1．下列長度的兩條線段與長度為6的線段能組成三角形的是（ ）
A．1，4B．3，3C．4，6D．2，4
2．下列各式中，從左到右的變形是因式分解的是（ ）
A．x（x+y）＝x2+xyB．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2
C．x2+x+1＝x（x+1）+1D．x2+2x+1＝（x+1）2
3．如圖，兩個直角三角形重疊在一起，將其中一個三角形沿著點B到點C的方向平移到△DEF的位置，AB＝7，DH＝2，則陰影部分的面積為（ ）
A．20B．18C．15D．26
4．如圖，AB∥CD，∠ABE＝125°，則∠α＝（ ）
A．70°B．75°C．80°D．85°
5．如圖，將一條兩邊沿互相平行的紙帶折疊、則∠1與∠α的關系式是（ ）
A．∠α＝60°+∠1B．∠α＝45°+∠1
C．∠α+∠1＝90°D．∠α+∠1＝120°
6．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，AE平分∠CAD，交BC于點E，分別交AB、AD于點F、G．則下列結論：①∠BAC＝90°；②∠AEF＝∠BEF；④∠B＝2∠AEF，其中正確的有（ ）
A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④
二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）
7．小明同學在百度搜索引擎中輸入“中國夢，我的夢”，引擎搜索耗時0.000175秒，科學計數(shù)法可表示為 ．
8．計算：＝ ．
9．如圖，∠1、∠2、∠3、∠4是五邊形的外角，若∠A＝120°，∠1+∠2+∠3+∠4＝ °．
10．如果a﹣b＝4，ab＝1，則a2+b2＝ ．
11．若二次三項式x2+（2m﹣1）x+4是一個完全平方式，則m＝ ．
12．如圖，直線AE∥DF，若∠ABC＝120°，則∠1+∠2的度數(shù)為 ．
13．已知a＞0，b＞0，（3a+3b+1）（3a+3b﹣1）＝ ．
14．滿足等式（2x﹣3）x+4＝1的x的值為 ．
15．已知x≠y，滿足等式x2﹣2y＝20242，y2﹣2x＝20242，則x2+2xy+y2的值為 ．
16．設△ABC的面積為1，如圖①將邊BC、AC分別2等分，BE1、AD1相交于點O，△AOB的面積記為S1；如圖②將邊BC、AC分別3等份，BE1、AD1相交于點O，△AOB的面積記為S2；…，依此類推，則S5的值為 .
三、解答題（本大題共9小題，共68分）
17．（6分）計算和化簡：
（1）；
（2）（﹣2x2）3+x2?x4﹣（﹣3x3）2．
18．（7分）先化簡，再求值：（2x﹣1）2﹣2（x+1）（x﹣1）﹣x（x﹣2），其中x2﹣2x﹣3＝0．
19．（8分）因式分解：
（1）a2﹣9；
（2）a2b+ab2；
（3）3x2﹣12xy+12y2；
（4）9x2（a﹣b）+16y2（b﹣a）．
20．（6分）如圖，每個小正方形的邊長為1個單位，每個小方格的頂點叫格點．
（1）畫出△ABC的AB邊上的高線CD；
（2）求出△ABC的面積為 ；
（3）圖中，能使S△QBC＝3的格點Q，共有 個．
21．（8分）已知：如圖，F(xiàn)E∥OC，AC和BD相交于點O，F(xiàn)是OD上一點，且∠1＝∠A．
（1）求證：AB∥DC；
（2）若∠B＝30°，∠1＝65°，求∠OFE的度數(shù)．
22．（6分）已知5a＝3，5b＝8，5c＝72．
（1）求（5a）2的值．
（2）求5a﹣b+c的值．
（3）直接寫出字母a、b、c之間的數(shù)量關系為 ．
23．（8分）如圖，在△ABC中，AD為邊BC上的高，連接AE．
（1）當AE為邊BC上的中線時，若AD＝6，△ABC的面積為24；
（2）當AE為∠BAC的平分線時，若∠C＝66°，∠B＝36°
24．（8分）在課后服務課上，老師準備了若干個如圖1的三種紙片，A種紙片是邊長為a的正方形，C種紙片是長為b，寬為α的長方形，B種紙片一張，C種紙片兩張拼成如圖2的大正方形．
【發(fā)現(xiàn)】
（1）根據(jù)圖2，寫出一個我們熟悉的數(shù)學公式 ．
【應用】
（2）根據(jù)（1）中的數(shù)學公式，解決如下問題：
