一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位）的虛部為（ ）
A. B. C. D.
2. 已知向量，若，則實(shí)數(shù)（ ）
A. B. C. 1D. 2
3. 中，A，B，C是的內(nèi)角，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
4. 對(duì)于兩條不同的直線m、n和兩個(gè)不同的平面α、β，以下結(jié)論中正確的是（ ）
A. 若，，m、n異面直線，則α、β相交
B 若m⊥α，m⊥β，，則
C. ，，m、n共面于β，則
D. 若m⊥α，n⊥β，α、β不平行，則m、n為異面直線
5. 向量在向量上的投影向量為（ ）
A. B. C. D.
6. 側(cè)面積為的圓錐，它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則該圓錐的底面半徑為（ ）
A. B. C. 2D. 1
7. 已知三棱錐的三條側(cè)棱，，兩兩互相垂直，且，，則此三棱錐外接球的體積為（ ）
A. B. C. D.
8. 中，已知，且，則是
A. 三邊互不相等的三角形B. 等邊三角形
C. 等腰直角三角形D. 頂角為鈍角的等腰三角形
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 平面向量，是不共線的向量，則下列正確的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A. B.
C. D.
11. 下面有關(guān)三角形的命題正確的是（ ）
A. 若的面積為，則
B. 在中，，，.則這樣的三角形有且只有一個(gè)
C. 在中，若，則最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的2倍
D. 在中，，，，則邊上的高為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 設(shè)，若，其中是虛數(shù)單位，則_____________
13. 如圖所示，直觀圖四邊形是一個(gè)底角為45°，腰和上底均為1的等腰梯形，那么原平面圖形的面積是____________.
14. 在邊長(zhǎng)為1正方體中，點(diǎn)M是該正方體表面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且平面，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡的長(zhǎng)度是__________.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟.
15. 在復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是，（其中是虛數(shù)單位），設(shè)向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為.
（1）求復(fù)數(shù)；
（2）求；
（3）若，且是純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)的值.
16. 如圖，在幾何體中，四邊形為菱形，對(duì)角線與的交點(diǎn)為O，四邊形為梯形，.
（1）若，求證：平面；
（2）若，求證：平面平面.
17. 如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)處下上至處有兩種路徑．一種是從沿直線步行到，另一種是先從沿索道乘纜車到，然后從沿直線步行到．現(xiàn)有甲、乙兩位游客從處下山，甲沿勻速步行，速度為．在甲出發(fā)后，乙從乘纜車到，在處停留后，再?gòu)膭蛩俨叫械?，假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度為，山路長(zhǎng)為1260，經(jīng)測(cè)量，．
（1）求索道長(zhǎng)；
（2）問：乙出發(fā)多少后，乙在纜車上與甲的距離最短？
（3）為使兩位游客在處互相等待的時(shí)間不超過，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？
18. 如圖，在三棱錐中，，D為的中點(diǎn)，平面，垂足O落在線段上.
（1）證明：；
（2）已知，，，且直線與平面所成角正弦值為.
①求此三棱錐的體積；
②求二面角的大小.
19. 中，角A、B、C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a、b、c，，.
（1）求角B的最大值，以及邊長(zhǎng)b的最大值；
（2）設(shè)的面積為S，求的取值范圍.金華一中2023學(xué)年第二學(xué)期期中考試
高一數(shù)學(xué)試題卷
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位）的虛部為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由虛數(shù)的定義求解．
【詳解】復(fù)數(shù)的虛部是－1．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的概念，掌握復(fù)數(shù)的概念是解題基礎(chǔ)．
2. 已知向量，若，則實(shí)數(shù)（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】依題意可得，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得的方程，解得即可；
【詳解】解：因?yàn)椋遥?br>所以，即，解得；
故選：B
3. 中，A，B，C是的內(nèi)角，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)充要條件的定義分析可得答案.
