考生注意：
1．答題前，考生務必將自己的姓名、考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．
3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．已知角的終邊經過點，且，則（ ）
A．B．C．D．
2．已知非零向量，，若，則（ ）
A．8B．C．6D．
3．（ ）
A．B．C．D．
4．如圖，在中，為邊AB的中點，，則（ ）
A．B．
C．D．
5．如圖所示的是為紀念南陽解放50周年于1998年11月4日建立的南陽解放紀念碑，某學生為測量該紀念碑的高度CD，選取與碑基在同一水平面內的兩個測量點A，B．現測得，，米，在點處測得碑頂的仰角為，則紀念碑高CD為（ ）
A．米B．米C．米D．米
6．已知向量滿足，則在方向上的投影數量為（ ）
A．B．C．D．
7．已知函數的部分圖象如圖所示，若函數的圖象關于軸對稱，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．1
8．如圖，在中，，，為邊AB的中點，線段AC與DE交于點，則（ ）
A．B．C．D．
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．在中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知，，為常數，滿足條件的唯一確定，則的值可能為（ ）
A．2B．C．D．
10．已知向量，，且，則（ ）
A．與同向的單位向量為B．與的夾角為
C．D．在上的投影向量是
11．已知函數（注：），則（ ）
A．的最小正周期為B．在上單調遞減
C．的圖象關于點中心對稱D．圖象的一條對稱軸為直線
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．若扇形的弧長為，圓心角為，則扇形的面積為__________．
13．設的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則__________．
14．如圖，在面積為3的中，E，F分別為邊AB，AC的中點，點在直線EF上，則的最小值為__________．．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（13分）
已知向量滿足，，且．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）在中，若，，求．
16．（15分）
已知函數的圖象關于直線對稱．
（Ⅰ）求的解析式及零點；
（Ⅱ）將的圖象向右平移個單位長度，再將所得圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變，得到函數的圖象，求的單調遞減區(qū)間．
17．（15分）
已知函數的圖象與軸的相鄰的兩個交點之間的距離為，且圖象上一個最高點為．
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）完善下面的表格，并畫出在上的大致圖象；
（Ⅲ）當時，求的值域．
18．（17分）
在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，且．
（Ⅰ）求面積的最大值；
（Ⅱ）若為邊BC的中點，求線段AD的長度．
19．（17分）
如圖，記，，，已知，．
（Ⅰ）若點在線段OA上，且，求的值；
（Ⅱ）若向量與方向相同，且，求；
（Ⅲ）若，求的最大值．
2023—2024學年（下）南陽六校高一年級期中考試
數學·答案
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．
1．答案 B
命題意圖 本題考查由三角函數的定義求參數．
解析 由題知，解得．
2．答案 C
命題意圖 本題考查由向量平行的坐標表示求出，再求向量的模．
解析 ，，（舍去），或，，即．
3．答案 A
命題意圖 本題考查正切函數的誘導公式．
解析 ．
4．答案 D
命題意圖 本題考查平面向量基本定理在平面幾何中的應用．
解析 為AB的中點，，．
5．答案 C
命題意圖 本題考查利用正弦定理解決高度測量問題．
解析 在中，，由正弦定理得，即，解得，在中，．
6．答案 B
命題意圖 本題考查投影數量的定義及平面向量數量積的運算．
解析 ，，在方向上的投影數量為．
7．答案 D
命題意圖 本題考查利用余弦函數圖像求解析式，利用余弦函數的對稱性求參數．
解析 由圖可知，則，又，，又，根據五點法作圖原理，得，解得，從而，的圖象關于軸對稱，為偶函數，，得．
8．答案 C
命題意圖 本題考查余弦定理．
解析 因為，，所以是等邊三角形，所以．因為，所以，所以．設，則，在中，由余弦定理可得，所以．
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．每小題全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．答案 ABD
命題意圖 本題考查判定三角形解的個數問題．
解析 若滿足條件的唯一確定，則或，故A，B，D正確．
10．答案 ACD
命題意圖 本題考查向量的垂直、夾角、模、投影向量及單位向量等概念．
解析 ，，，解得或（舍去）．
對于A，，與同向的單位向量為，故A正確；
對于B，，則，故B錯誤；
對于C，，，故C正確；
對于D，在上的投影向量是，故D正確．
11．答案 BC
命題意圖 本題考查誘導公式，求正（余）弦型函數的最小正周期、單調性、對稱中心及對稱軸．
解析 對于A，，不是的周期，故A錯誤；
對于B，當時，，，又時，，在上單調遞減，故B正確；
對于，設圖象上任意一點，則關于點的對稱點為，，的圖象關于點中心對稱，故C正確；
對于D，設圖象上任意一點，則關于直線的對稱點為，，的圖像不關于直線對稱，故D錯誤．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．答案
命題意圖 本題考查扇形的弧長、面積的有關計算．
解析 設扇形的圓心角為，半徑為，弧長為l．，即，，．
13．答案
命題意圖 本題考查正（余）弦定理的應用．
解析 ，由正弦定理變形得，，又由余弦定理得，．
14．答案 6
命題意圖 本題考查平面向量在平面幾何中的應用．
解析 如圖，取BC邊的中點，連接．，，當且僅當時取等號．設點到BC邊的距離為，則，當時取等號，的最小值為6，當且僅當且時取得．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．命題意圖 本題考查平面向量及其應用．
解析 （Ⅰ），
，
，
又，．
（Ⅱ）在中，，
，
．
16．命題意圖 本題考查三角函數的對稱性、單調性以及圖象變換．
解析 （Ⅰ）的圖象關于直線對稱，
，
得，又，，．
令，得，
的零點為．
（Ⅱ），
令，，
可得，，
故的單調遞減區(qū)間為．
17．命題意圖 本題考查求函數解析式、用“五點法”畫圖、求三角函數的值域．
解析 （Ⅰ）由的圖象與軸的相鄰的兩個交點之間的距離為，可知最小正周期，．
由一個最高點為，得，
由，即，
可得，得，
又，，
．
（Ⅱ）完善表格如下：
在上的大致圖象如圖：
（Ⅲ），∴，故的值域為．
18．命題意圖 本題考查正（余）弦定理、三角形面積公式以及不等式的應用．
解析 （Ⅰ），
由正弦定理可得，
即，
由余弦定理可得，
又，故．
，，當且僅當時取等號．
，
故面積的最大值為．
（Ⅱ）是邊BC的中點，，
．
，，，
又由（Ⅰ）知，，
，，
即線段AD的長度為．
19．命題意圖 本題考查向量的基本運算．
解析 （Ⅰ）由題可知，，
又，
．
（Ⅱ）設，則，
，
解得或（舍去）．
，，
，，
，
．
（Ⅲ），，
，
．
四點均在以OB為直徑的圓上，
的最大值為該圓的直徑，為2，
即的最大值為2．
x
0
0
0
x
0
1
2
0
0
1

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