①已知：a+b＝7，a2+b2＝25，求ab的值．
②如果一個長方形的長和寬分別為（8﹣x）和（x﹣2），且（8﹣x）2+（x﹣2）2＝20，求這個長方形的面積．
25．（11分）如果三角形中任意兩個內(nèi)角∠α與∠β滿足2∠α+∠β＝90°，那么我們稱這樣的三角形為“準直角三角形”．
（1）在△ABC中，若∠A＝100°，∠B＝70°，并說明理由；
（2）如果△ABC是“準直角三角形”，那么△ABC是 ；（從下列四個選項中選擇，填寫符合條件的序號）（①銳角三角形；②直角三角形；③鈍角三角形；④都有可能）
（3）如圖，在△ABC中，∠A＝25°，BD平分∠ABC交AC于點D．
①若DE∥BC交AB于點E，在①△ADE，②△BDE，④△ABD中“準直角三角形”是 （填寫序號），并說明理由；
②在直線AB上取一點F，當△BFD是“準直角三角形”時，求出∠DFB的度數(shù)．
江蘇省南京市南京師范大學附屬中學新城初級中學2023-2024學年七年級下學期期中考試數(shù)學試卷參考答案
一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分）
1．下列長度的兩條線段與長度為6的線段能組成三角形的是（ ）
A．1，4B．3，3C．4，6D．2，4
【分析】根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊判斷即可．
【解答】解：A選項，1+4＜6；
B選項，3+3＝8；
C選項，4+6＞7；
D選項，2+4＝5；
故選：C．
【點評】本題考查了三角形三邊關系，掌握三角形兩邊之和大于第三邊是解題的關鍵．
2．下列各式中，從左到右的變形是因式分解的是（ ）
A．x（x+y）＝x2+xyB．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2
C．x2+x+1＝x（x+1）+1D．x2+2x+1＝（x+1）2
【分析】根據(jù)因式分解的定義逐個判斷即可．
【解答】解：A．從左到右的變形是整式的乘法，故本選項不符合題意；
B．從左到右的變形是整式的乘法，故本選項不符合題意；
C．等式的右邊不是幾個整式的積的形式，故本選項不符合題意；
D．符合因式分解的定義，故本選項符合題意；
故選：D．
【點評】本題考查了因式分解的定義，能熟記因式分解的定義是解此題的關鍵，注意：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫因式分解．
3．如圖，兩個直角三角形重疊在一起，將其中一個三角形沿著點B到點C的方向平移到△DEF的位置，AB＝7，DH＝2，則陰影部分的面積為（ ）
A．20B．18C．15D．26
【分析】由S△ABC＝S△DEF，推出S四邊形ABEH＝S陰即可解決問題．
【解答】解：∵平移距離為3，
∴BE＝3，
∵AB＝5，DH＝2，
∴EH＝7﹣7＝5，
∵S△ABC＝S△DEF，
∴S四邊形ABEH＝S陰，
∴陰影部分的面積為＝．
故選：B．
【點評】本題考查了平移的基本性質(zhì)，掌握①平移不改變圖形的形狀和大??；②經(jīng)過平移，對應點所連的線段平行且相等，對應線段平行且相等，對應角相等是解題的關鍵．
4．如圖，AB∥CD，∠ABE＝125°，則∠α＝（ ）
A．70°B．75°C．80°D．85°
【分析】如圖，作EF∥AB．利用平行線的性質(zhì)得∠B+∠BEF＝180°，∠C＝∠CEF，即可解決問題．
【解答】解：如圖，作EF∥AB，
∵AB∥EF，AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠B+∠BEF＝180°，∠C＝∠CEF，
∵∠ABE＝125°，∠C＝30°，
∴∠BEF＝55°，∠CEF＝30°，
∴∠BEC＝55°+30°＝85°．
故選：D．
【點評】本題考查平行線的性質(zhì)，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造平行線解決問題．
5．如圖，將一條兩邊沿互相平行的紙帶折疊、則∠1與∠α的關系式是（ ）
A．∠α＝60°+∠1B．∠α＝45°+∠1
C．∠α+∠1＝90°D．∠α+∠1＝120°