【詳解】若，則成立，所以“”是“”的充分條件，
若，因?yàn)?，所以，所以“”是“”的必要條件，
所以“”是“”的充分必要條件，
故選：C．
4. 對(duì)于兩條不同的直線m、n和兩個(gè)不同的平面α、β，以下結(jié)論中正確的是（ ）
A. 若，，m、n是異面直線，則α、β相交
B 若m⊥α，m⊥β，，則
C ，，m、n共面于β，則
D. 若m⊥α，n⊥β，α、β不平行，則m、n為異面直線
【答案】C
【解析】
【分析】由線面平行的性質(zhì)和面面的位置關(guān)系可判斷A；由線面垂直的性質(zhì)和面面平行的判斷和性質(zhì)，可判斷B；由線面平行的性質(zhì)定理可判斷C；由線面垂直的性質(zhì)和面面的位置關(guān)系可判斷D．
【詳解】若，，m、n是異面直線，則α、β相交或平行，故A錯(cuò)誤；
若m⊥α，m⊥β，則，由，則或，故B錯(cuò)誤；
利用線面平行的性質(zhì)定理，可知，，m、n共面于β，則成立，故C正確；
若m⊥α，n⊥β，α、β不平行，則m、n為異面直線或相交，故D錯(cuò)誤．
故選:C.
5. 向量在向量上的投影向量為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析】代入投影向量公式，即可求解.
【詳解】向量在向量上的投影向量為.
故選：C
6. 側(cè)面積為的圓錐，它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則該圓錐的底面半徑為（ ）
A. B. C. 2D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)圓錐側(cè)面積公式及圓的面積求解.
【詳解】設(shè)底面半徑為，母線長(zhǎng)為，
則，解得，
又，解得，
故選：D
7. 已知三棱錐的三條側(cè)棱，，兩兩互相垂直，且，，則此三棱錐外接球的體積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，知其外接球就是所在長(zhǎng)方體的外接球，設(shè)出棱長(zhǎng)，求出體對(duì)角線，即可得出球的直徑得解.
【詳解】三棱錐的三條側(cè)棱，，兩兩互相垂直，
其外接球就是以為長(zhǎng)、寬、高的長(zhǎng)方體的外接球，
設(shè)，
則有，可求得，
即長(zhǎng)方體的對(duì)角線的長(zhǎng)為，所以球的直徑是，半徑為，
所以外接球的體積．
故選：A．
8. 中，已知，且，則是
A. 三邊互不相等的三角形B. 等邊三角形
C. 等腰直角三角形D. 頂角為鈍角的等腰三角形
【答案】C
【解析】
【分析】先根據(jù)判斷出的角平分線與垂直，進(jìn)而推斷三角形為等腰三角形，再由結(jié)合數(shù)量積公式求得，判斷出三角形的形狀．
【詳解】∵，分別是與，同向的單位向量，
∴的角平分線與垂直，
∴，
∵
∴，得，
∵，
∴，
∴，
∴為等腰直角三角形．
故選：C．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 平面向量，是不共線的向量，則下列正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】根據(jù)的符號(hào)判斷AC，再由判斷BD.
【詳解】因?yàn)?，且向量，是不共線的向量，所以，所以，即，故A錯(cuò)誤，C正確；
因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)等號(hào)成立，所以，故B錯(cuò)誤，D正確.
故選：CD
10. 已知，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】設(shè)，利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算和模的運(yùn)算求解，逐項(xiàng)判斷.
【詳解】解：設(shè)，則，
所以，，則，故A錯(cuò)誤；
，
，所以，故B正確；
因?yàn)椋?，故C正確；
因?yàn)?，所以?br>而，所以，故D正確
故選：BCD
11. 下面有關(guān)三角形的命題正確的是（ ）
A. 若的面積為，則
B. 在中，，，.則這樣的三角形有且只有一個(gè)
C. 在中，若，則最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的2倍
D. 在中，，，，則邊上的高為
【答案】ACD
【解析】
【分析】對(duì)于A結(jié)合三角形的面積公式與余弦定理進(jìn)行計(jì)算，對(duì)于B利用正弦定理可得，從而可求出角判斷，對(duì)于C利用正弦定理化角為邊，再結(jié)合余弦定理和二倍角公式求解，對(duì)于D由余弦定理求出，再根據(jù)三角形的面積公式求解.
