一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)
1．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，那么∠A的正弦值是（D）
A.eq \f(3,4) B.eq \f(4,3) C.eq \f(3,5) D.eq \f(4,5)
2．若長(zhǎng)度分別為a，3，5的三條線段能組成一個(gè)三角形，則a的值可以是（C）
A．1 B．2 C．4 D．8
3．(2023·自貢)如圖，某人沿路線A→B→C→D行走，AB與CD方向相同，∠1＝128°，則∠2的度數(shù)為（C）
A．52° B．118° C．128° D．138°
4．(2023·貴州)5月26日，“2023中國(guó)國(guó)際大數(shù)據(jù)產(chǎn)業(yè)博覽會(huì)”在貴陽(yáng)開(kāi)幕，在“自動(dòng)化立體庫(kù)”中有許多幾何元素，其中有一個(gè)等腰三角形模型，它的頂角為120°，腰長(zhǎng)為12 m，則底邊上的高是（B）
A．4 m B．6 m C．10 m D．12 m
5．如圖，在△ABC和△DEF中，點(diǎn)A，E，B，D在同一直線上，AC∥DF，AC＝DF，只添加一個(gè)條件，能判定△ABC≌△DEF的是（B）
A．BC＝DE B．AE＝DB
C．∠A＝∠DEF D．∠ABC＝∠D
6．如圖，在△ABC中，D是AB邊上的點(diǎn)，∠B＝∠ACD，AC∶AB＝1∶2，則△ADC與△ACB的周長(zhǎng)比是（B）
A．1∶eq \r(2) B．1∶2 C．1∶3 D．1∶4
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)
7．一條上山直道的坡度為1∶7，沿這條直道上山，則前進(jìn)100 m所上升的高度為10eq \r(2)m.
8．如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝10，邊AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E.若△ABD的周長(zhǎng)為26，則DE的長(zhǎng)為eq \f(15,4).
9．如圖是一架梯子的示意圖，其中AA1∥BB1∥CC1∥DD1，AB＝BC＝CD.為使其更穩(wěn)固，在A，D1間加綁一條安全繩，量得AE＝0.4 m，則AD1＝1.2m.
10.如圖，爺爺家有一塊等邊三角形的空地ABC，已知E，F(xiàn)分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，量得EF＝6 m，爺爺想把四邊形BCFE用籬笆圍成一圈種植蔬菜，則需要籬笆的長(zhǎng)是30m.
三、解答題(本大題共3小題，共50分)
11．(10分)如圖，在△ABC中，CF⊥AB于點(diǎn)F，BE⊥AC于點(diǎn)E，M為BC的中點(diǎn)．
(1)求證：△MEF是等腰三角形；
(2)若∠EBC＝30°，BC＝10 cm，求CE的長(zhǎng)度．
(1)證明：∵CF⊥AB，BE⊥AC，
∴△BFC與△BEC都為直角三角形，
∵M(jìn)為BC的中點(diǎn)，
∴FM，EM為斜邊BC的中點(diǎn)，∴EM＝eq \f(1,2)BC，F(xiàn)M＝eq \f(1,2)BC，
∴EM＝FM，∴△MEF是等腰三角形．
(2)解：在Rt△EBC中，∵∠EBC＝30°，
∴CE＝eq \f(1,2)BC＝eq \f(1,2)×10＝5 cm.
12．(12分)如圖，E, F分別是等邊三角形ABC的邊AB, AC上的點(diǎn)，且BE＝AF，CE，BF相交于點(diǎn)P.
(1)求證：CE＝BF；
(2)求∠BPC的度數(shù)．
(1)證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴BC＝AB，
∠A＝∠EBC＝60°.
在△BCE和△ABF中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(BC＝AB，,∠EBC＝∠A，,BE＝AF，))
∴△BCE≌△ABF(SAS)．∴CE＝BF.
(2)解：由(1)知△ABF≌△BCE，
∴∠BCE＝∠ABF，
∴∠PBC＋∠PCB＝∠PBC＋∠ABF＝∠ABC＝60°，
即∠PBC＋∠PCB＝60°，
∴∠BPC＝180°－60°＝120°.
13．(14分)如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，∠AED ＝∠B，射線AG分別交線段DE，BC于點(diǎn)F，G，且 eq \f(AD,AC)＝eq \f(DF,CG).
(1)求證：△ADF∽△ACG；
(2)若 eq \f(AD,AC)＝eq \f(1,2)，求 eq \f(AF,FG) 的值．
(1)證明：
∵∠AED＝∠B，
∠DAE＝∠CAB，
∴∠ADF＝∠C.
又∵eq \f(AD,AC)＝eq \f(DF,CG)，∴△ADF∽△ACG.
(2)解：∵△ADF∽△ACG，
∴eq \f(AD,AC)＝eq \f(AF,AG)＝eq \f(1,2)，∴eq \f(AF,FG)＝1.
14．(14分)2023年5月30日，“神舟十六號(hào)”載人飛船發(fā)射取得圓滿成功，3名航天員順利進(jìn)駐中國(guó)空間站，示意圖中展示了中國(guó)空間站上機(jī)械臂的一種工作狀態(tài)，當(dāng)兩臂AC＝BC＝10 m，兩臂夾角∠ACB＝100°時(shí)，求A，B兩點(diǎn)間的距離．(結(jié)果精確到0.1 m，參考數(shù)據(jù)：sin 50°≈0.766，cs 50°≈0.643，tan 50°≈1.192)
解：連接AB，作
CD⊥AB于點(diǎn)D，
∵AC＝BC，
CD⊥AB，
∴CD是邊AB上的中線，也是∠ACB的平分線，
∴AB＝2AD，∠ACD＝eq \f(1,2)∠ACB＝50°，
在Rt△ACD中，
AC＝10 m，∠ACD＝50°，sin ∠ACD＝eq \f(AD,AC)，
∴sin 50°＝eq \f(AD,10)，
∴AD＝10 sin 50°≈10×0.766＝7.66，
∴AB＝2AD≈2×7.66＝15.32≈15.3(m)．
答：A，B兩點(diǎn)間的距離為15.3 m．

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