【分析】利用平行線的性質(zhì)以及翻折不變性解決問題即可．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠CDF＝∠1＝x，∠BDE＝∠α，
由折疊的性質(zhì)得到，∠BDF＝∠BD＝∠α，
∴∠1＝∠CDF＝180°﹣∠EDF＝180°﹣3∠α，
∴∠1+2∠α＝180°，
∴∠α+，
故選：C．
【點評】本題考查平行線的性質(zhì)，翻折變換等知識，解題的關鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)定理及折疊的性質(zhì)．
6．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，AE平分∠CAD，交BC于點E，分別交AB、AD于點F、G．則下列結論：①∠BAC＝90°；②∠AEF＝∠BEF；④∠B＝2∠AEF，其中正確的有（ ）
A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④
【分析】證明∠BAD+∠CAD＝90°即可判斷①正確；無法判定∠AEF＝∠BEF，即可判斷②錯誤；利用三角形的外角的性質(zhì)，角的和差定義即可判斷③正確；證明∠B＝∠CAD即可判斷④正確．
【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACB+∠CAD＝90°，
∵∠ACB＝∠BAD，
∴∠BAD+∠CAD＝90°，
∴∠BAC＝90°，
故①正確，
∵AE平分∠CAD，
∴∠DAE＝∠CAE，
∵∠BAE＝∠BAD+∠DAE，∠ACB＝∠BAD，
∴∠BAE＝∠ACB+∠CAE＝∠BEA，
故③正確，
∵EF∥AC，
∴∠AEF＝∠CAE，
∵∠CAD＝2∠CAE，
∴∠CAD＝2∠AEF，
∵∠CAD+∠BAD＝90°，∠BAD+∠B＝90°，
∴∠B＝∠CAD＝6∠AEF，
故④正確，
無法判定∠AEF＝∠BEF，故②錯誤；
故選：B．
【點評】本題考查三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．
二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）
7．小明同學在百度搜索引擎中輸入“中國夢，我的夢”，引擎搜索耗時0.000175秒，科學計數(shù)法可表示為 1.75×10﹣4 ．
【分析】科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值≥10時，n是正整數(shù)；當原數(shù)的絕對值＜1時，n是負整數(shù)．
【解答】解：0.000175＝1.75×10﹣5．
故答案為：1.75×10﹣4．
【點評】此題考查科學記數(shù)法的表示方法．科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關鍵要確定a的值以及n的值．
8．計算：＝ ﹣ ．
【分析】利用積的乘方的法則進行運算即可．
【解答】解：
＝（﹣）2023×
＝[（﹣）×（﹣2023×（﹣）
＝12023×（﹣）
＝﹣．
故答案為：﹣．
【點評】本題主要考查積的乘方，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握．
9．如圖，∠1、∠2、∠3、∠4是五邊形的外角，若∠A＝120°，∠1+∠2+∠3+∠4＝ 300° ．
【分析】根據(jù)鄰補角求出∠5，再根據(jù)多邊形的外角和為360°進行計算即可．
【解答】解：如圖，∵∠A＝120°，
∴∠5＝180°﹣120°＝60°，
又∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝360°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝300°，
故答案為：300°．
【點評】本題考查鄰補角，多邊形的內(nèi)角與外角，掌握多邊形的外角和為360°是正確解答的關鍵．
10．如果a﹣b＝4，ab＝1，則a2+b2＝ 18 ．
【分析】先根據(jù)完全平方公式進行變形，再代入求出即可．
