數(shù) 學(xué)
2024.4
本試卷共4頁(yè).滿分150分。考試時(shí)間120分鐘.
注意事項(xiàng)：
1.答題前，考生務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫(xiě)自己的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名.
2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.
3.考試結(jié)束，考生必須將試題卷和答題卡一并交回.
一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.已知集合，，則（ ）
A.B.C.D.
2.已知隨機(jī)變量，且，則（ ）
A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8
3.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得圖象上的所有點(diǎn)，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，得到的圖象，則（ ）
A.B.C.D.
4.已知，，，則（ ）
A.B.
C.D.
5.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，將曲線：繞原點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角得到曲線，若是一個(gè)函數(shù)的圖象，則可以為（ ）
A.30°B.60°C.90°D.180°
6.如圖，圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為，，且，半徑為4的球與圓臺(tái)的上、下底面及每條母線均相切，則圓臺(tái)的側(cè)面積為（ ）
A.B.C.D.
7.已知函數(shù)則圖象上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)有（ ）
A.1對(duì)B.2對(duì)C.3對(duì)D.4對(duì)
8.已知P為拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作圓的切線，切點(diǎn)分別為A，B，則的最大值為（ ）
A.B.C.D.
二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3個(gè)小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9.已知橢圓：的焦點(diǎn)分別為，，P為上一點(diǎn)，則（ ）
A.的焦距為B.的離心率為
C.的周長(zhǎng)為D.面積的最大值為
10.定義域是復(fù)數(shù)集的子集的函數(shù)稱為復(fù)變函數(shù)，就是一個(gè)多項(xiàng)式復(fù)變函數(shù).給定多項(xiàng)式復(fù)變函數(shù)之后，對(duì)任意一個(gè)復(fù)數(shù)，通過(guò)計(jì)算公式，可以得到一列值.如果存在一個(gè)正數(shù)，使得對(duì)任意都成立，則稱為的收斂點(diǎn)；否則，稱為的發(fā)散點(diǎn).則下列選項(xiàng)中是的收斂點(diǎn)的是（ ）
A.B.C.D.
11.已知向量，，為平面向量，，，，，則（ ）
A.B.的最大值為
C.D.若，則的最小值為
三、填空題：本大題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分.
12.已知命題：，，則為_(kāi)__________.
13.請(qǐng)寫(xiě)出同時(shí)滿足下面三個(gè)條件的一個(gè)函數(shù)解析式__________.
①；②至少有兩個(gè)零點(diǎn)；③有最小值.
14.在中，角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，其外接圓半徑為1，，則的面積為_(kāi)______；當(dāng)A取得最大值時(shí)，則________.
四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15.（13分）
已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為.
（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）求的單調(diào)區(qū)間和極值.
16.（15分）
某市2017年至2023年城鎮(zhèn)居民人均可支配收入如下表，將其繪制成散點(diǎn)圖（如下圖），發(fā)現(xiàn)城鎮(zhèn)居民人均可支配收入y（單位：萬(wàn)元）與年份代號(hào)x具有線性相關(guān)關(guān)系.
（1）求y關(guān)于x的線性回歸方程，并根據(jù)所求回歸方程，預(yù)測(cè)2024年該市城鎮(zhèn)居民人均可支配收入；
（2）某分析員從2017年至2023年人均可支配收入中，任取3年的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，記其中人均可支配收入超過(guò)4.5萬(wàn)的年份個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.
參考數(shù)據(jù)及公式：，，，.
17.（15分）
如圖1，在平行四邊形中，，，E為的中點(diǎn)，將沿折起，連結(jié)，，且，如圖2.
（1）求證：圖2中的平面平面；
（2）在圖2中，若點(diǎn)在上，直線與平面所成的角的正弦值為，求點(diǎn)到平面的距離.
18.（17分）
已知雙曲線：的實(shí)軸長(zhǎng)為，右焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為1.
（1）求的方程；
（2）過(guò)上一點(diǎn)作的切線，與的兩條漸近線分別交于R，S兩點(diǎn)，為點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，過(guò)的切線，與的兩條漸近線分別交于M，N兩點(diǎn)，求四邊形的面積.
（3）過(guò)上一點(diǎn)Q向的兩條漸近線作垂線，垂足分別為，，是否存在點(diǎn)Q，滿足，若存在，求出點(diǎn)Q坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
19.（17分）
數(shù)列中，從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與其前一項(xiàng)的差組成的數(shù)列稱為的一階差數(shù)列，記為，依此類(lèi)推，的一階差數(shù)列稱為的二階差數(shù)列，記為，….如果一個(gè)數(shù)列的p階差數(shù)列是等比數(shù)列，則稱數(shù)列為p階等比數(shù)列.
（1）已知數(shù)列滿足，.
（?。┣螅?，；
（ⅱ）證明：是一階等比數(shù)列；
（2）已知數(shù)列為二階等比數(shù)列，其前5項(xiàng)分別為，求及滿足為整數(shù)的所有n值.
年份
2017
2018
2019
2020
2021
2022
2023
年份代號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
人均可支配收入
3.65
3.89
4.08
4.30
4.65
4.90
5.12

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