的位置關(guān)系，重點(diǎn)考查推理證明，空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題型.
二、多選題（共4小題）
9. 已知空間中三點(diǎn)、、，則下列結(jié)論不正確的有（）
A. 與是共線向量
B. 的單位向量是
C. 與夾角的余弦值是
D. 平面的一個(gè)法向量是
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用共線向量的坐標(biāo)關(guān)系可判斷A選項(xiàng)；利用單位向量的定義可判斷B選項(xiàng)；利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷C選項(xiàng)；利用法向量的定義可判斷D選項(xiàng).
【詳解】對于A選項(xiàng)，，，
因?yàn)?，則、不共線，A錯(cuò)；
對于B選項(xiàng)，的單位向量為，B錯(cuò)；
對于C選項(xiàng)，，，
所以，與夾角的余弦值是，C錯(cuò)；
對于D選項(xiàng)，設(shè)為平面的法向量，
則，取，則，，
所以，平面的一個(gè)法向量為，D對.
故選：D.
10. 下列說法正確的是（）
A. 直線與兩坐標(biāo)軸圍成三角形的面積是2
B. 直線的傾斜角為
C. 過，兩點(diǎn)的直線方程為
D. 直線在軸上截距是
【答案】ABD
【解析】
【分析】A確定直線在坐標(biāo)軸上截距，再求面積即可判斷；B由斜率確定傾斜角大小即可；C根據(jù)兩點(diǎn)式使用前提判斷；D令即可得軸上截距.
【詳解】A：由直線方程知：其在x、y軸截距分別為，故該直線與坐標(biāo)軸所圍成三角形面積為2，對；
B：由直線斜率為1，即傾斜角正切值為1，根據(jù)傾斜角范圍為，則傾斜角大小為，對；
C：僅當(dāng)時(shí)，直線才能表示為，錯(cuò)；
D：令，則，故在軸上截距是，對.
故選：ABD
11. 已知直線，則下列結(jié)論正確的是（）
A. 直線的傾斜角是
B. 若直線，則
C. 直線過定點(diǎn)
D. 過與直線平行的直線方程是
【答案】CD
【解析】
【分析】對選項(xiàng)A，根據(jù)，即可判定A錯(cuò)誤，對選項(xiàng)B，根據(jù)斜率相乘不等于-1，即可判定B錯(cuò)誤，對選項(xiàng)C，變形直線方程得到，即可判定C正確，對選項(xiàng)D，設(shè)所求直線方程，再代入點(diǎn)，即可判斷D正確.
【詳解】對選項(xiàng)A，直線，，，故A錯(cuò)誤；
對選項(xiàng)B，直線，，，故B錯(cuò)誤；
對選項(xiàng)C，直線，，恒過，故C正確.
對選項(xiàng)D，設(shè)直線平行的直線方程是，
把代入得：，解得，
所以所求直線方程，故D正確.
故選：CD
12. 在棱長為的正方體中中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動，則下列命題正確的是（）
A. 異面直線和所成的角為定值
B. 直線和平面平行
C. 三棱錐的體積為定值
D. 直線和平面所成的角為定值
【答案】ABC
【解析】
【分析】由線面垂直的判定可證得平面，由線面垂直性質(zhì)可知A正確；根據(jù)，結(jié)合線面平行的判定可得B正確；結(jié)合平行關(guān)系，可由體積橋得到，由此可得C正確；根據(jù)線面角的定義可確定所求角，根據(jù)正切值不為定值可知D錯(cuò)誤.
【詳解】對于A，四邊形為正方形，；
平面，平面，，
又平面，，平面，
平面，，異面直線和所成角為定值，A正確；
對于B，，平面，平面，
平面，又平面，平面即為平面，
平面，B正確；
對于C，由B知：平面，，
平面平面，平面，平面，
，，
即三棱錐的體積為定值，C正確；
對于D，設(shè)，
由A知：平面，即為直線和平面所成的角，
，
不是定值，不是定值，即直線和平面所成的角不是定值，D錯(cuò)誤.
故選：ABC.
三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）
13. 設(shè)點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上，的中點(diǎn)是，則等于________
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上，且的中點(diǎn)是，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到A，B的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式求解.
【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上，且的中點(diǎn)是，
所以，
所以，
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題主要考查兩點(diǎn)間的距離公式和中點(diǎn)坐標(biāo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.
14. 已知直線l1經(jīng)過點(diǎn)A(0，－1)和點(diǎn)B(－，1)，直線l2經(jīng)過點(diǎn)M(1,1)和點(diǎn)N(0，－2)，若l1與l2沒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值為________．
【答案】－6
【解析】
【分析】分別根據(jù)斜率公式求出兩條直線的斜率，再根據(jù)兩直線平行，斜率相等即可求出a的值．
【詳解】直線l2經(jīng)過點(diǎn)M（1，1）和點(diǎn)N（0，﹣2），
∴==3，
∵直線l1經(jīng)過點(diǎn)A（0，﹣1）和點(diǎn)B（﹣，1），
∴==﹣，
∵l1與l2沒有公共點(diǎn)，則l1∥l2，
∴﹣=3，解得a=﹣6，
故答案為﹣6．
【點(diǎn)睛】本題考查了兩直線平行的條件，斜率公式，屬于基礎(chǔ)題．
15. 將正方形沿對角線折起，當(dāng)以四點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐體積最大時(shí)，異面直線與所成的角為___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)題意可知，當(dāng)最大時(shí)，平面平面，建立空間直角坐標(biāo)系，求得異面直線夾角.