【解答】解：∵a﹣b＝4，ab＝1，
∴a6+b2＝（a﹣b）2+5ab＝42+8×1＝18，
故答案為：18．
【點評】本題考查了完全平方公式和立方差公式的應用，能靈活運用公式進行變形是解此題的關鍵．
11．若二次三項式x2+（2m﹣1）x+4是一個完全平方式，則m＝ 或﹣ ．
【分析】根據(jù)完全平方公式求出（2m﹣1）x＝±2?x?2，求出即可．
【解答】解：∵二次三項式x2+（2m﹣3）x+4是一個完全平方式，
∴（2m﹣6）x＝±2?x?2，
解得：m＝或﹣，
故答案為：或﹣．
【點評】本題主要考查了完全平方式，根據(jù)平方項確定出這兩個數(shù)是解題的關鍵，也是難點，熟記完全平方公式對解題非常重要，注意：完全平方公式為①（a+b）2＝a2+2ab+b2，②（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2．
12．如圖，直線AE∥DF，若∠ABC＝120°，則∠1+∠2的度數(shù)為 35° ．
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可知∠5與∠6互補，根據(jù)兩個三角形的所有內(nèi)角之和為360°，用360°減去其余四個角可求出∠1與∠2之和．
【解答】解：如圖所示標出∠1，∠2，∠4，∠6，
∵AE∥DF，
∴∠5+∠2＝180°，
∵∠ABC＝120°，∠DCB＝95°，
∴∠3＝180°﹣∠ABC＝180°﹣120°＝60°，∠4＝180°﹣∠DCB＝180°﹣95°＝85°，
∴∠8+∠2＝360°﹣（∠5+∠5+∠3+∠4）＝360°﹣325°＝35°，
∴∠8+∠2＝35°，
故答案為：35°．
【點評】本題考查平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，能夠根據(jù)圖形進行分析是解決本題的關鍵．
13．已知a＞0，b＞0，（3a+3b+1）（3a+3b﹣1）＝899 10 ．
【分析】根據(jù)平方差公式得出（3a+3b）2＝900，再由a＞0，b＞0，可求出3a+3b＝30，進而求出a+b＝10．
【解答】解：∵（3a+3b+2）（3a+3b﹣8）＝899，
∴（3a+3b）6﹣1＝899，
即（3a+4b）2＝900，
又∵（±30）2＝900，a＞6，
∴3a+3b＝30，
即a+b＝10，
故答案為：10．
【點評】本題考查平方差公式，掌握（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，是正確解答的關鍵．
14．滿足等式（2x﹣3）x+4＝1的x的值為 ﹣4或2 ．
【分析】分為三種情況：①當x+4＝0且2x﹣3≠0時，②當2x﹣3＝1時，③當2x﹣3＝﹣1且x+4是偶數(shù)時，再求出x即可．
【解答】解：（2x﹣3）x+5＝1，
①當x+4＝8且2x﹣3≠6時，（2x﹣3）x+2＝1，
解得：x＝﹣4；
②當7x﹣3＝1時，（4x﹣3）x+4＝2，
解得：x＝2；
③當2x﹣4＝﹣1且x+4是偶數(shù)時，（3x﹣3）x+4＝5，
x＝1，x+4≠偶數(shù)，
所以x＝﹣6或2．
故答案為：﹣4或6．
【點評】本題考查了零指數(shù)冪和有理數(shù)的乘方，能求出符合的所有情況是解此題的關鍵．
15．已知x≠y，滿足等式x2﹣2y＝20242，y2﹣2x＝20242，則x2+2xy+y2的值為 4 ．
【分析】聯(lián)立方程，通過因式分解求出x+y的值，再將x2+2xy+y2因式分解得（x+y）2，將x+y的值代入求解．
【解答】解：，
①﹣②得x4﹣y2+2x﹣8y＝0，
（x+y）（x﹣y）+2（x﹣y）＝6，
（x﹣y）（x+y+2）＝0，
∵x≠y，
∴x+y+6＝0，即x+y＝﹣2，
∴x5+2xy+y2＝（x+y）6＝4．
故答案為：4．
【點評】本題考查因式分解的應用，解題關鍵是熟練掌握因式分解的方法，通過整體代入的思想求解．
16．設△ABC的面積為1，如圖①將邊BC、AC分別2等分，BE1、AD1相交于點O，△AOB的面積記為S1；如圖②將邊BC、AC分別3等份，BE1、AD1相交于點O，△AOB的面積記為S2；…，依此類推，則S5的值為 .
