一、選擇題(本大題共7小題，每小題5分，共35分)
1．如圖，在半徑為5 cm的⊙O中，弦AB＝6 cm, OC⊥AB于點C，則OC的長為（B）
A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm
2.(2023·廣東)如圖，AB是⊙O的直徑，∠BAC＝50°，則∠D的度數(shù)為（B）
A．20° B．40° C．50° D．80°
3．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4.若以點A為圓心，4為半徑作⊙A，則下列各點中在⊙A外的是（C）
A．點A B．點B C．點C D．點D
4．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，CB＝CD，若∠BCD＝2∠BAD，則∠OBC的度數(shù)是（D）
A．40° B．45° C．50° D．60°
5．如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，OE⊥AB交⊙O于點E，垂足為D，AE，CB的延長線交于點F.若OD＝3，AB＝8，則FC的長是（A）
A．10 B．8 C．6 D．4
6．如圖，⊙O與正五邊形ABCDE的兩邊AE，CD相切于A，C兩點，則∠AOC的度數(shù)是（A）
A．144° B．130° C．129° D．108°
7.(2023·遂寧)如圖，圓錐底面圓半徑為7 cm，高為24 cm，則它側(cè)面展開圖的面積是（C）
A.eq \f(175π,3) cm2 B.eq \f(175π,2) cm2 C．175π cm2 D．350π cm2
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)
8．如圖，菱形OABC的頂點A，B，C在⊙O上，過點B作⊙O的切線交OA的延長線于點D.若⊙O的半徑為3，則BD的長為3eq \r(3).
9.如圖，已知⊙O的周長為8π，則該圓內(nèi)接正六邊形ABCDEF的邊心距OG為2eq \r(3).
10．如圖，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，D，E分別為邊AB, AC上的點，且DE為⊙O的切線，若△ABC的周長為25, BC的長是9，則△ADE的周長是7.
11．如圖，從一個腰長為60 cm，頂角為120°的等腰三角形鐵皮OAB中剪出一個最大的扇形OCD，則此扇形的弧長為20πcm.
三、解答題(本大題共2小題，共45分)
12．(20分)如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑．直線l與⊙O相切于點A，在l上取一點D使得DA＝DC，線段DC，AB的延長線交于點E.
(1)求證：直線DC是⊙O的切線；
(2)若BC＝2，∠CAB＝30°，求圖中陰影部分的面積(結(jié)果保留π)．
(1)證明：連接OC,
∵AB是⊙O的直徑，
直線l與⊙O相切于點A，
∴∠DAB＝90°，
∵DA＝DC，OA＝OC，
∴∠DAC＝∠DCA，∠OAC＝∠OCA，
∴∠DCO＝∠DAO＝90°，∴OC⊥CD，
∵OC為⊙O的半徑，∴直線DC是⊙O的切線．
(2)解：∵∠CAB＝30°，∴∠BOC＝2∠CAB＝60°，
∵OC＝OB，∴△COB是等邊三角形，
∴OC＝OB＝BC＝2，∴CE＝eq \r(3)OC＝2eq \r(3)，
∴陰影部分的面積為
S△OCE－S扇形COB＝eq \f(1,2)×2×2eq \r(3)－eq \f(60·π×22,360)
＝2eq \r(3)－eq \f(2π,3).
13．(25分)(2023·廣安)如圖，以Rt△ABC的直角邊AB為直徑作⊙O，交斜邊AC于點D，E是BC的中點，連接OE，DE.
(1)求證：DE是⊙O的切線；
(2)若sin C＝eq \f(4,5)，DE＝5，求AD的長；
(3)求證：2DE2＝CD·OE.
(1)證明：連接BD，OD，
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB＝90°，即BD⊥AC，
在Rt△BDC中，E是BC的中點，
∴BE＝DE＝eq \f(1,2)BC，又∵OB＝OD，OE＝OE，
∴△OBE≌△ODE(SSS)，
∴∠OBE＝∠ODE＝90°，
∵D在⊙O上，∴DE是⊙O的切線．
(2)解：由(1)可知BC＝2DE＝10，
在Rt△BDC中，sin C＝eq \f(BD,BC)＝eq \f(BD,10)＝eq \f(4,5)，
∴BD＝8，CD＝eq \r(BC2－BD2)＝6，
∵cs C＝eq \f(CD,BC)＝eq \f(3,5)，
在Rt△ABC中，cs C＝eq \f(BC,AC)＝eq \f(10,AC)＝eq \f(3,5)，
∴AC＝eq \f(50,3)，∴AD＝AC－CD＝eq \f(32,3).
(3)證明：∵OA＝OB，BE＝CE，
∴OE∥AC，∴∠OEB＝∠C，
∵∠OBE＝∠BDC＝90°，
∴△OBE∽△BDC，∴eq \f(OE,BC)＝eq \f(BE,CD)，
由(1)中結(jié)論△OBE≌△ODE，得
BE＝DE，BC＝2DE，
∴eq \f(OE,2DE)＝eq \f(DE,CD)，即2DE2＝CD·OE.

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