（考試時間：120分鐘 總分：150分）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.已知直線的傾斜角為30°，且經過點，則直線的方程為（ ）
A.B.C.D.
2.公差不為0的等差數列中，，則的值不可能是（ ）
A.9B.16C.22D.25
3.已知數列，，，則（ ）
A.8B.16C.24D.64
4.從含有3件次品的8件新產品中，任意抽取4件進行檢驗，抽出的4件產品中恰好有2件次品的抽法種數為（ ）
A.B.C.D.
5.已知點關于直線對稱的點在圓上，則（ ）
A.1B.C.D.
6.數學與自然、生活相伴相隨，無論是蜂的繁殖規(guī)律，樹的分枝，還是鋼琴音階的排列，當中都蘊含了一個美麗的數學模型Fibnacci（斐波那契數列）：1，1，2，3，5，8，13，21，…，這個數列的前兩項都是1，從第三項起，每一項都等于前面兩項之和.請你結合斐波那契數列，嘗試解答下面的問題：小明走樓梯，該樓梯一共7級臺階，小明每步可以上一級或二級，請問小明的不同走法種數是（ ）
A.21B.13C.12D.15
7.已知圓，一條光線從點射出經軸反射，則下列結論正確的是（ ）
A.圓關于軸的對稱圓的方程為
B.若反射光線與圓相切于點，與軸相交于點，則
C.若反射光線平分圓的周長，則反射光線所在直線的方程為
D.若反射光線與圓交于，兩點，則面積的最大值為1
8.已知數列的前項和為，，，且關于的不等式有且僅有4個解，則的取值范圍是（ ）
A.B.C.D.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。
9.已知的展開式的第2項與第3項系數的和為3，則（ ）
A.B.展開式的各項系數的和為
C.展開式的各二項式系數的和為256D.展開式的常數項為第5項
10.傳承紅色文化，宣揚愛國精神，湖洋中學國旗隊在高一年級招收新成員，現有小明、小紅、小華等7名同學加入方陣參加訓練，則下列說法正確的是（ ）
A.7名同學站成一排，小明、小紅、小華必須按從左到右的順序站位，則不同的站法種數為840
B.7名同學站成一排，小明、小紅兩人相鄰，則不同的排法種數為720
C.7名同學站成一排，小明、小紅兩人不相鄰，則不同的排法種數為480
D.7名同學分成三組（每組至少有兩人），進行三種不同的訓練，則有630種不同的訓練方法
11.已知圓和圓.其中正確的結論是（ ）
A.當時，圓和圓有4條公切線
B.若圓與圓相交，則的取值范圍為
C.若直線與圓交于，兩點，且（為坐標原點），則實數的值為
D.若，設為平面上的點，且滿足：存在過點的無窮多對互相垂直的直線和，它們分別與圓和圓相交，且直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等，則所有滿足條件的點的坐標為或
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.已知圓，圓，則圓和圓的公共弦所在的直線方程為__________.
13.已知，若過定點的動直線和過定點的動直線交于點（與，不重合），則的值為__________.
14.在數列相鄰的每兩項中間插人這兩項的平均數，構造成一個新數列，這個過程稱為原數列的一次"平均拓展"，再對新數列進行如上操作，稱為原數列的二次“平均拓展”.已知數列的通項公式為，現在對數列進行次“平均拓展”，得到一個新數列，記為與之間的次平均拓展之和，為與之間的次平均拓展之和，……，則__________；依此類推，將數列1，3，5，…，21經過次“平均拓展”后得到的新數列的所有項之和記為，則__________.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟
15.（13分）
已知.
（1）求的值；
（2）求的值.
16.（15分）
已知的三個頂點的坐標分別是，，.
（1）求的面積；
（2）求外接圓的方程.
17.（15分）
已知數列的前項和，數列是各項均為正數的等比數列，，且.
（1）求和的通項公式；
（2）設數列的前項和為，證明：.
18.（17分）
已知圓和點.
（1）點在圓上運動，且為線段ME的中點，求點的軌跡曲線的方程.
（2）設為（1）中曲線上任意一點，過點向圓引一條切線，切點為.
（i）求的取值范圍.
（ii）試探究：在軸上是否存在定點（異于點），使得為定值？若存在，請求出定點的坐標，并指出相應的定值；若不存在，請說明理由.
19.（17分）
高斯是德國著名的數學家，近代數學奠基者之一，享有“數學王子”的稱號，以他的名字命名的函數稱為高斯函數，函數，其中表示不超過的最大整數.例如：，，.已知數列滿足，.
（1）求.
（2）證明：數列是等比數列.
（3）求的個位數.
龍巖市一級校聯(lián)盟2024—2025學年第一學期半期考聯(lián)考
高二數學參考答案
1.A 2.C 3.D 4.C 5.C 6.A 7.C 8.B 9.ACD 10.AD 11.ABD
12.13.1
14.；
解：由題可知表示與之間的次平均拓展之和，
所以數列每次構造所添加的個數相同，因此只需要研究一項即可.
對于而言，
第一次構造得到1，2，3，其中；
第二次構造得到1，，2，，3，其中；
第三次構造得到1，，，…，，3，其中；
第四次構造得到1，，，…，，，3，其中.……
由觀察歸納，第次構造得到1，，3，則.
因為經過次“平均拓展”得到的新數列的項分別為1，，3，，5，…，7，…，9，…，，且數列的各項分別為，，…，，
所以.
因為，所以.
15.解：（1）因為，
所以. 6分
（2）令，則， 9分
令，則，可得， 12分
因此. 13分
16.解：（1）已知，，直線的斜率， 2分
則直線的方程為，
點到直線的距離. 5分
又， 6分
所以的面積. 7分
（2）設外接圓的方程為，
把點，，的坐標代入圓的方程，得 10分
可得
所以圓的方程為. 15分
17.（1）解：數列的前項和，當時，，
當時，， 2分
因為也適合上式，
所以. 3分
設數列的公比為，因為，
所以，解得， 5分
又，所以.5分
（2）證明：由題意得
設數列的奇數項之和為，偶數項之和為，
則
， 10分
，
所以，11分
兩式相減得， 13分
所以， 14分
故， 15分
18.解:（1）設，，則 1分
由點在圓上運動，得，所以，
則即為點的軌跡曲線的方程.4分
（2）（i）依題意得線與圓相切于點，所以， 5分
當（為坐標原點），，三點共線時，取得最大值7和最小值3， 7分
所以的取值范圍為.9分
（ii）設為曲線上任意一點.
假設在軸上存在定點（異于點）滿足條件，設，
因為為圓的切線，且圓的半徑為1，
所以.13分
對恒為定值，
必有，得，則或（舍去），16分
所以在軸上存在定點，使得為定值.17分
19.（1）解:.3分
（2）證明：由題可得為正整數，則，
所以數列為遞增數列， 5分
當時，.
當時，，即， 6分
所以，即. 7分
由. 8分
結合，均為正整數，可得，其中，
而，故，其中.
所以，由，得，
所以，故數列是以為首項，3為公比的等比數列.
（3）解:由（2）可得，， 12分
，
因為為10的倍數，
所以，故的個位數為4. 17分

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