【分析】如圖，連接D1E1，先求出S△ABE1＝，再根據(jù)＝＝，得出S△ABO：S△ABE1＝n+1：2n+1，最后根據(jù)S△ABO：＝n+1：2n+1，即可求出S△AOB的值，進一步可求S5的值．
【解答】解：如圖，連接D1E1，
∵AE6：AC＝1：n+1，
∴S△ABE4：S△ABC＝1：n+1，
∴S△ABE4＝，
∵＝＝，
∴＝，
∴S△ABO：S△ABE1＝n+8：2n+1，
∴S△ABO：＝n+1：8n+1，
∴S△ABO＝，
∴S5＝＝，
故答案為：．
【點評】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，用到的知識點是相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、三角形的面積，關鍵是根據(jù)題意作出輔助線，得出相似三角形．
三、解答題（本大題共9小題，共68分）
17．（6分）計算和化簡：
（1）；
（2）（﹣2x2）3+x2?x4﹣（﹣3x3）2．
【分析】（1）利用乘方、非零數(shù)的零次冪、負整數(shù)指數(shù)冪運算解出結果；
（2）利用冪的乘方運算，同底數(shù)冪的乘法計算出結果．
【解答】解：（1）
＝﹣4+1﹣（﹣4）
＝﹣3+2
＝﹣3．
（2）（﹣2x2）7+x2?x4﹣（﹣6x3）2
＝﹣2x6+x6﹣5x6
＝（﹣8+6﹣9）x6
＝﹣16x6．
【點評】本題考查了乘方運算、冪的乘方、同底數(shù)冪的乘法、負整數(shù)指數(shù)冪、非零數(shù)的零次冪等知識，解題的關鍵是熟練掌握運算法則．
18．（7分）先化簡，再求值：（2x﹣1）2﹣2（x+1）（x﹣1）﹣x（x﹣2），其中x2﹣2x﹣3＝0．
【分析】先利用完全平方公式、平方差公式、單項式乘以多項式法則對代數(shù)式進行化簡，再變形x2﹣2x﹣3＝0，然后代入化簡后的代數(shù)式求出結果．
【解答】解：原式＝4x2﹣5x+1﹣2（x6﹣1）﹣x2+8x
＝4x2﹣2x+1﹣2x4+2﹣x2+5x
＝x2﹣2x+7
∵其中x2﹣2x﹣4＝0，
∴x2﹣6x＝3．
所以原式＝3+8
＝6．
【點評】本題考查了整式的混合運算及求值，解決本題的關鍵是利用整式的乘法法則和乘法公式對代數(shù)式進行化簡．
19．（8分）因式分解：
（1）a2﹣9；
（2）a2b+ab2；
（3）3x2﹣12xy+12y2；
（4）9x2（a﹣b）+16y2（b﹣a）．
【分析】（1）利用平方差公式因式分解即可；
（2）利用提公因式法因式分解即可；
（3）提公因式后利用完全平方公式因式分解即可；
（4）提公因式后利用平方差公式因式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝（a+3）（a﹣3）；
（2）原式＝ab（a+b）；
（3）原式＝4（x2﹣4xy+3y2）
＝3（x﹣8y）2；
（4）原式＝9x2（a﹣b）﹣16y2（a﹣b）
＝（a﹣b）（9x8﹣16y2）
＝（a﹣b）（3x﹣4y）（3x+4y）．
【點評】本題考查因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關鍵．
20．（6分）如圖，每個小正方形的邊長為1個單位，每個小方格的頂點叫格點．
（1）畫出△ABC的AB邊上的高線CD；
（2）求出△ABC的面積為 8 ；
（3）圖中，能使S△QBC＝3的格點Q，共有 7 個．
【分析】（1）利用數(shù)形結合的思想解決問題即可．
（2）利用分割法求三角形的面積即可．
（3）利用等高模型尋找滿足條件的點Q即可．
【解答】解：（1）如圖線段CD即為所求．
（2）S△ABC＝5×7﹣×2×5﹣×1×2﹣1×2＝8．
故答案為8．
（3）如圖，滿足條件的點Q共有7個，
故答案為7．
【點評】本題考查作圖﹣應用與設計，三角形的面積等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．