【詳解】對(duì)于A，由題意得，整理得，
所以，所以，得，
因?yàn)椋?，所以A正確；
對(duì)于B，由正弦定理得，則，得，
因?yàn)?，所以或，所以滿足條件的三角形有2個(gè)，所以B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，因?yàn)?，所以由正弦定理得?br>設(shè)，則最大角為，最小角為，
由余弦定理得，，
所以，
因?yàn)?，所以均為銳角，所以，所以，
所以最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的2倍，所以C正確；
對(duì)于D，由余弦定理得，則，即，解得或（舍去），因?yàn)椋裕?br>所以的面積為，
設(shè)邊上的高為，則，解得，所以D正確，
故選：ACD
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 設(shè)，若，其中是虛數(shù)單位，則_____________
【答案】7
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)相等求解.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，即，
所以，
故答案為：
13. 如圖所示，直觀圖四邊形是一個(gè)底角為45°，腰和上底均為1的等腰梯形，那么原平面圖形的面積是____________.
【答案】##
【解析】
【分析】由斜二側(cè)畫法可知，原圖為直角梯形，上底為1，高為2，下底為，利用梯形面積公式求解即可．
【詳解】根據(jù)斜二側(cè)畫法可知，原圖形為直角梯形，如圖，
其中上底，高，下底為，
．
故答案為：．
14. 在邊長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)M是該正方體表面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且平面，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡的長(zhǎng)度是__________.
【答案】
【解析】
【分析】連接，，，證明平面平面，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為，即可得解.
【詳解】如圖，邊長(zhǎng)為1的正方體中，
動(dòng)點(diǎn)M滿足平面，
由面面平行的性質(zhì)得：當(dāng)始終在一個(gè)與平面平行的面內(nèi)，即滿足題意，
連接，，，
因?yàn)榍?，所以四邊形為平行四邊形?br>所以，同理，
又平面，平面，所以平面，
因?yàn)槠矫?，平面，所以平面?br>又因平面，
所以平面平面，
又平面，M是該正方體表面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為.
因?yàn)?，所以?dòng)點(diǎn)M的軌跡的長(zhǎng)度為.
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟.
15. 在復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是，（其中是虛數(shù)單位），設(shè)向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為.
（1）求復(fù)數(shù)；
（2）求；
（3）若，且是純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)的值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)及向量的坐標(biāo)運(yùn)算得解；
（2）根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算、乘法運(yùn)算及模的運(yùn)算得解；
（3） 根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算及純虛數(shù)的概念求解.
【小問1詳解】
因?yàn)辄c(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是，，所以，
所以，故.
【小問2詳解】
因?yàn)椋?br>所以.
【小問3詳解】
因?yàn)椋?br>所以，
由是純虛數(shù)，可知且，解得.
16. 如圖，在幾何體中，四邊形為菱形，對(duì)角線與的交點(diǎn)為O，四邊形為梯形，.
（1）若，求證：平面；
（2）若，求證：平面平面.
【答案】（1）證明見解析
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，，從而可得為平行四邊形，即可證明平面；
（2）只需證明平面，即可證明平面平面.
【小問1詳解】
證明：取的中點(diǎn)，連接，，
∵是菱形的對(duì)角線，的交點(diǎn)，
∴，且，
又∵，且，
∴，且，
從而為平行四邊形，
∴，
又平面，平面，
∴平面.
【小問2詳解】
證明：連接，
∵四邊形為菱形，∴，
∵，是的中點(diǎn)，∴，
又，平面，
∴平面，又平面，
∴平面平面.
