數(shù) 學(xué)
2024.4
本試卷共4頁.滿分150分。考試時間120分鐘.
注意事項：
1.答題前，考生務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的準考證號、姓名.
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束，考生必須將試題卷和答題卡一并交回.
一、單項選擇題：本大題共8個小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.已知集合，，則（ ）
A.B.C.D.
2.已知隨機變量，且，則（ ）
A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8
3.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，再將所得圖象上的所有點，縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得到的圖象，則（ ）
A.B.C.D.
4.已知，，，則（ ）
A.B.
C.D.
5.在平面直角坐標系內(nèi)，將曲線：繞原點逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到曲線，若是一個函數(shù)的圖象，則可以為（ ）
A.30°B.60°C.90°D.180°
6.如圖，圓臺的上、下底面半徑分別為，，且，半徑為4的球與圓臺的上、下底面及每條母線均相切，則圓臺的側(cè)面積為（ ）
A.B.C.D.
7.已知函數(shù)則圖象上關(guān)于原點對稱的點有（ ）
A.1對B.2對C.3對D.4對
8.已知P為拋物線上的一動點，過P作圓的切線，切點分別為A，B，則的最大值為（ ）
A.B.C.D.
二、多項選擇題：本大題共3個小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.
9.已知橢圓：的焦點分別為，，P為上一點，則（ ）
A.的焦距為B.的離心率為
C.的周長為D.面積的最大值為
10.定義域是復(fù)數(shù)集的子集的函數(shù)稱為復(fù)變函數(shù)，就是一個多項式復(fù)變函數(shù).給定多項式復(fù)變函數(shù)之后，對任意一個復(fù)數(shù)，通過計算公式，可以得到一列值.如果存在一個正數(shù)，使得對任意都成立，則稱為的收斂點；否則，稱為的發(fā)散點.則下列選項中是的收斂點的是（ ）
A.B.C.D.
11.已知向量，，為平面向量，，，，，則（ ）
A.B.的最大值為
C.D.若，則的最小值為
三、填空題：本大題共3個小題，每小題5分，共15分.
12.已知命題：，，則為___________.
13.請寫出同時滿足下面三個條件的一個函數(shù)解析式__________.
①；②至少有兩個零點；③有最小值.
14.在中，角A，B，C所對邊分別為a，b，c，其外接圓半徑為1，，則的面積為_______；當A取得最大值時，則________.
四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.（13分）
已知函數(shù)，曲線在點處的切線方程為.
（1）求實數(shù)a，b的值；
（2）求的單調(diào)區(qū)間和極值.
16.（15分）
某市2017年至2023年城鎮(zhèn)居民人均可支配收入如下表，將其繪制成散點圖（如下圖），發(fā)現(xiàn)城鎮(zhèn)居民人均可支配收入y（單位：萬元）與年份代號x具有線性相關(guān)關(guān)系.
（1）求y關(guān)于x的線性回歸方程，并根據(jù)所求回歸方程，預(yù)測2024年該市城鎮(zhèn)居民人均可支配收入；
（2）某分析員從2017年至2023年人均可支配收入中，任取3年的數(shù)據(jù)進行分析，記其中人均可支配收入超過4.5萬的年份個數(shù)為隨機變量X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.
參考數(shù)據(jù)及公式：，，，.
17.（15分）
如圖1，在平行四邊形中，，，E為的中點，將沿折起，連結(jié)，，且，如圖2.
（1）求證：圖2中的平面平面；
（2）在圖2中，若點在上，直線與平面所成的角的正弦值為，求點到平面的距離.
18.（17分）
已知雙曲線：的實軸長為，右焦點到一條漸近線的距離為1.
（1）求的方程；
（2）過上一點作的切線，與的兩條漸近線分別交于R，S兩點，為點關(guān)于坐標原點的對稱點，過的切線，與的兩條漸近線分別交于M，N兩點，求四邊形的面積.
（3）過上一點Q向的兩條漸近線作垂線，垂足分別為，，是否存在點Q，滿足，若存在，求出點Q坐標；若不存在，請說明理由.
19.（17分）
數(shù)列中，從第二項起，每一項與其前一項的差組成的數(shù)列稱為的一階差數(shù)列，記為，依此類推，的一階差數(shù)列稱為的二階差數(shù)列，記為，….如果一個數(shù)列的p階差數(shù)列是等比數(shù)列，則稱數(shù)列為p階等比數(shù)列.
（1）已知數(shù)列滿足，.
（?。┣?，，；
（ⅱ）證明：是一階等比數(shù)列；
（2）已知數(shù)列為二階等比數(shù)列，其前5項分別為，求及滿足為整數(shù)的所有n值.
年份
2017
2018
2019
2020
2021
2022
2023
年份代號
1
2
3
4
5
6
7
人均可支配收入
3.65
3.89
4.08
4.30
4.65
4.90
5.12

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