21．（8分）已知：如圖，F(xiàn)E∥OC，AC和BD相交于點O，F(xiàn)是OD上一點，且∠1＝∠A．
（1）求證：AB∥DC；
（2）若∠B＝30°，∠1＝65°，求∠OFE的度數(shù)．
【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和已知得出∠A＝∠C，根據(jù)平行線的判定推出即可；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠D，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)推出即可．
【解答】（1）證明：∵FE∥OC，
∴∠1＝∠C，
∵∠1＝∠A，
∴∠A＝∠C，
∴AB∥DC；
（2）解：∵AB∥DC，
∴∠D＝∠B，
∵∠B＝30°
∴∠D＝30°，
∵∠OFE是△DEF的外角，
∴∠OFE＝∠D+∠2，
∵∠1＝65°，
∴∠OFE＝30°+65°＝95°．
【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理的應用，主要考查學生的推理能力和計算能力，題目比較好，難度適中．
22．（6分）已知5a＝3，5b＝8，5c＝72．
（1）求（5a）2的值．
（2）求5a﹣b+c的值．
（3）直接寫出字母a、b、c之間的數(shù)量關系為 c＝2a+b ．
【分析】（1）根據(jù)冪的乘方直接解答即可；
（2）根據(jù)同底數(shù)冪的乘除法進行解答即可；
（3）根據(jù)已知條件直接得出答案即可．
【解答】解：（1）∵5a＝3，
∴（2a）2＝37＝9；
（2）∵5a＝7，5b＝8，8c＝72，
∴5a﹣b+c＝＝＝27；
（3）c＝2a+b；
故答案為：c＝2a+b．
【點評】本題考同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方、同底數(shù)冪的除法，熟練掌握運算性質(zhì)和法則是解題的關鍵．
23．（8分）如圖，在△ABC中，AD為邊BC上的高，連接AE．
（1）當AE為邊BC上的中線時，若AD＝6，△ABC的面積為24；
（2）當AE為∠BAC的平分線時，若∠C＝66°，∠B＝36°
【分析】（1）先根據(jù)三角形面積公式計算出BC＝8，然后根據(jù)AE為邊BC上的中線得到CE的長；
（2）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算出∠BAC＝78°，再利用角平分線的定義得到∠CAE＝39°，接著計算出∠CAD，然后計算∠CAE﹣∠CAD即可．
【解答】解：（1）∵AD為邊BC上的高，△ABC的面積為24，
∴BC?AD＝24，
∴BC＝＝8，
∵AE為邊BC上的中線，
∴CE＝BC＝4；
（2）∵∠C＝66°，∠B＝36°，
∴∠BAC＝180°﹣∠C﹣∠B＝180°﹣66°﹣36°＝78°，
∴AE為∠BAC的平分線，
∴∠CAE＝∠BAC＝39°，
∵∠ADC＝90°，∠C＝66°，
∴∠CAD＝90°﹣66°＝24°，
∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝39°﹣24°＝15°．
【點評】本題考查了三角形的面積：三角形的面積等于底邊長與高線乘積的一半，即S＝×底×高．
24．（8分）在課后服務課上，老師準備了若干個如圖1的三種紙片，A種紙片是邊長為a的正方形，C種紙片是長為b，寬為α的長方形，B種紙片一張，C種紙片兩張拼成如圖2的大正方形．
【發(fā)現(xiàn)】
（1）根據(jù)圖2，寫出一個我們熟悉的數(shù)學公式 （a+b）2＝a2+2ab+b2 ．
【應用】
（2）根據(jù)（1）中的數(shù)學公式，解決如下問題：
①已知：a+b＝7，a2+b2＝25，求ab的值．
②如果一個長方形的長和寬分別為（8﹣x）和（x﹣2），且（8﹣x）2+（x﹣2）2＝20，求這個長方形的面積．
【分析】（1）由圖形得出完全平方公式即可；
（2）①根據(jù)完全平方公式計算出ab的值即可；