詳解】根據(jù)題意可知，當(dāng)最大時(shí)，平面平面，
設(shè)的中點(diǎn)為，連接建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
令，則，
，
因此
所以異面直線與所成的角為
故答案為：
【點(diǎn)睛】平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線的問題化歸為共面直線問題來解決，具體步驟如下：
①平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；
②認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；
③計(jì)算：求該角的值，常利用解三角形；
④取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當(dāng)所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為兩條異面直線所成的角．
16. 如圖所示，在直平行六面體中，，，點(diǎn)在上，且，則點(diǎn)到平面的距離為________.
【答案】
【解析】
【分析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用點(diǎn)到平面的距離計(jì)算，即可得答案；
【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，
∴，.
設(shè)平面的法向量為，
則，令，則，，
∴.
∴點(diǎn)到平面的距離.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題考查利用空間向量法求點(diǎn)到面的距離，考查運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意坐標(biāo)系的建立.
四、解答題（本大題共6小題，共70分）
17. 已知，，，，，求：
（1），，；
（2）與所成角的余弦值．
【答案】（1），，
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)空間向量平行公式與垂直公式求解即可；
（2）根據(jù)空間向量夾角公式求解即可.
【小問1詳解】
因?yàn)椋?，解得，故?
由可得，解得，故.
【小問2詳解】
，，
故與所成角的余弦值.
18. 如圖，在直三棱柱中，，，，，是的中點(diǎn).
（1）試建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，并寫出點(diǎn)，的坐標(biāo)；
（2）求的長
（3）求證：.
【答案】（1）坐標(biāo)系見解析，，
（2）
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，即可得到所求點(diǎn)的坐標(biāo).
（2）根據(jù)空間向量坐標(biāo)運(yùn)算即可..
（3）根據(jù)，即可證明結(jié)論.
【小問1詳解】
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系.
所以，
【小問2詳解】
，，，
.
【小問3詳解】
，.
，，，所以.
19. 已知中，點(diǎn)，，.
（1）求直線的方程；
（2）求邊的高線所在的直線方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出直線斜率，由點(diǎn)斜式寫出直線方程；
（2）根據(jù)直線垂直的結(jié)論和點(diǎn)斜式方程即可得到答案.
【小問1詳解】
由題意可知，直線的斜率，
故直線的方程為即，
【小問2詳解】
邊的高線的斜率，
故直線邊的高線的方程為，即.
20. 如圖，正方形與梯形所在的平面互相垂直，，，，，為的中點(diǎn).
（1）求證：平面；
（2）求證：平面；
（3）求點(diǎn)到面的距離.
【答案】（1）證明見解析
（2）證明見解析（3）
【解析】
【分析】（1）依題意可以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量共面定理可證明共面，即可證明平面；
（2）由空間向量數(shù)量積為零可證明，，再由線面垂直的判定定理即可證明平面.
（3）利用點(diǎn)到平面距離的空間向量求法即可.
【小問1詳解】
∵平面平面，平面平面，
，平面，∴平面.
以為原點(diǎn)，，，分別為軸、軸、軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
則，，，，，.
∵為的中點(diǎn)，∴，
則，，，
∴，故，，共面.
又平面，∴平面.
【小問2詳解】
，，，
∵，∴
又，∴
又，，平面，
∴平面.
【小問3詳解】
由（2）知為平面的法向量，
則點(diǎn)到面的距離.
21. （1）過點(diǎn)，且斜率為的直線的一般式方程方程；
（2）經(jīng)過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程；
（3）經(jīng)過點(diǎn)且與軸，軸正半軸分別交于點(diǎn)，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的最小值.
【答案】（1）；（2）或；（3）12
【解析】
【分析】（1）設(shè)直線方程為點(diǎn)斜式，化成一般式即可.
（2）截距相等分兩種情況討論，截距相等且是0，設(shè)為,或者截距相等不是0，設(shè)為，代入求解即可.
（3）設(shè)直線截距式方程，可得，由基本不等式可得，可得的面積最小值.
【詳解】（1）利用點(diǎn)斜式可得：直線的方程為：，化為：.
（2）截距相等不是0時(shí)，可設(shè)直線方程為，直線的方程經(jīng)過點(diǎn)，將點(diǎn)代入上式，得：，
∴直線的方程為：.
截距相等且是0時(shí)，設(shè)直線為，直線的方程經(jīng)過點(diǎn)，將點(diǎn)代入上式，得，即.
∴經(jīng)過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程為或；
（3）設(shè)直線方程為，直線的方程經(jīng)過點(diǎn)，代入，所以，
又，所以，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，時(shí)，等號成立，
所以.
22. 如圖所示，在四棱錐中，底面四邊形是正方形，側(cè)面是邊長為的正三角形，且平面底面.
（1）求直線與平面所成角的正弦值；
（2）求平面與平面夾角的正弦值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)證得平面，從而建立空間直角坐標(biāo)系，再求得平面的一個(gè)法向量與，從而利用空間向量法即可得解；
（2）結(jié)合（1）中條件，分別求出平面與平面的法向量，從而利用空間向量法即可得解.
【小問1詳解】
取的中點(diǎn)，連接，
∵為正三角形，為的中點(diǎn)，則，，
又∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面．
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在的直線分別為、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，則，
易知平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所成的角為，
.
因此直線與平面所成角的正弦值為.
【小問2詳解】
由（1）得，，，
設(shè)平面的法向量為，則，
取，則，故，
設(shè)平面的法向量為，則，
取，則，故，
設(shè)平面與平面夾角夾角為，則，
所以，則，
所以平面與平面夾角的正弦值.

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