17. 如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)處下上至處有兩種路徑．一種是從沿直線步行到，另一種是先從沿索道乘纜車到，然后從沿直線步行到．現(xiàn)有甲、乙兩位游客從處下山，甲沿勻速步行，速度為．在甲出發(fā)后，乙從乘纜車到，在處停留后，再?gòu)膭蛩俨叫械?，假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度為，山路長(zhǎng)為1260，經(jīng)測(cè)量，．
（1）求索道的長(zhǎng)；
（2）問：乙出發(fā)多少后，乙在纜車上與甲的距離最短？
（3）為使兩位游客在處互相等待的時(shí)間不超過，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？
【答案】（1）m （2）（3）（單位：m/min）
【解析】
【詳解】（1）在中，因?yàn)?，?br>所以，，
從而．
由正弦定理，得（）．
（2）假設(shè)乙出發(fā)后，甲、乙兩游客距離為，此時(shí)，甲行走了，乙距離處，
所以由余弦定理得，
由于，即，
故當(dāng)時(shí)，甲、乙兩游客距離最短．
（3）由正弦定理，
得（）．
乙從出發(fā)時(shí)，甲已走了（），還需走710才能到達(dá)．
設(shè)乙步行的速度為，由題意得，解得，
所以為使兩位游客在處互相等待的時(shí)間不超過，乙步行的速度應(yīng)控制在（單位：）范圍內(nèi)．
考點(diǎn)：正弦、余弦定理在實(shí)際問題中的應(yīng)用.
【方法點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦、余弦定理在實(shí)際問題中的應(yīng)用，考查了考生分析問題和利用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力，屬于中檔題.解答應(yīng)用問題，首先要讀懂題意，設(shè)出變量建立題目中的各個(gè)量與變量的關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系和不等關(guān)系求解.本題解得時(shí)，利用正余弦定理建立各邊長(zhǎng)的關(guān)系，通過二次函數(shù)和解不等式求解，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)在實(shí)際問題中的應(yīng)用.
18. 如圖，在三棱錐中，，D為的中點(diǎn)，平面，垂足O落在線段上.
（1）證明：；
（2）已知，，，且直線與平面所成角正弦值為.
①求此三棱錐的體積；
②求二面角的大小.
【答案】（1）證明見解析
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）由題意，為的中點(diǎn)，推出，由平面ABC，推出BC⊥PO，進(jìn)而得到線面垂直，即可得到所證；
（2）①由（1）利用線面垂直和勾股定理求解出長(zhǎng)，求出的體積；
②由（1）利用面面垂直的判定得到平面BMC，再利用二面角的定義得到二面角的平面角，然后求出即可，
【小問1詳解】
因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，
又平面，則，
又平面，所以平面，
又平面，所以；
【小問2詳解】
①由平面，則直線與平面所成角為，
則，由，為的中點(diǎn)，
所以，則，所以，
由平面，所以，所以；
②在平面內(nèi)作于，連接，由，
又，平面，所以平面，
所以，則為二面角的平面角，
在直角三角形中，，
在直角三角形中，，
在直角三角形中，，所以，
在直角三角形中，，所以，
所以在三角形中，，
所以，則，同理，
而，所以，
即二面角的大小為.
19. 中，角A、B、C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a、b、c，，.
（1）求角B的最大值，以及邊長(zhǎng)b的最大值；
（2）設(shè)的面積為S，求的取值范圍.
【答案】（1），2
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)余弦定理和基本不等式，得到的最小值，從而得到的最大值，利用基本不等式得到的最大值；
（2）表示出，由（1）可得其最大值，表示出得到關(guān)于的函數(shù)，然后根據(jù)（1）中得到的的范圍，得到其最大值，然后得到所求的的取值范圍.
【小問1詳解】
，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
因?yàn)椋以谏蠁握{(diào)遞減，
所以有最大值為．
又，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．
小問2詳解】
，
由（1）知，時(shí)，有最大值．
，
，即當(dāng)時(shí)有最大值，
當(dāng)時(shí)，,
．

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