②利用完全平方公式求解即可．
【解答】解：（1）由圖2可知，（a+b）2＝a2+2ab+b2，
故答案為：（a+b）2＝a2+2ab+b6；
（2）①∵a+b＝7，
∴（a+b）2＝a6+2ab+b2＝49，
∵a3+b2＝25，
∴2ab＝24，
∴ab＝12；
②由（1）知，[（8﹣x）+（x﹣2）]2＝（2﹣x）2+2（2﹣x）（x﹣2）+（x﹣2）5＝36，
∵（8﹣x）2+（x﹣4）2＝20，
∴2（3﹣x）（x﹣2）＝16，
∴（8﹣x）（x﹣6）＝8，
故這個長方形的面積為8．
【點評】本題主要考查完全平方公式，熟練掌握完全平方公式并靈活運用是解題的關鍵．
25．（11分）如果三角形中任意兩個內(nèi)角∠α與∠β滿足2∠α+∠β＝90°，那么我們稱這樣的三角形為“準直角三角形”．
（1）在△ABC中，若∠A＝100°，∠B＝70°，并說明理由；
（2）如果△ABC是“準直角三角形”，那么△ABC是 ③ ；（從下列四個選項中選擇，填寫符合條件的序號）（①銳角三角形；②直角三角形；③鈍角三角形；④都有可能）
（3）如圖，在△ABC中，∠A＝25°，BD平分∠ABC交AC于點D．
①若DE∥BC交AB于點E，在①△ADE，②△BDE，④△ABD中“準直角三角形”是 ④ （填寫序號），并說明理由；
②在直線AB上取一點F，當△BFD是“準直角三角形”時，求出∠DFB的度數(shù)．
【分析】（1）求出∠C的度數(shù)，根據(jù)“準直角三角形”的定義判斷即可；
（2）根據(jù)“準直角三角形”的定義，再結合三角形內(nèi)角和判斷即可；
（3）①根據(jù)“準直角三角形”的定義判斷，將其他角度表示出來即可；
②注意分類討論，由（2）得“準直角三角形”是鈍角三角形，則可以鈍角為依據(jù)進行分類討論，另外，同時注意是哪個角的兩倍，再進行分類討論．
【解答】解：（1）是，理由如下
∠A＝100°，∠B＝70°，
則2∠C+∠B＝90°
∴△ABC是“準直角三角形”；
（2）若△ABC是“準直角三角形“，
則可設2∠A+∠B＝90°，
∴∠A+∠B＝90°﹣∠A＜90°，
∴∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＞90°，
∴△ABC為鈍角三角形．
故答案為：③．
（3）①∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝40°，
∴8∠A+∠ABD＝50°+40°＝90°，
∴△ABD是“準直角三角形”，
∵DE∥BC，
∴∠AED＝∠ABC＝80°，∠ADE＝∠C＝75°，△AED不滿足“準直角三角形”條件，
∵∠EBD＝∠EDB＝40°，
∴∠BED＝100°，△BED不滿足“準直角三角形”條件，
∵∠DBC＝40°，∠C＝75°，
∴∠BDC＝180°﹣40°﹣75°＝65°，△BDC不滿足“準直角三角形”條件，
故答案為：④．
②由（2）△BFD一定為鈍角三角形，
當∠ADB為鈍角時，
若2∠BFD+∠FBD＝90°，
由①得△ABD是“準直角三角形”，
∴當F與A重合時，△BFD為“準直角三角形”，
此時∠DFB＝∠DAB＝25°；
若2∠FBD+∠BFD＝90°，
∵∠FBD＝40°，
∴∠DFB＝10°；
當∠BFD為鈍角時，此時F點在線段AB上，
若5∠FDB+∠FBD＝90°時，∠FDB＝25°，
∴∠DFB＝180°﹣∠FBD﹣∠FDB＝115°；
若2∠FBD+∠FDB＝90°，∠FDB＝10°，
∴∠DFB＝180°﹣∠FBD﹣∠FDB＝130°；
當∠DBF為鈍角時，此時F點在AB的延長線上，
∵∠FBD＝140°，
∴∠BFD+∠BDF＝40°，
若2∠BDF+∠DFB＝90°，
則∠BDF＝50°，與題設矛盾；
綜上，∠DFB的度數(shù)為130°或者115°或者25°或者10°．
【點評】本題考查學生對于新定義題型的理解能力，根據(jù)”準直角三角形“的定義去解題是本題的關鍵．

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